0<x<πにおいて、f(x)={cos(2x)+2cos(x)}-√3{sin(2x)-2sin(x)}、t=√3sin(x)+cos(x)とする。
このときf(x)の最大値とそれを与えるxの値を求めよ。

今日授業でやった問題なのですが、途中疑問があるので教えてください。
板書をまとめると、
f(x)=-t^2+2t+2
g(t)=-t^2+2t+2とすると、←ここと
g(t)=-(t-1)^2+3となり、g(t)の最大値はt=1が存在すればそのとき。
t=2sin(x+π/6)より、g(t)の最大となるのは2sin(x+π/6)=1のとき。
0<x<πよりπ/6<ｘ+π/6<7π/6で2sin(x+π/6)=1はx=π/3で成り立つ。←ここがわからない。
よって、x=π/3のときf(x)の最大値は3

解答の下から2行目のx=π/3ですが、x=2π/3の間違いではないかと思うのですがどうでしょうか。
あとg(t)=-t^2+2t+2とわざわざ置き換えていますがどうしてf(t)=-t^2+2t+2とそのままやっては
いけないのでしょうか。置き換えたので求めたのはg(x)の最大値なのに、最終的には何も書かずに
f(x)の最大値は…としています。何のための置き換えかわからないしこれでいいのか疑問です。

その先生に次教えてもらうのは1週間後でもっと早く解決したいです。
2点ですがお願いします。長文失礼。