x^n+2y^n=4z^n ・・・(☆) が成り立つと仮定してるよ。

☆のとき、xは偶数。よってx=2x'とおける。
代入整理すると今度はyが偶数であることがわかる。y=2y'とおける。
代入整理すると今度はzが偶数であることがわかる。z=2z'とおける。
代入整理するとx'^n+2y'^n=4z'^n

よりx=2x'=2(2x'')=・・・
y=2y'=2(2y'')=・・・
z=2z'=2(2z'')=・・・

といくらでも小さな(x,y,z)の組を取ることが出来るが
これはx,y,zが自然数であることに反する(無限降下法)

よって(☆)は成り立たない。