>>354
そういう方向の理解なら、たとえばこう↓

１　連続とは自然に定義されたものだとする
２　連続する値 x が存在する
３　x によって導かれる連続な状態が有る
　　このような状態を　f(x) と表現する

今 f(x) は連続な状態を取り得るのでその状態と直後状態の変化を知りたい
この場合、次のような概念を導入できる
４　<xの状態から、x+kだけ進んだ状態の変化量> = f(x+k)-f(x)
　　kはxのように連続で変動できる値であり、いくらでも小さくとることが出来るものとする
５　←ここで (f(x+k)-f(x))/k の説明したいけど思いつかなかった

で、微分は「２状態間の変化」を意味するものなわけ。
語弊があるけど、体積は「薄皮の重なり」とみなすことが出来て、体積から薄皮を取り出すのに微分を使えるわけ。