「高校生のためのすれ」は荒れているようなのでこちらで質問させてください。

[問題]
　0<a<bのとき　　√(ab)<(b-1)/(logb-loga)<(a+2)/2
　が成り立つことを示せ
[途中までやってみた]
　
　相加相乗平均により(a+b)/2>√(ab)・・・・(1)
　
　関数f(x)=logxはx>0で連続かつ微分可能である。f'(x)=1/x.
　区間[a,b]で平均値の定理により
　　(logb-loga)/(b-a)=1/c , a<c<b
　を満たすcが存在する。
　 a<c<b
　 ⇔1/b<1/c<1/a
　 ⇔1/b<(b-a)/(logb-loga)<1/a・・・・・・(2)
　
　相加>=相乗や平均値の定理をを使って見るのかと思って途中までやってみたのですが、ここから先がわかりません。
　どなたかご教授ください。