P(p,0,0)とおいて、
ｘｙ平面の円で、Pを通る半径最大の円を、
(x-(p-1))^2+y^2=((1+p)/2)^2　とおく。
ｘｚ平面の円のうち、Pを通りx^2+z^2=1に接する円は、半径をｒとして
(x-p)^2+(z-r)^2=r^2
√(p^2+r^2) +r=1だから、
r=(1-p^2)/2

２つの円の半径の和は、
f(p)=(p+1)/2 +(1-p^2)/2
f'(p)=1/2 -p
p=1/2のとき、最大9/8

厳密に式たててx軸と円との交点をP(２つの円の接点）,Q,Rとして
計算してもできると思います。