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分からない問題はここに書いてね２４０

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0001１３２人目の素数さん2006/05/07(日) 15:59:11
さあ、今日も１日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね２３９
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1146278368/
0357１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:24:34
>>346
高木貞治が定義したのではない。
記号を使い始めたのはライプニッツ。
0358１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:24:47
一様収束に関して詳しい参考書があれば、判らない問題も解けるのに
くやしい・・・
0359１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:26:49
>>356
間違っています。
0360１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:28:18
ユークリッド平面において
集合A={(x,y)｜a<x<b,f(x)<y<g(x)}は開集合を示せ。
ただしa,bは実数で、f(x),g(x)は(a,b)上の連続関数とする。

という問題の解答に、
(x,y)∈Aに対してε1=(1/2)min{y-f(x),g(x)-y}とおく
とあるのですが、εのおき方のところの1/2というのは
何のためのものでしょうか？
0361１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:29:00
>>359
(N^2+1)/N=εを解いてNを求めたのですが、どのようにして
Nを求めればよいのですか？ご教授お願いします。
0362１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:30:31
具合よく論証がすっきりと行く為の物。
0363１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:30:58
二次関数ｆ(x)=3x^2+bx+c　が任意の角θ（0≦θ＜360°）に対して
f(2sinθ)≧0, f(3-cosθ)≦0 を満たす。
このとき2b+cの値とbのとりうる最大値を求めよ

という問題がありましたが、f(2sinθ)≧0のθと f(3-cosθ)≦0のθ
は同じものだと解釈すべきでしょうか。
0364１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:31:35
>>362
ありがとさん。じゃー、適当な数字でいいわけですね。
0365１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:33:30
εは任意の実数（いくらでも小さい）。Ｎは大抵自然数(一様でなければ、εとxに依存。)。
0366１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:34:49
>>364
そんな訳はない。定義を百回読んでからおいでください。
0367１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:37:11
ちゃんと中に収まれば適当でええよ
0368１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:38:51
直線　ｌ；x+1/3=y-1/-1=z+2/1
球面　Ｓ；ｘ＾2-2ｘ+ｙ＾2+2ｙ+ｚ＾2+4ｚ+4＝0のとき、
①直線ｌと球面Ｓは交わらないことを示せ。
②直線ｌを含み球面Ｓに接する平面の方程式を求めよ。
どうやって解いたらいいのでしょうか？
文字3つの扱いがまったく分かりません。

0369１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:40:58
>>368
マルチ
0370１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:41:11
>>368
何回目のコピペだよｗ
0371１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:42:30
>>365
返信ありがとうございます。結局どのようにNを決定
すればよいのでしょうか？
0372１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:46:30
>>371だが自己解決した
0373１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:50:46
>>368だが自己解決した
0374１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:52:04
>>368
死ね
0375１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 23:53:39
>>374だが自己解決した
0376１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:01:43
>>363
f(x)=3x^2+bx+c が -2≦x≦2で f(x)≧0、また f(x)が 2≦x≦4で f(x)≦0 を満たすから、
2つの定義域に共通のx=2においてf(2)=0になるので、12+2b+c=0、2b+c=-12
f(x)=3(x+b/6)^2-(b^2/12)+c、軸はx=-b/6で、f(x)の対称性から、2と4の中点の3以上
の必要があるので、3≦-b/6、-18≧b
0377１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:03:10
>>338
任意の正数 M に対して
n > M ならば (n^2 +1)/n > M
なので、+∞に発散する
0378１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:04:38
>>348
そうですか
やはり難しいのでしょうか
0379１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:08:29
>>375だが自決することにした。
0380１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:08:46
>>376
ありがとうございます。
f(2sinθ)≧0のθと f(3-cosθ)≦0のθ
を違うものとして解くなら簡単ですが、
↓この問題の書きかたでは同じものだと解釈すべきのような気がするのですが
-----------------------------------------------
二次関数ｆ(x)=3x^2+bx+c　が任意の角θ（0≦θ＜360°）に対して
f(2sinθ)≧0, f(3-cosθ)≦0 を満たす。
このとき2b+cの値とbのとりうる最大値を求めよ
------------------------------------------------
0381１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:10:03
楕円関数って数学の分野でゆーとどこで習うの？
0382１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:10:56
解析
0383１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:15:29
またまた大雑把なｗ
0384１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:17:09
楕円関数論で習います。
0385１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:21:57
またまたピンポイントなｗ
0386１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:22:38
>>225,337
S[n](0)=0, S[n](x)-S[n](x-1)=x^n (x≧1) を示せばよい
S[n](0)=0 は明らか

数学的帰納法により S[n](x)-S[n](x-1)=x^n (x≧1) を示す
n=0 のとき明らか
n-1 (≧0) まで成立しているとする
S[n-1](x) の原始関数をひとつ取り、F(x) と書く
c = (1/n) - ∫[0,1]S[n-1](y)dy = (1/n) - F(1) + F(0)
S[n](x)-S[n](x-1) = n∫[x-1,x]{S[n-1](t)+c}dt
= n{F(x)-F(x-1)+c} = n{F(x)-F(x-1)-F(1)+F(0)} + 1
= n∫[1,x]{S[n-1](t)-S[n-1](t-1)}dt + 1
(帰納法の仮定より)
= n∫[1,x]t^(n-1)dt + 1 = (x^n - 1) + 1 = x^n

以上により示された
0387１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:22:40
多分、教養で習う。複素解析の最後に俺は習った。
Γ関数やって、関数の無限積による定義やってその後だったかな。
教養の２年生頃だったかな。
0388１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:23:50
>>380
任意の(すべての) θ（0≦θ＜360°）で満たす訳だから、単に定義域の場合分けを3角関数で表しただけと読んだが。
03893802006/05/10(水) 00:33:10
>>388
その意味なら下記のように書くべきだとおもいませんか？
---------------------------------------------------
二次関数ｆ(x)=3x^2+bx+c　が任意の角α（0≦α＜360°）,
β（0≦β＜360°）に対して
f(2sinα)≧0, f(3-cosβ)≦0 を満たす。
---------------------------------------------------
0390１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:35:13
>>386
ありがとうございます！
今からノートに書いて理解しようと思います
他のスレにも救援を求めてしまったのでそちらを取り下げなければ！
まずは御礼まで
0391１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 00:37:15
つーかどう見ても帰納法だったわけだが。
0392１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 01:53:24
>>227
t = log(x) とすると
dy/dt = y(yt-1)
(1/y^2)(dy/dt) + (1/y) = t
u = 1/y とすると、du/dt = -(1/y^2)(dy/dt) より
-du/dt + u = t
∴ u = Ce^t + t + 1
∴ 1/y = Cx + log(x) + 1
初期条件より C=1
y = 1/{x+log(x)+1}
0393１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 02:12:09
>>360です。

ユークリッド平面において
集合A={(x,y)｜a<x<b,f(x)<y<g(x)}は開集合であることを示せ。
ただしa,bは実数で、f(x),g(x)は(a,b)上の連続関数とする。

解答
(x,y)∈Aに対してε1=(1/2)min{y-f(x),g(x)-y}とおく
f,gが連続だから、ある正数δが存在して、
｜x-x'｜＜δ　ならば　｜f(x)-f(x')｜＜ε1、｜g(x)-g(x')｜＜ε1
が成り立つ。
ここで、ε=min{x-a,b-x,δ,ε1}とおけば、点(x,y)のε-近傍はBの部分集合になる。

とあるのですが、εとしてδを選ぶことで何故収まると言えるのかがよく分かりません。
自分で描いた図では確かにδを選べばokになるのですが、その収まるといえる根拠を
教えてください。
0394１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 02:26:16
>>393
ん？εがδになるとは限らないじゃん。
0395１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 02:27:35
Aの部分集合になる。

要は境界までの中に点(x,y)のε-近傍を入れたいだけでしょう。
だから、確かに1/2じゃなくても良いわけですね。
0396１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 02:33:51
いっそ1/1000000くらいで。
0397１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 02:35:48
任意の(x,y)∈Aに対して、必ずあるε-近傍が存在してＡの部分集合になれば、
このε-近傍を全ての(x,y)∈Aに関して和をとれば、
ε-近傍は開集合だから、その無限和集合も開集合となって（開集合の公理から）
結局、Ａは開集合になる。
これが、論理のメインルートですね。
0398１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 02:36:53
>>394-395-396-397
レスどうもです。
εとしてx-a,b-x,ε1が不適であったらδを選ぶわけですよね。
εがδになった場合、どうして収まると断言できるのかなーって思いまして。
0399１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 02:39:31
>>397
大学一年だと開集合の公理まではやってないと思うけどね。ま、同じようなことか。
0400１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 02:39:32
Ａ内の任意の各点に関して、必ずあるε-近傍が存在する事を示す事が
論理の要になる訳です。
混乱しがちな所ですが、δやε1はそんなεを定めるのに必要なだけです。
0401１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 02:59:32
x方向にδやｙ方向にε1よりも、小さくε-近傍がＡ内に取れる所に意味がある訳です。
0402１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:04:27
例えば、単にε=min{x-a,b-x,y-f(x),g(x)-y}ととってしまったら、
このε-近傍内をy=f(x)やy=g(x)が横切ってしまうおそれがある事が
わかりますか？
0403１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:05:35
>>399-400-401
レスどうもです。全く持って申し訳ないくらいに、う～んといった感じです。
勉強不足で申し訳ないのですが、初めてこの問題に遭遇したとして、
どうしたらε=min{x-a,b-x,δ,ε1}を導けるのでしょうか？
x-a,b-xはx軸方向の関係で、ε1はy軸方向の関係で、
ではδは…。
連続だからこうなるってことは分かるのですが、この条件がなぜεになるのか？
お願いします。
0404１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:06:12
>>402
はお、そこはokです。
0405１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:06:18
>>399
そこを問わないのなら、問題にならないでしょう。
0406１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:09:08
>>404
δとε1によって、せっかく、y=f(x)やy=g(x)が横切らない様な矩形が選べている
事には気がつきましたか？
0407１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:11:06
>>405
普通解析の入門で最初に習うEuclid空間の開集合の定義は
開集合の公理とは一見別物に見えるからさ。
0408１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:12:28
>>406
＞δとε1によって、せっかく、y=f(x)やy=g(x)が横切らない様な矩形が選べている

ここ詳しくお願いします。
0409１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:12:47
>>403
正直、初めてこの問題に遭遇したとして、ε=min{x-a,b-x,δ,ε1}は導けないでしょう。
こうとるのか！！と感心するのが通常で、慣れで次がうまくいく話だと思います。
0410１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:16:19
>>408
だってそれは定義でしょう。このくらいのx方向δ内ならy方向ε1内に収まる！！
って言うのは連続の定義です。
そこを、うまくとって、(x-y平面に広がる)εが選べた訳ですから。
0411１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:17:03
>>409-410
あ～、やっぱりそんなもんなんですか。
こんなんどうして分かるんだいって昨日から煩悶してました。
とりあえずここはこうなるんだなーって程度に納得して、また再び取り組みたいと思います。
親切極まりなくありがとうございました。感謝です。
0412１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:29:31
「部分集合 U ⊂ X について，U のどの点をとっても，正数 ε が存在して，Bε(x) ⊂ U が成立するとき，U は開集合であるという」
開集合の定義はこれを使っていますか？
0413１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:35:25
でしょうな。
0414１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:38:23
>>412
遅くなりました。類題解いてました。
定義はそれを使ってます。
0415１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 04:04:11
よく考えたのですが、対偶を使っています。
0416１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 04:13:54
対偶？
0417１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 04:28:45
いや、いいんだ。ごめんなさい。どのみち、混同しそうです。私も混同してきましたが、

どうやら、1/2が深く意味を持つようです。
どんなに近くなっても関数はｙ方向に半分までしか近ずいてこないと言う点がミソの
ようです。一方εは最初からε1より小さいから、その半分より近傍はこっちにある。
そういう事な様です。解説していても非常にうっとうしいです。
0418１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 04:32:52
>>414です。再考しましたが、どうにも煮えきりません。
g(x)を「∩」こんな感じの線にして、f(x)を∩の下のほうを通る横線にする。
a,bを広くして、∩の急上昇している当たりの線の近くに(x,y)をとると、
εとしてx-a,b-x,ε1x-a,b-x,ε1は不適だからδの出番になる。
で、f,gは連続だからδが取れる。
なのでεの候補としてδが出てくるところまではokです。
とすると、δが存在するということが大切なのだと思うのですが、
では証明に
｜x-x'｜＜δ　ならば　｜f(x)-f(x')｜＜ε1、｜g(x)-g(x')｜＜ε1
を書く意味ってのがよくわかりません。
書いてあるので必要だとは思うのですが、これを書く意味は何でしょう？
f,gは連続だから正数δが存在するではダメなのでしょうか？
0419１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 04:33:12
どうせ2つ分足すことになるから1/2つけてるんでしょ？
3つ分になりそうなら1/3にするし。
こういうのって平面の問題じゃなくてもよくあると思うんだけど。
0420１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 04:36:34
>>418
> f,gは連続だから正数δが存在する
意味わかんねーよ。
> ｜x-x'｜＜δ　ならば　｜f(x)-f(x')｜＜ε1、｜g(x)-g(x')｜＜ε1
が連続の定義だろが。
0421１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 04:37:01
>>418です。
訂正「εとしてx-a,b-xは不適だからδの出番になる。」

＞どうせ2つ分足すことになるから1/2つけてるんでしょ？
なるほど、テクニックとして覚えておきます。
0422１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 04:38:34
>>420
あー、そうか。
｜x-x'｜＜δ　ならば　｜f(x)-f(x')｜＜ε1、｜g(x)-g(x')｜＜ε1
だからってことなんですか。
どうもです。
0423１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 04:41:29
>>421
一応言っておくとこういう係数みたいのは後付けでやるもんだからね。
最初から先読みして1/2とかにするわけじゃないからね。
とりあえず係数つけないでいって後で足りねーってなったら係数をその都度訂正していく。
0424１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 04:41:45
つまりｘ方向δ以内の幅なら、せいぜいｙ方向ε1以内（これはグラフとの差の半分以下）
グラフは近ずいてきません。
一方、ε近傍はε1より小さく(これは点(x,y)とグラフとの差の半分以下ですから)
グラフがどんなに近ずいても交わらない様にとれています。

話しているだけでも、とてもうっとうしいです。是非図を書いてください。

つまり、グラフから見れば、今選んでいる(x,y)まで、y方向に考えて
xをせいぜいδずらしてもその距離（ｙ方向点とグラフの距離）の半分までしかちかずけません。
一方、ε近傍はもちろん、今選んでいる(x,y)からグラフをみて、ｙ方向に考えて
半分より小さくとれているので、
ε近傍内にグラフが横切る事はない。と言う事です。うっとうしいです。
もう寝ます。是非、図で考えてください。
0425１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 04:44:10
乙
0426１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 04:46:26
>>423-424
面倒事に助言ありがとうございました。
気になっていた部分がうすらぼんやり見えつつある気がします。
本当にありがとうございました。
では良い夢を。
04274232006/05/10(水) 04:48:11
ついでにいうと
ε=min{x-a,b-x,δ,ε1}
も先読みして置いてるんじゃなくて
証明をしようとして必要となったものをmin{}の中にその都度追加していってる。
0428１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 04:54:08
>>427
どうも、ご丁寧に。

0429１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 04:56:10
つか、半分までしか近づかないってのはどこから分かるのだろうか・・・
04304292006/05/10(水) 05:02:50
あ、わかりました。
｜x-x'｜＜δ　ならば　｜f(x)-f(x')｜＜ε1、｜g(x)-g(x')｜＜ε1
が、縛りになってるわけだ。
0431１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 12:25:51
ｫ'`ｫ'` ｡+ﾟヽ(｡･c_,･｡)ﾉﾞ｡+ﾟｫ'`ｫ'
0432１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 15:04:33
（１）　A^2≠０だがA^3＝０となる２×２行列Aは存在しないことを示せ。
（２）　A^2＝Eとなる２×２行列Aは無数にあることを示せ。
　
これはどうやって示せばよいのか教えてください。
0433１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 15:09:22
>>432
成分はどんな数？
0434１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 15:11:51
>>432
背理法じゃない？
0435１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 15:22:12
大きくなれよ！
0436１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 15:23:58
はいりはいりふれ・・・って今どき通じるのか？
0437１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 15:26:01
>>435
昼下がりに顔がほころんだわw
0438１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 15:32:36
ラッパー 一発 ぶっぱなせー
よりは通じるんじゃないかと思う。
0439１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 15:41:13
>>432
(1)はA^3=Oにケーリーハミルトン使って次数下げて矛盾を導く、かな。
(2)は成分表示するくらいしか思いつかないが、2x2ならすぐできるはず。
0440１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 15:43:07
(2)もケーリー
0441１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 15:45:51
そっかorz
0442１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 16:46:14
ぼくらはおへそに力を込めて
0443１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 20:16:25
ラッパ吹けラッパ
0444１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 21:10:06
数学板にいるってだけで、なんどか目にしてるような気がする丸大ハンバーグ
0445１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 21:27:33
はいりはいりふれ背理法
0446１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 06:41:47
任意で成り立つんだから、ε1をこう取っても成り立つっていうのも重要なポイント。
0447１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 10:24:16
いきなりなんだ？
0448１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 10:25:21
http://www.crossroad.jp/cgi-bin/bbs/mathbbs/cbbs.cgi
0449１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 10:26:14
>>448
それがどうした？
0450１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 10:39:34
>>448
勇気がなくてみられない画像すれにはられてるぞ
0451１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 10:58:50
ただの掲示板じゃん。
0452１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 11:12:27
Ｖ:n次元線形空間
Ｓ={v(1),v(2),･･,v(n)}⊂Ｖ
ＳがＶを張る⇔Ｓは一次独立なベクトルの集合

を示せ
0453１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 11:17:38
線形空間の次元の定義は？
0454１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 11:27:24
>>452
「ＳがＶを張る」　の定義を書いてみて
0455１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 11:30:51
x^3=(x-3)^3+a(x-3)^2+b(x-3)+c

解き方忘れてしまったorz
0456１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 11:31:28
>>455
それをどうしろと？
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