>>729
√x+√y≦k√(2x+y)…(※)
すべてのx,yに対して成り立つには、(※)式の左辺の最大値より右辺が大きければ良い。
x,y＞0より
√x+√y≦2√{√(xy)}=2{(xy)^(1/4)}
ただし等号はx=yの時であり、このようなx,yは存在する。
したがってx=yの時、
√x+√y≦2{(xy)^(1/4)}≦k√(2x+y)
を満たす最小のkを求めれば良い。
2{(x^2)^(1/4)}≦k√(3x)
この式が成り立つとき少なくともk＞0なので、両辺を二乗しても大小関係は変わらない。
4x≦3(k^2)x
x＞0より
4≦3(k^2)
k＞0より
k≧2/(√3)
よって求める値は2/(√3)