今日、駿台の東工大プレ受けてきました。そこでこんな問題があったのですが、

　a(n)=Σ[k=1,n]k^2とおく。自然数mに対してm^3≦a(n)≦(m+1)^3が成立するようなAnの
　個数をCmとする。このときすべての自然数mに対してCm≧1であることを示せ。

という問題があったのですが、これの解答は、数学的帰納法を使用し、
シグマを展開して不等号を使用して…という面倒な解答でした。
そこで自分で考えてみたのですが、

　mの下限はm=1であり、このときa(1)=1、a(2)=5、a(3)=14よりCm=2となりCm≧1は成り立つ。
　ここで、mにすべての自然数を代入すると、m^3から(m+1)^3の範囲はすべての自然数となる。
　a(n)は自然数の2乗の和であるから自然数である。
　mとnは互いに任意に決定できる値なので、数直線上においてa(n)をm^3から(m+1)^3の間に
　少なくとも１つ置くことは、全ての自然数の中に１つ自然数を置くことと同意であり常に可能。
　よって題意は証明された。

こういう解答はどうだと思いますか？どこか間違ってたら教えて下さいませんでしょうか。