お答えいただきありがとうございます。再度訂正したので、
もう一度見てください。よろしくお願いします。
∀O∈O_Bとすると、(f|A)^(-1)(O)=A∩f^(-1)(O)である。
O=O´∩BとなるO´∈O_X_2がとれて、
fが連続であるから、f^(-1)(O´)∈O_X_1
相対位相の定義から、A∩f^(-1)(O´)∈O_A
よって、gは連続である。