>>692
回答いただきありがとうございます。証明を以下のように
直したので見てください。
∀O∈O_Bとすると、(f|A)^(-1)(O)=A∩f^(-1)(O)である。
fが連続であるから、f^(-1)(O)∈O_X_1
相対位相の定義から、A∩f^(-1)(O)∈O_A
よって、gは連続である。
よろしくお願いします。