>>691
y=xに関しての対称性から求める積分は
2∬{(a^2+x^2+y^2)^-3/2}dxdy、D={0≦x≦a,0≦y≦x}
I=∬{(a^2+x^2+y^2)^-3/2}dxdyとおく
(x,y)→(r,θ)と極座標変換すると、D={0≦r≦a/cosθ,0≦θ≦π/4}
I=∬(a^2+r^2)^(-3/2)*r drdθ = ∫_[0,π/4]dθ∫_[0, a/cosθ](a^2+r^2)^(-3/2)*r dr
∫_[0, a/cosθ](a^2+r^2)^(-3/2)*r dr = [-(a^2+r^2)^(-1/2)]_[0, a/cosθ]
=(1/a)*{1-cosθ/(√cos^2θ+1)}=(1/a)*{1-cosθ/√(2-sin^2θ)}
∫_[0,π/4] (1/a)*{1-cosθ/√(2-sin^2θ)}dθ=(1/a)*[θ-arcsin(sinθ/√2)]_[0,π/4]
=(1/a)*(π/4-π/6)=π/(12a)
ゴメン最後の積分は機械任せ、がんばってくれ