>>585
(1)
a+Z/(p^e)Z∈Z/(p^e)Zの位数がp⇔pa∈(p^e)Z⇔a∈(p^{e-1})Z⇔a=p^(e-1)*b　
bはb=0、･･･、p-1のp個とれるから、位数が高々pの元はp個ある。
(2)
Z/ｎZ＝Z/(Πp^aZ)＝ΠZ/{(p^a)Z}
より明らか
(3)
sの約数rをとる
位数がrの元xが存在するとき、sと互いに素でsより小さな自然数tをとる、x^tの位数はαとする。
x^(rα)=1⇔s|rα⇔s|αだから、α=sとなる。
また、y^r=1となる元の個数はr個より多くなることはないから、
x^0,x,･･･,x^(r-1)でy^r=1の解はすべてつくしてある。
よってSに位数rの元はφ(r)個(φ(r)とはrより小さな自然数のうちrと互いに素となる自然数の個数のこと)ある。
したがって、Sの中で位数rの個数をU(r)とおくと
s≦Σ[r|s｣U(r)≦Σ[r|s｣φ(r)=sとなるから、U(r)=φ(r)個ある
したがって、位数sの元もφ(s)(＞0)個ある。
よって、Sも位数Sのsの元zの巡回群と考えることができる
S＝(z)＝Z/(ｓZ)