(X_1,O_1),(X_2,O_2)を位相空間とし、f:X_1→X_2を連続写像
とする。A⊂X_1、B⊂X_2にたいしてf(A)⊂Bが成り立つとき、
g:A→Bをg(a):=f(a)(∀a∈A)で定義すれば、gは連続写像である
ことを示せという問題を以下のように解いたのですが、合って
いるか見てください。
∀O∈O_Bとする。(f|A)^(-1)(O)=A∩f^(-1)(O)∈O_A
∀a∈A∩f^(-1)(O)とすると、a∈f^(-1)(O)∈O_1だから、
∃ε＞0/N_X_1(a;ε)⊂f^(-1)(O)
ここで、N_A(a;ε)=N_X_1(a;ε)∩Aだから、
N_A(a;ε)=N_X_1(a;ε)∩A⊂f^(-1)(O)∩A=(f|A)^(-1)(O)である。
よって、N_A(a;ε)⊂(f|A)^(-1)(O)となり、(f|A)^(-1)(O)∈O_A
したがって、gは連続である。
よろしくお願いします。