>>789
有限整域は有限体
有限整域Rの0でない任意の元aについて、積に関する逆元が存在する事を示せばよい。
Rの元xに対してaxを対応させるRからRへの写像fを考えると、これは全単射になる。
∵Rの2元b,cについてf(b)=f(c)、即ちab=acとなるならa(b-c)=0となる。
a≠0とRが整域であることからb-c=0とならなければならないのでb=c。よってfは単射。
f(R)={f(x)|x∈R}　というRの部分集合を考えるとfの単射性から
f(R)の元の数はRの位数と一致するのでｆ（R)=Rとなることがわかる。
よってfは全射。以上よりfは全単射。
fの全単射性から(y)=1　(Rの積の単位元)　となるyが唯一つ存在する事になる。
fの定義からこのyはaの積の逆元。
aはRの0で無い元として任意に取れるのでRは体。ゆえRは有限体となる。

有限体の位数云々は以下を参考に。
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%89%E9%99%90%E4%BD%93