双曲線関数の定義がよく分かりません。
オイラーの公式e^(iθ)=cosθ+isinθ　にθ→-θを代入して
　　　　　　　e^(-iθ)=cosθ-isinθ
この2式から　cosθ={e^(iθ)+e^(-iθ)}/2
sinθ={e^(iθ)-e^(-iθ)}/2i
tanθ={e^(iθ)-e^(-iθ)}/i{e^(iθ)+e^(-iθ)}
が導き出されるところまではいいんですが、iθをxで置き換えて
coshx={e^x+e^(-x)}/2
sinhx={e^x-e^(-x)}/2
tanhx={e^x-e^(-x)}/{e^x+e^(-x)}
と定義されるのが分かりません。cosθはともかくsinθやtanθの分母のiはどうなった
んでしょう？単に元の式（オイラー公式）から定義付けただけでしょうか？
それとグラフ見ると双曲線になってないような気がするのですが、なぜ
双曲線関数と呼ぶのかも分かりません。