>>49
A^2=1 のとき (x^2)/{√(1-x^2) +A} = -√(1-x^2) +A なので
I = ∫log|√(1-x^2) +A| dx
　= x･log|√(1-x^2) +A| + ∫(x^2)/[{√(1-x^2) +A}√(1-x^2)] dx
　= x･log|√(1-x^2) +A| +∫{-√(1-x^2) +A}/√(1-x^2) dx
　= x･log|√(1-x^2) +A| +∫{-1 +A/√(1-x^2)} dx
　= x･log|√(1-x^2) +A| -x +A･arcsin(x).

A^2≠1 のとき (x^2)/{√(1-x^2) +A} = -√(1-x^2) -1 +(A+1){√(1-x^2) +1}/{√(1-x^2) +A}.
I = ∫log|√(1-x^2) +A| dx
　= x･log|√(1-x^2) +A| + ∫(x^2)/[{√(1-x^2) +A}√(1-x^2)] dx
　= x･log|√(1-x^2) +A| + ∫{-1 -1/√(1-x^2) +(A+1){√(1-x^2) +1}/[{√(1-x^2) +A}√(1-x^2)] } dx
　= x･log|√(1-x^2) +A| -x -arcsin(x) +(A+1)∫{√(1-x^2) +1}/[{√(1-x^2) +A}√(1-x^2)] dx.

ここで x=2t/(1+t^2), (0≦t≦1) とおく。√(1-x^2)=(1-t^2)/(1+t^2).
I = x･log|√(1-x^2) +A| -x -arcsin(x) + 2(A+1)∫1/{(1-t^2) +A(1+t^2)} dt
　= x･log|√(1-x^2) +A| -x -arcsin(x) + 2(A+1)∫1/{(A-1)t^2 +(A+1)} dt
　= x･log|√(1-x^2) +A| -x -arcsin(x) + 2c∫1/(t^2 +c) dt.
ここに c=(A+1)/(A-1).

A^2<1 のとき c<0, I = x･log|√(1-x^2) +A| -x -arcsin(x) - (√(-c))log|(t-√(-c))/(t+√(-c))|.
注: -1≦A≦0 のとき特異点の余寒

A^2>1 のとき c>0, I = x･log|√(1-x^2) +A| -x -arcsin(x) + 2(√c)arctan(t/√c).