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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問

レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
0001１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 09:00:00
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0883１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 21:27:04
>>882
より一般的って具体的な形は？
答は出てた？
0884１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 01:38:44
>883

〔乗積公式〕(Gauss-Legendre)
　{sin(z)/sin(z/n)}･(1/2)^(n-1) = Π[k=1,n-1] sin((z+kπ)/n)

これで z→0 とする。
0885１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 02:52:03
>>880
2.(1)
a[n]=cos(π/2^n)
0886１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 02:54:24
訂正
2.(1)→2.
0887１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:00:14
>>884
まぁ>>879の最後の１行に書いたものがその解法ですが。
一応学コンの問題を経由すれば高校の範囲で証明可ということです。
もう問題自体忘れてしまいましたが。
あとチェビシェフの多項式を使っても高校の範囲内でできたはずです。
知人がやってくれました。詳しいことは覚えてません。
0888１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 09:28:32
>>885　正解。
0889１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 16:26:14
分かスレから。レスが付かなかったので。

2以上の任意の自然数nに対して　Σ_[k=1,n]√k　は無理数であることを示せ。

大学以降の知識を使っても結構です。
0890１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 17:54:10
＞理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
＞解ける問題を考えてうぷするスレ。
＞これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
＞関連スレへどうぞ
0891１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 19:16:57
「これ以上の難易度の問題」を考えてくれるスレはどこですか？
0892１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 19:48:09
はーー？
「大学以降の知識を使っても結構です。」とか書かれると
高校生がやる気なくすんだよ！！ボケ！！！○ね！
0893１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 19:50:32
あ・・ごめんなさい、ちゃんと読んでませんでした。

面白い問題おしえて～な 11問目
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
とかいいんじゃないでしょうか。すいません。
0894１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 23:25:20
次の(i)(ii)をともに満たす複素数の集合 A を求めよ。
(i) A は相異なる3つの要素で構成される
(ii) 任意の a∈A, b∈A に対し、ab∈A となる
0895１３２人目の素数さん2006/05/12(金) 00:33:27
>>894
明らかにa∈Aのaに対して、a^k∈Aが成立する。
Aが有限集合であることから、ある異なる二つの自然数i,jに対して
a^i = a^jが成立する。このことから、a≠0の時、ある自然数mが存在して
a^m=1かつ、a , a^2 , …… , a^mは全て異なる複素数。
という条件が成立する。
1=a^m∈Aより、1∈A
|A|=3より、　m≦3

b≠0,1かつ、b∈Aなるbに対して、mの値で場合わけを行う。
b≠1より、m≠1．
m=2のとき、b^2=1、b≠1より、b=-1、従って、±1∈A
c≠±1、c∈Aとすると、明らかにc=0．従って、A={0,-1,1}

m=3のとき、b^3=1、b≠1より、b=-1/2 ± √-3/2
この場合明らかに
A={-1/2 ± √-3/2、1}
0896１３２人目の素数さん2006/05/12(金) 23:59:16
>>883
既に回答が出ているが、念のため
http://makimo.to/2ch/science4_math/1136/1136032157.html
このスレの270から読んでみ。
0897１３２人目の素数さん2006/05/13(土) 00:12:31
>>894 俺の解答

A={a, b, c} とする。
Aが0を含まないとき ab, bc, ca は全て異なる値となり、これが a, b, c いずれかと一致するので
　ab・bc・ca=abc が成立する。 abc≠0 より　abc=1
さらに a^2, ab, ac も異なる値となるので　a^2・ab・ac＝abc ∴a^4・bc=1
abc=1 から a^3＝1 同様に b^3＝1, c^3＝1 が得られるから、ωを1の3乗根(虚数)として
　A={1, ω, ω^2}
0∈Aのとき、c=0 とすると a^2 と ab は異なる値となり、ともに0でないから
a^2・ab＝ab ∴a^2=1 同様に b^2=1
A={1,-1,0}

895の方が美しいかも。
いずれにしても、ちゃんと処理しないと，場合わけで大変なことになりそうだな。
0898１３２人目の素数さん2006/05/13(土) 00:17:42
＞Aが0を含まないとき ab, bc, ca は全て異なる値となり、

そーなん？
0899１３２人目の素数さん2006/05/13(土) 00:20:00
ごめん、よく見てなかった
>>898は忘れて
0900１３２人目の素数さん2006/05/13(土) 14:53:18
>>894
a∈A とすると 任意の自然数kに対して a^k∈A
|a|≠0、1 のとき |a^k| はすべて異なるので、a^k もすべて異なり矛盾。
0901１３２人目の素数さん2006/05/16(火) 02:01:12
後期、５０分
ＡからＥまでランダムに８桁並べる。
このとき、たとえばＡＡＢＤＤＥＡＢのように
ＡＢの列が少なくとも１つある確率を求めよ。
09028842006/05/16(火) 03:08:01
>>887
　(ﾋﾝﾄ)
　f(z) = Π[k=0,n-1] sin((z+kπ)/n) は sin(z/n),cos(z/n) のn次以下の多項式で、f(0)=0 で、しかも周期2πをもつ。
　sin(z) の定数倍にちげぇねぇ....
0903１３２人目の素数さん2006/05/16(火) 04:55:11
>>895>>897
馬鹿が大杉でワロタｗ
高校からやり直して来いｗ
0904１３２人目の素数さん2006/05/16(火) 21:33:33
>>903
の模範解答に期待
0905１３２人目の素数さん2006/05/17(水) 00:09:01
>>903
どこが間違ってるか分からん、解説希望
0906１３２人目の素数さん2006/05/17(水) 11:24:03
期待ａｇｅ
0907１３２人目の素数さん2006/05/17(水) 16:50:41
任意のx∈Aに対して、x^n（ｎは任意の自然数）∈Aであることより、|x|=1が従う。
故に、x=cos(c) + i sin(c)と書ける事が分かる。

このとき、a,b,c∈Aのargをこ
0908１３２人目の素数さん2006/05/17(水) 22:45:00
〔問題〕
　nが1より大きい自然数のとき、1 + √2 + √3 + … + √n は無理数である
　ことを示せ。
0909β ◆Rq/zarPIZo 2006/05/17(水) 22:46:03
k=1→nΣ√ｋを使うな。
0910β ◆Rq/zarPIZo 2006/05/17(水) 22:48:43
Σの公式を改造して√でも使えるようにするのが、
一番楽しいやり方だろうな。
0911１３２人目の素数さん2006/05/17(水) 22:51:45
>>908
　(略解)
　まづ 1 + √2 + … + √n を根とする整多項式f_n(x)を次のようにおく。
　n=1のとき　　　　　　f_1(x) = x-1,
nが平方数でないとき　f_n(x) = f_{n-1}(x-√n)*f_{n-1}(x+√n),
　nが平方数のとき　　　f_n(x) = f_{n-1}(x-√n).

　f_{n-1}(x-√n) = g(x) - h(x)√n, (f_{n-1},g,hは整多項式) とすれば
　f_{n-1}(x+√n) = g(x) + h(x)√n　だから
　f_n(x) = {g(x) + h(x)√n}{g(n) - h(n)√n} = g(x)^2 -n･h(x)^2 もまた整多項式である.
　g(x),h(x)は互いに素 (共通根がない.) 　

f_n(x) (n>1)の根がすべて無理数であることを nに関する帰納法によって示す。
・nが平方数でないとき, √n は無理数.
　もし f_n(x) が有理根r を持つと、g(r)±h(r)√n =0 より g(r)=h(r)=0　　(← 1と√n はＱ上独立)
　ところが、g(x),h(x) が共通根rをもつことは 帰納法の仮定と矛盾する。
　∴ f_n(x) の根はすべて無理数。

・nが平方数のとき
　f_{n-1}の根は無理数だから、それに自然数√nを加えても無理数。　(終)

f_n(x)の例
　f_1(x) = x-1,
　f_2(x) = (x-1)^2 - 2,
　f_3(x) = {(x-1)^2 +1}^2 -12(x-1)^2,
　f_4(x) = {(x-3)^2 +1}^2 -12(x-3)^2,
　　……
0912１３２人目の素数さん2006/05/17(水) 23:06:37
>903 もどうせ馬鹿だろ。
0913１３２人目の素数さん2006/05/17(水) 23:46:34
本当に>>903の言ってることが分からんのだが。
単に>>903が馬鹿なの。それとも、上で解答してるやつらが馬鹿なの？
0914１３２人目の素数さん2006/05/17(水) 23:51:42
今となっては、>>903が逃げ出したということしか分からない
0915１３２人目の素数さん2006/05/18(木) 00:02:49
>>914
ニヤニヤ
0916１３２人目の素数さん2006/05/18(木) 00:44:00
>　g(x),h(x)は互いに素 (共通根がない.)
?
0917１３２人目の素数さん2006/05/20(土) 01:21:34
ところで皆、有名事実（？）っていうのどれくらい知ってる？
0918１３２人目の素数さん2006/05/20(土) 02:37:21
最低でも
ttp://www.iis.it-hiroshima.ac.jp/~ohkawa/math/math_problem_all.htm
に「有名問題」と書いてある事くらい。
0919１３２人目の素数さん2006/05/20(土) 03:52:36
>>894
A={0,1,-1}
0920１３２人目の素数さん2006/05/20(土) 05:14:04
積について閉じているならば、単位元と逆元は必要。
0921１３２人目の素数さん2006/05/20(土) 14:26:44
>>919
どうして、{1,ω,ω^2}が無いの？
0922１３２人目の素数さん2006/05/20(土) 15:07:21
誤答だから。
0923１３２人目の素数さん2006/05/20(土) 21:43:13
まさか、>>903=>>919？
0924１３２人目の素数さん2006/05/20(土) 22:17:09
莫迦は>>920をよく読んで考えろ
1の逆元は-1だ

それでも理解できない奴は数学諦めた方がイイ
0925１３２人目の素数さん2006/05/20(土) 22:20:43
>>924
すごーーーーい。
んじゃ、現役研究者全員数学あきらめた方がよさそうだなｗ
0926１３２人目の素数さん2006/05/20(土) 22:34:10
>>924
逆元ってどういう意味だっけ？
マジに分からんのだけど、説明してくれる？
1の逆元は-1でOK？
0927１３２人目の素数さん2006/05/20(土) 22:34:42
あ、忘れてた。
皿仕上げしとく。
0928１３２人目の素数さん2006/05/20(土) 23:00:57
なんか、問題少ないんで超有名問題だけど一問投下しておく。

ある凸六角形を有限個の線分で、2個以上の凸六角形に分割したい。
そのようなことが不可能であることを示せ。
0929１３２人目の素数さん2006/05/20(土) 23:12:00
加法の逆元と乗法のそれを混同してるな。
0930１３２人目の素数さん2006/05/20(土) 23:20:15
>>929
っし。　そんな事言っちゃ駄目
09318942006/05/21(日) 04:03:11
>895 >897 が正解
>924 は莫迦
0932１３２人目の素数さん2006/05/21(日) 12:37:59
良スレなのでまとめサイト希望。
0933１３２人目の素数さん2006/05/21(日) 19:36:45
自然数をある規則によってグループ分けすると、
あるグループには全く完全平方数が含まれない。
どんな規則なのか妄想しなさい。
0934１３２人目の素数さん2006/05/21(日) 22:12:54
完全平方数かそうでないかでグループ分けすればよい

俺って頭よくね？
09359342006/05/21(日) 22:26:57
>>934
妄想乙です。でもね。
各グループはa(n)=bn+c(b,cは自然数の定数)って形で
表されなくちゃいけないの。
0936１３２人目の素数さん2006/05/21(日) 22:35:20
>>935
それ早く言えよ
09379342006/05/21(日) 22:35:56
>>935
名前間違った。あひゃひゃ933だった。
0938１３２人目の素数さん2006/05/21(日) 22:39:24
>>933-936
君たち、おもろいぞ。その調子だ。
09399332006/05/21(日) 22:39:38
>>937
また名前間違った。
0940１３２人目の素数さん2006/05/21(日) 22:40:32
>>935
最初から言えよｗ
09419332006/05/21(日) 23:01:40
あ、自然数ってか0以上の整数だった。
0って自然数じゃないよね?(うる覚え)
ちなみに、a(n)=bn+cでbは各グループで共通ね。
09429332006/05/21(日) 23:07:16
連カコすまそ。
cは0になり得ます。鬱だ死のう。
みんな、どんどん妄想してね。
0943１３２人目の素数さん2006/05/21(日) 23:14:17
まだ条件が追加されそうだからやめておく
09449332006/05/22(月) 00:28:54
>>943
もう条件の追加はないよ。
ヒント。0から完全平方数を並べてみると、
0,1,4,9,16,25,36,...
上記を3で割ると...
0945１３２人目の素数さん2006/05/22(月) 00:32:44
別に4n+2,3でもいいし5n+2,3でもいいし6n+2,5でもいいだろうし
0946１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 14:10:33
点Oを原点とするxy平面上にOA=ABの直角二等辺三角形OABがあり、点Aのx座標は1である。
点Bの存在しうる点全体の集合による曲線とy軸によって囲まれる部分の面積を求めよ。
0947１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 14:41:20
>>946
4
0948１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 14:46:52
>>946
点Ｏ,Ａ,Ｂの順番の条件がいるだろ
0949１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 14:51:52
>>947
しかも３だし
09509472006/05/25(木) 15:18:51
>>948-949
順番が決まってないからｙ軸と曲線で囲めるんだが

３なのか？
0951１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 15:24:29
>>950
４だね
09529472006/05/25(木) 15:37:14
>>951
だよねｗ

実際に試験に出たらBの位置を固定しちゃって｢曲線にならねーよー！｣って人が出そうだなｗ
まぁ解きながら不安に思える問題という点ではいいかもｗｗｗ
0953１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 15:54:27
でも、入試で出るにしてはちょっと問題短いかも
0954１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 16:27:47
＊　 　　　+　　_ r‐､＿
　　　　　　　　_ゝ⌒ ´　_）
+　　　　。 　Ｙ　,.-‐ ､)　　　　　　　　　　　　_(ヽｎ
　　　　　 　 ‘‐弋.　　ヽ　　　　　　 ,.―-‐'Z_ｰﾍ　｀Ｙj ,、 　+　　　　。　　　　　+　　　　。　　　＊　 　　　。
　　　　　　　　　 ヽ　　 ｀､　 ,.ィ"¨７ {　　　　＼ 〉_,,._ .）′
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09559472006/05/25(木) 16:31:53
>>953
この方向性で少しアレンジorこれを小問の１つとするかどっちかだな。
文系にはこれでちょうどいい希ガス(やや易～標準問題だな)
0956１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 16:55:52
>>954
君を 「数ヲタは皆ロリコンだよ」 スレの専属ＡＡ職人にスカウトしたい！
0957１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 20:26:00
任意の二つの自然数をa,bとする時、下記の(1),(2),(3),(4)全てが
有理数となるようなa,bが存在しないことを証明しなさい。
(1)(a+b)＾0.5
(2)(a-b)＾0.5
(3)(a*b)＾0.5
(4)(a/b)＾0.5
0958１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 20:29:48
a=b=2で
(1)(a+b)＾0.5=2
(2)(a-b)＾0.5=0
(3)(a*b)＾0.5=2
(4)(a/b)＾0.5=1
0959１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 21:11:25
>>957は「任意の」要らないような
第二問
>>957の作意を推測しなさい
0960１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 21:19:13
>>959
反例挙げてるからいいんじゃないの？
>>957の作意って何？
0961１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 21:20:53
いや俺もわからん
0962１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 21:22:32
>>957
(1)(a+b)＾0.5
(2)(a-b)＾0.5
(3)(a*b)＾0.5
(4)(a/b)＾0.5

どっかで見たことあるな。
a≠bとかつかないかな？　いや、めっちゃ適当だから間違ってると思うけどさ
0963１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 21:29:09
x-y平面上に次の２つの条件を同時に満たす三角形を作りたい。
そのような事が可能か不可能かを判断せよ。

条件
１．　三角形の頂点はどれも格子点上にある。
２．　ある有理数p,qが存在し、三角形の内角をA,B,Cとすれば
　　　　　A=pB+qC
　　　が成立する。
0964１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 21:43:08
(0,0),(1,2),(3,1)
09659632006/05/25(木) 21:49:12
間違えた。

x-y平面上に次の３つの条件を同時に満たす三角形を作りたい。
そのような事が可能か不可能かを判断せよ。

条件
１．　三角形の頂点はどれも格子点上にある。
２．　ある有理数p,qが存在し、三角形の内角をA,B,Cとすれば
　　　　　A=pB+qC
　　　が成立する。
３．　三辺の長さが整数である。
0966１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 21:54:32
無理
0967１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 21:57:35
可能
0968１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 21:58:16
どっちやねんｗ
0969１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 21:58:27
(0,0),(0,3),(4,0)
0970１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 22:00:17
さあ、次はどんな条件が後付けされるんだ？
0971１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 22:00:45
あぁ・・・そんな簡単な話だったか
すまん。
0972１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 22:08:26
一応お前が用意していた答えを聞かせてくれ。
釣じゃないならな。
0973１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 22:15:33
>>972
いやね、単に分からなかったから、聞いただけ。
ごめん。よく考えれば簡単なことだったのよね。ｽﾏｿ
0974１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 22:16:06
ここは質問スレじゃねーぞ！
09759572006/05/25(木) 22:31:52
a≠bでつ。
0976１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 22:38:47
ある数が５の倍数である時、その数が７の倍数でもある確率を求めなさい。
なお、もしも確率を求める事が不可能なら、その事も証明しなさい。
0977１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 22:40:19
>>976
1/7
0978１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 22:52:06
>>976
5の倍数：5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60,65,70
14個サンプリングしたら2個だ。
よって、>>977の言う通り1/7だ。
0979１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 23:07:11
同一平面上のn本の直線が一点Aで交わっており、
このn本の直線によって点Aの周りの角が2n等分されている。
これらn本の直線を軸とする半径1の直円柱n個の共通部分の体積をV(n)とする。
(1)V(n)を求めよ。
(2)lim[n→∞]V(n)を計算して(4/3)πとなることを確かめよ。
0980１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 23:30:19
１～１５までの自然数を相手に思い浮かばせて、それを当てるゲームをします。
ルールは、１～１５までの自然数を１個以上書いたカードを見せて、
相手が思い浮かべた自然数がカードに含まれるかどうかを質問し、
推測して当てるとします。
当てるには、最低何枚カードが必要でしょうか？
0981１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 23:35:59
>>980
質問するごとにカードに数字を書き込めるってこと？
それともあらかじめカードは全部書いておかなきゃダメなの？
0982１３２人目の素数さん2006/05/25(木) 23:41:20
xy平面上の放物線y=x^2上の点P(Pは原点でない)におけるこの放物線の法線をLとし、
Lと放物線の交点のうち、点Pと異なるほうを点Qとする。
(1)点Qのy座標の最小値を求めよ。
(2)放物線y=x^2と直線Lによって囲まれる部分の面積の最小値を求めよ。
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