>>861 四面体角っての初めて知った
>>849 気がつかなかった…

V は積分しなくても計算できることに気がついた

>>842 の領域 D 考える
D の４頂点 P,X,Y,Z を P=(1/2,1/2,1/2)、
X=(1/√2,1/2,1/2)、Y=(1/2,1/√2,1/2)、Z=(1/2,1/2,1/√2) とする

x^2+y^2+z^2=1 の球面を S として、(0,0,1) を S の北極とすると、
S 上での X,Y の経度の差 θ は、θ = 2arctan(√2) - π/2

面PXYの面積 = (3/8)θ - (1/4)(√2-1)

面XYZ を S の一部として、ガウス・ボンネの定理を適用すると、
面XYZの立体角 = 2π - 3(面XYZのXの外角) - 3∫[弧XY]kds
(k は弧XYの測地曲率、s は弧XYの弧長)

φ = (π/4) - (θ/2) とすると、
弧XYのXでの単位接ベクトル = (-sin(φ), cos(φ), 0)
弧ZXのXでの単位接ベクトル = (sin(φ), 0, -cos(φ))
∴ Xの外角 = arccos(-sin^2(φ)) = arccos(-1/3)

∫[弧XY]kds = θ*sin(弧XYの緯度) = (1/2)θ

∴ 面XYZの立体角 = 2π - 3arccos(-1/3) - (3/2)θ

Dの体積 = (1/3)(面XYZの立体角) - (1/2)(面PXYの面積)
= (1/8)(√2-1) + (2/3)π - arccos(-1/3) - (11/16)θ

これを８倍すれば V が出る