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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問

レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
0001１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 09:00:00
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0802１３２人目の素数さん2006/04/21(金) 23:44:47
>>801
0,1でない有理数の代数的無理数上は超越数だから無理数。
よって、2^√2は無理数。もちろん√2は無理数。
(2^√2)^√2=2^(√2*√2)=2^2=4は有理数。
よって、無理数の無理数乗は必ずしも無理数。
















とやってみる。
0803１３２人目の素数さん2006/04/21(金) 23:46:28
にならないをコピペできてなかったorz
0804１３２人目の素数さん2006/04/21(金) 23:48:05
>>802
> 0,1でない有理数の代数的無理数上は超越数だから無理数。
これは高校の範囲で証明できるの？
0805１３２人目の素数さん2006/04/21(金) 23:59:10
流石に無理だろw
0806１３２人目の素数さん2006/04/22(土) 00:00:38
つうか、あまりにネタ元が有名な問題なんで、わざとはずして答えてみたんだろう。
08078012006/04/22(土) 00:08:35
ググったらすぐ出てくるような問題なのね。ｽﾏｿ
友人から直観主義の話を聞いたときに教えてもらった問題でした。
0808１３２人目の素数さん2006/04/22(土) 00:16:15
阪大の過去問だな。
0809Geek ◆8MQVxjnUkg 2006/04/22(土) 00:22:46
>>799の問題って高校生で解ける？
まだ数Cに手をつけていない俺だが・・・

なんかここのスレの問題って、何度か解こうと試みたけど、
少ししたら今の自分の知識で解けるのかどうか分からなくなって
やめてしまうんだよね・・・
0810１３２人目の素数さん2006/04/22(土) 00:31:07
高校範囲で余裕。
でも凸面鏡じゃないじゃん。
0811１３２人目の素数さん2006/04/22(土) 00:34:09
>800
Snelliusの式
　3θ < 2{ 2sin(θ/2) + tan(θ/2) } = 4√{(1-cosθ)/2} + 2√{(1-cosθ)/(1+cosθ)}.
で　θ=π/6 とおくと、
　π/2 < (√6 -√2) + 2(2-√3) = (4+√6) -(√2 +2√3).
ところで、5-2√6 = 1/(5+2√6) >0,　2(4+√6) -(3√2 +5√3) = -(5-2√6)/{2(4+√6) +(3√2 +5√3)} <0 より
　π/2 < (1/2)(√2 + √3).
0812１３２人目の素数さん2006/04/22(土) 02:59:04
ああっ、もうダメッ！
ぁあ…固有値出るっ、固有値出ますうっ！！
たッ、たいかッ、対角化ーーーーーッッッ！！！
いやああああっっっ！！固有ベクトル見ないで、お願いぃぃぃっっっ！！！
ユニタリッ！エルミートーーーーーーッッッ…行列ッ！
正方行列ウウウウウッッッッ！！！！
ユークリッドおおーーーーっっっ！！！ノッ、ノルッ、ノルムゥゥゥッッ！！！
んはああーーーーっっっ！！！じ、じゅッ、じゅうかいぃぃッッ！！！
いやぁぁっ！たッ、対角化できないィィィッッ！！！
n重解ぃぃ！！固有ベクトルはm次元っっっ！！！！
むりぃぃ！！対角化むりぃぃ！！！忍耐イッ！限界ッ！忍耐限界忍耐ィィィィッッッッ！！！！
おおっ！ジョルッ！！ジョルダン標準形ィィィ！！！似てるぅぅ！！
ああっ、もうダメッ！！ジョルダン細胞ーーーーっっっ！！！
いやーーぁぁっ！こんなにいっぱい固有値出してるゥゥッ！
線形ぃぃぃぃぃぃぃっっっっ！！！！独立ぅぅッッ！！！
0813GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/04/22(土) 07:47:28
人の脳を読む能力を悪用する奴を潰せ。
0814１３２人目の素数さん2006/04/22(土) 15:41:18
>>811
〔Snelliusの式〕
　0<θ<π/2 のとき　2sinθ + tanθ > 3θ.
(略証)
　cosθ =z とおくと z>0,
　cosθ + cosθ + 1/(cosθ)^2 = 2z + 1/z^2 = 3 + (1+2z)(1-z)^2 /z^2 ≧3.　(← 相加･相乗平均)
　これをθで積分する.
　（証明は Huygens による.）

http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/679
0815１３２人目の素数さん2006/04/22(土) 18:49:05
5√3 - 4√2 > 3 > (√3 + 3√2)/2.
を示してください。
ただし √2=1.4142…, √3=1.7320…, 等は既知としない。
0816１３２人目の素数さん2006/04/22(土) 18:58:44
ついでにﾄﾞｿﾞｰ...

(41√3 - 29√2)/10 > 3 > 4√3 - (25/9)√2.
を示してください。
ただし √2=1.4142…, √3=1.7320…, 等は既知としない。
0817１３２人目の素数さん2006/04/22(土) 19:56:31
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…
0818１３２人目の素数さん2006/04/22(土) 22:00:43
既知としなくても二乗すれば良いじゃん
0819１３２人目の素数さん2006/04/22(土) 23:25:11
点(x,y)を原点のまわりに反時計回りに90度回転する変換は線形変換であること、さらに、対応する行列を求めよ
0820１３２人目の素数さん2006/04/22(土) 23:30:59
>>819
単なるマルチ
0821１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 00:10:27
5√3 - 4√2 > 3 > (√3 + 3√2)/2
3=√3(√3-√2)(√3+√2)
0822１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 00:11:32
3=√3√3(√3-√2)(√3+√2)
0823１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 02:55:38
>>814
バカですみませんが、
>これをθで積分する.
と、なぜこの式が求まるのですか？あと、相加相乗は、なぜz,z,1/z^2でやらないのですか？
0824１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 03:12:50
>>823
スマソ。積分は自己解決しました（自明に近いレベルでしたね。orz）
相加相乗の方はなぜかは未だに理解できていません。
0825１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 03:15:40
>>823
z,z,1/z^2 に相加・相乗を使うと、求める式はすぐ出るから、
>>814 の余計なとこは書いた人の勘違いじゃ？
0826１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 04:12:01
>>825
㌧
08278142006/04/23(日) 04:17:08
>825
ハｧハｧして書いた。
相加･相乗平均を知らない人や使いたくない人のために 両辺の差が
　(1+2z)(1-z)^2 /z^2 (≧0)
であることを示した。
今は反省している。
0828１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 08:10:57
すてきやん。
0829１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 16:38:56
　　　　　　　　　　A,!''━━ﾆﾆ'''''''''''''''''''''ﾆﾆ=━--┐D
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　　　　　　　　　　　.|　ヽ.,/;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;ﾞ'i､/　　| １０
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　　　　　　　　　　B.`ﾞﾟﾟﾟﾟ”ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ”ﾟ“ﾞ C
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１０
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　　　　　　￣￣￣￣￣￣￣￣＼￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼＿
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　＼:＼　　　　　　　　　　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼＼　　∧＿∧　　／ 中坊へ問題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ヽ　＼（´Д｀　）＜　　斜線の部分の面積を求めなさい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＼　　　　　＼ ＼
　　　　　　　　　　　　　　.　　　　　　　　　　 　｜　　　｜｜ 　 ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
　　　　　　　　　　　　　　.　　 　　　　　　　　　｜　　　｜｜

他スレより抜粋。
これの３次元版の体積を求めよ。
（１辺の長さを１とし、各頂点を中心とする半径１の球８つの共通部分の体積）
こういうの東大の問題にありそうだがどうだろう。
0830１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 18:30:38
n∈Ｎとする。
数列{An}において、
各項AnがAn≧0を満たし、
かつ、Σ[n=1 ,∞]An=1/2が成り立つとする。
また、
Bn=Π[k=1 ,n](1-An)
Cn=1-Σ[k=1 ,n]An
とおく。

(1)∀nに対し不等式Bn≧Cnが成立することを示せ
(2)あるnについて、Bn+1=Cn+1が成り立てば、Bn=Cnとなることを示せ
(3)B3=1/2となるとき、C3=1/2であることを示せ
(4)B3=1/2となる数列{An}は全部で何通りあるか求めよ
(5)B5=1/2となる数列{An}は全部で何通りあるか求めよ
0831１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 18:31:25
>>830
マルチ
0832１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 18:57:53
　　　　　　　　　　　　　　 　 　　　　 　　 　┌-―ー-';
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　　|(´･ω･`)ﾉ 知らんがな
　　　　　　　　　 　 　　 ＿＿＿＿ 　　　　上―-―' 　　　＿＿＿＿
　　　　　　 　　　　　　　| (´･ω･`) | 　　／　 ＼　　　 　　 | (´･ω･`) |
　　　　　　　　　　 　 　 |￣￣￣￣ 　 （￣￣￣） 　 　 　 |￣￣￣￣
　 　 　 　 　　 　 　 　 ∧ 　　　　　　 （[[[[[[|]]]]]） 　 　 ,∧
　　　　　　　　　　　　<⌒>　 　 　 　 [=|=|=|=|=|=]　　　<⌒>
　　　　　　　　　　　／⌒＼ 　 　 　 _|iﾛi|iﾛiiﾛi|iﾛ|_∧ ／⌒＼_
　　　　　　　　　　　］皿皿［-∧-∧|ll||llll||lllｌ||lllｌ|lll|￣|]皿皿[_|
　　　　　　　　　　　|_／＼_|,,|「|,,,|「|ﾐ^!､|]|[|]|[|][]|_.田 | ∧_ 　]
　　　　　　　　　　　| . ∩　 |'|「|'''|「|||:ll;|||}{|||}{|||}{|||}{|,田田.|__|
　　　　　　　　　　　|￣￣￣￣|「|￣￣||[[|門門門|]]|[_[_[_[_[_[
　　　　　　　　　　／i~~i' l ∩∩l　.ｌ　∩　∩　 l　　|__| .| .∩|　.|　l-,
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0833GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/04/23(日) 19:06:24
talk:>>832 私を呼んだか？
0834１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 19:36:11
(ܷܵܶ∀ܷܵܶ)
0835１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 20:06:08
>>829

分かスレ２３７
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1144970716/807-833
08368292006/04/23(日) 20:46:41
>>835
あっちの809ですよ。
ふと思いついて３次元版を！ととっさに書き込みましたが
こっちに書くのがよいかと思って持ってきました。
そもそもあっちじゃスレ違いですし。
0837１３２人目の素数さん2006/04/23(日) 22:40:02
nを自然数としn以下の素数の総数をf(n)とする。
lim[n→∞]f(n)/n=0を証明せよ。
08388292006/04/24(月) 00:27:58
あっちのスレで答を出してくれた方が現れました。
のでこちらではスルーでおながいします。
0839１３２人目の素数さん2006/04/24(月) 02:32:05
>>724 について次を示してください。

1)　△ABCの3辺の中点D,E,Fを通る円は
　・各頂点(ABC)から対辺への垂線の足
　・各頂点(ABC)と垂心Hとの中点
　も通る（九点円）。

2)　△ABCの重心をG, 垂心をHとするとき、
　上記の円の中心はGHを1:3に内分する。(オイラー線)
08408392006/04/24(月) 02:46:15
>>724 について…

2')　△ABCの外心をO, 垂心をHとするとき、
　上記の円の中心はOHの中点である。(オイラー線)

3)　上記の円は △ABCの内接円および傍接円に接する … 難しい。
　　(フォイエルバッハ,1822)
0841１３２人目の素数さん2006/04/24(月) 23:25:57
(p,q)≠(0,0)なる実数p,qを用いて数列{{a[n]},{b[n]}を以下の漸化式で定める。
a[n+1]=qa[n]+pb[n]
b[n+1]=-pa[n]+qb[n]
いま、ある番号mが存在してa[m]=b[m]となった。この時、a[4m],b[4m]を求めよ。
0842１３２人目の素数さん2006/04/25(火) 01:18:47
>829,836,838
あっちの解答は

895 ：852：2006/04/23(日) 23:42:13
(0,0,0) (0,0,1) (0,1,0) (0,1,1) (1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1) の8点を頂点とする立方体を考える。
各辺を2等分して 8つの小立方体に分ける。
(1,1,1)を含む小立方体中の点(x,y,z)から見ると、最も遠い頂点は(0,0,0)
よって、求める体積は領域Dの体積の8倍。
　D = {(x,y,z) | x^2 +y^2 +z^2 <1, x>0.5, y>0.5, z>0.5 }
　V = 8∫∫∫_D dx･dy･dz.

833 ：１３２人目の素数さん ：2006/04/23(日) 19:18:46
V = 8∫[0.5, √0.5] ∫[0.5, √(0.75-x^2)] ∫[0.5, √(1-x^2-y^2)] dz･dy･dx
　= 8∫[0.5, √0.5] ∫[0.5, √(0.75-x^2)] { √(1-x^2-y^2) -0.5} dy･dx
　= 4∫[0.5, √0.5] {(1-x^2)[arccos(0.5/√(1-x^2)) -arcsin(0.5/√(1-x^2))] -√(0.75-x^2) +0.5} dx
　= 0.01520548952884…
0843１３２人目の素数さん2006/04/25(火) 01:21:11
>829,836,838

852 ：１３２人目の素数さん ：2006/04/23(日) 21:07:53

立方体の体対角線(0,0,0)～(1,1,1)を考える。
球面はP=（1-1/√3, 1-1/√3, 1-1/√3）, Q=（1/√3, 1/√3, 1/√3) を通る。
Vは、PまたはQを通り体対角線に垂直な平面に挟まれる. 間隔は (2-√3).
同様の8枚の平面がなす正8面体の体積は 13√3 - 22.5 = 0.016660498… > V.

また、直径 (2-√3) の球の体積は (π/6)(2-√3)^3 = 0.010072933･･･ << V.

∴ Vはかなり角張っていると思われ....
0844１３２人目の素数さん2006/04/25(火) 01:47:24
東大理３に今年、入学した俺に相応しい
ウルトラハイレベルの問題投下してくれ

0845１３２人目の素数さん2006/04/25(火) 01:48:29
>841
　r=√(p^2 +q^2) とおくと、題意より r>0.
　p=r･sinθ,　q=r･cosθ　とおくと、
　a[n+1] = { a[n]cosθ + b[n]sinθ }r,
　b[n+1] = {-a[n]sinθ + b[n]cosθ }r.
あるいは、
　a[n+1] + i･b[n+1] = { a[n] + i･b[n] }(q-ip)

　a[m+k] = { a[m]cos(kθ) + b[m]sin(kθ) }r^k,
　b[m+k] = {-a[m]sin(kθ) + b[m]cos(kθ) }r^k.
あるいは、
　a[m+k] + i･b[m+k] = { a[m] + i･b[m] }(q-ip)^k
ここで k=3m とおく？
0846Queen ◆xeS.CIM.Jk 2006/04/25(火) 02:11:31
2006x+2007y=sを満たす自然数x､yがt組あるようなsの個数をC(t)とする。
C(2006^2007)を求めよ。
0847１３２人目の素数さん2006/04/25(火) 08:43:34
>>842
積分してみた
V = √2 - 1 + (11/4)π - (49/3)arctan(√2) + (16/3)arctan(2√2)
= 0.0152054895…
0848１３２人目の素数さん2006/04/25(火) 10:52:58
>>844
数学より医学の勉強するといいお（；＾ω＾）
0849１３２人目の素数さん2006/04/25(火) 12:50:00
２ａｒｃｔａｎ（√（２））＋ａｒｃｔａｎ（２√（２））＝π。
0850１３２人目の素数さん2006/04/25(火) 17:19:49
くいんの出題したやつの解答ｷﾎﾞﾝ!
0851Geek ◆8MQVxjnUkg 2006/04/25(火) 18:37:40
>>Queen
お久しぶり。
早速だが、その問題答えは明らかに０なような気がするんだが・・・
0852Queen ◆xeS.CIM.Jk 2006/04/25(火) 18:46:39
>geek
久しぶりだな。
本当に0であろうか？
0853Geek ◆8MQVxjnUkg 2006/04/25(火) 18:56:32
ちょうどｔ個ってのは無いんじゃない？
だって直線でしょ？一つあった時点で無限に自然数解が出るから、
そのような物を満たす物すらないと思ったんだけど・・・あ、０を除いて。
ｔ個以上ってことだった？
0854１３２人目の素数さん2006/04/25(火) 18:58:57
84個みかんがあります　　其の中から８つだけとても美味しいみかんがあります

８つとれるとする　　　その８つすべて取れる確立を答えよ
0855Queen ◆xeS.CIM.Jk 2006/04/25(火) 19:00:42
>geek
tとsが混同してないか？
0856１３２人目の素数さん2006/04/25(火) 19:00:51
>>854　問題が間違えた

８４個みかんがある　　そのなかから８つだけ美味しいみかんがある

８つだけ取れる　　４つ取れる確立を答えよ
0857１３２人目の素数さん2006/04/25(火) 19:10:06
>>856
ただのマルチです。
0858１３２人目の素数さん2006/04/25(火) 19:20:41
>>851
N = 2006^2007 として

s = 2006*2007(N-1) + 2006a + 2007b
(1≦a≦2007, 1≦b≦2006)
と書ける数 s は

s = 2006*(2007*0+a) + 2007(2006(N-1)+b)
= 2006*(2007*1+a) + 2007(2006(N-2)+b)
= 2006*(2007*2+a) + 2007(2006(N-3)+b)
…
= 2006*(2007*(N-1)+a) + 2007(2006(N-N)+b)

となってちょうど N 組の自然数解を持つ
(0は自然数ではないとした)
0859Geek ◆8MQVxjnUkg 2006/04/25(火) 19:55:19
>>Queen
あ、そうか。x,yは「自然数」ってのを「整数」と勘違いしていた・・・
0860Queen ◆xeS.CIM.Jk 2006/04/25(火) 20:07:02
2006と2007は互いに素。
08618422006/04/25(火) 23:19:36
>>847
㌧クス & 乙です.

V = √2 -1 + (8 + 1/12)π - (27/2)ψ　でつね。
ψ = π - arctan(2√2) = arccos(-1/3) = 109ﾟ28'16".3942841664903…　　(四面体角)
ψ/2 = arctan(√2) = (1/2)arccos(-1/3) = 54ﾟ44'08".19714208324513…　　(Magic angle)
08628472006/04/26(水) 17:43:24
>>861 四面体角っての初めて知った
>>849 気がつかなかった…

V は積分しなくても計算できることに気がついた

>>842 の領域 D 考える
D の４頂点 P,X,Y,Z を P=(1/2,1/2,1/2)、
X=(1/√2,1/2,1/2)、Y=(1/2,1/√2,1/2)、Z=(1/2,1/2,1/√2) とする

x^2+y^2+z^2=1 の球面を S として、(0,0,1) を S の北極とすると、
S 上での X,Y の経度の差 θ は、θ = 2arctan(√2) - π/2

面PXYの面積 = (3/8)θ - (1/4)(√2-1)

面XYZ を S の一部として、ガウス・ボンネの定理を適用すると、
面XYZの立体角 = 2π - 3(面XYZのXの外角) - 3∫[弧XY]kds
(k は弧XYの測地曲率、s は弧XYの弧長)

φ = (π/4) - (θ/2) とすると、
弧XYのXでの単位接ベクトル = (-sin(φ), cos(φ), 0)
弧ZXのXでの単位接ベクトル = (sin(φ), 0, -cos(φ))
∴ Xの外角 = arccos(-sin^2(φ)) = arccos(-1/3)

∫[弧XY]kds = θ*sin(弧XYの緯度) = (1/2)θ

∴ 面XYZの立体角 = 2π - 3arccos(-1/3) - (3/2)θ

Dの体積 = (1/3)(面XYZの立体角) - (1/2)(面PXYの面積)
= (1/8)(√2-1) + (2/3)π - arccos(-1/3) - (11/16)θ

これを８倍すれば V が出る
0863842, 8612006/04/26(水) 23:43:37
>>862, 847
㌧クス & 乙です.

θ = ψ - (π/2)　でつね.

√2 = 1.4142135623730950488016887242097…
ψ = 1.91063323624901855632771420503152…　(ﾗｼﾞｱﾝ)
V = 0.0152054895288398826172476377935537…
0864１３２人目の素数さん2006/04/27(木) 00:05:51
>>862, 847
マラルディの角(ψ)
　http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1089717971/214-
　http://www.kobe-du.ac.jp/gsdr/gsdr/kiso04/04.html
0865１３２人目の素数さん2006/04/27(木) 00:07:39
>>863
>>842 は積分結果の数値だけ13桁正確に出てるけど、
なんかの積分プログラム使ったの？
0866842,861,8632006/04/27(木) 01:27:36
>865
平凡に エクセル ＆ シンプソン(1/3) でつが。
　刻み幅を小さくして変化を見ると、収束してるか分かる…
0867１３２人目の素数さん2006/04/27(木) 22:38:01
>>866
すまん、
自分でもやってみたら、普通のシンプソンで 1025点、
6次精度公式 ( (1/90)(7,32,12,32,7) で重みつき平均) で 129点
の関数値で計算したら13桁求まった

>>864
考えたけど、四面体角が出てくる簡単な理由がわからない
(√2:1 の比が出てくるからとかじゃなく)

スレ違いっぽくなってきたので、消えます
0868１３２人目の素数さん2006/05/01(月) 03:31:51
>867
シンプソン公式(1/3)の誤差の限界
　h=(b-a)/2n とする.
　R = ∫[a,b] f(x)dx - (h/3){f(a) + f(b) +2納i=2,4,…,2n-2] f(a+(i/2n)h) + 4納j=1,3,…,2n-1] f(a+(j/2n)h)} とおく。
　R = -{(b-a)f""(ξ)/180}h^4, a<ξ<b.

高木: ｢解析概論｣ 改訂第三版, 岩波, p.128 (1961)
0869１３２人目の素数さん2006/05/02(火) 00:36:26
〔問題〕
　正n角形に内接するk角形（正k角形とは限りません）の個数は？
　ただし、k角形の頂点は正n角形の頂点から選ぶとし、正n角形と辺を共有しているものは数に入れない。

という問題を解ける人、いらっしゃったらぜひ教えて下さい。　ちなみに n=6, k=3 のときは答えは2です。

【ザ】学校で出された宿題を教えてもらうスレⅢ
　http://math.bbs.thebbs.jp/1131378499/965, 992
0870１３２人目の素数さん2006/05/03(水) 12:51:07
すげ
0871１３２人目の素数さん2006/05/03(水) 13:44:14
０から９までの数字を８個ランダムに並べる。
３４５のような連続した３数字の列が少なくとも１組できる確率は？
0872１３２人目の素数さん2006/05/03(水) 14:08:36
やっぱり６個ランダムに並べるにする。
0873１３２人目の素数さん2006/05/03(水) 14:55:39
計算大変だったけど良問だった。
0874１３２人目の素数さん2006/05/03(水) 14:58:42
０から５か６までくらいがいいかもしれない。
0875１３２人目の素数さん2006/05/05(金) 20:37:00
３で割って１あまる素数が無限に存在することを証明せよ。
0876１３２人目の素数さん2006/05/06(土) 20:23:34
この男は悪質だ。佐々木東大前総長（現在、学習院）の逮捕はまだだろうか？
工作員、佐々木は刑務所に入るべき犯罪者だ。
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/nougaku/1113015561/l50

【東大解体論】東大は日本を潰している。統治行為論の範囲を遥かに超えた国家ナチ犯罪。
オウム大量殺人・・・東大農学部犯罪（２０人以上毒殺、６０００人以上、重軽傷）。皇族テロ。秋田県立大の鈴木・松永・石川・松本らの逮捕が必要
天皇機関説・・・・・東大法学部犯罪（美濃部達吉）長州藩部落住民系のニセモノ皇族が凶悪なテロ犯罪実行。テロ官庁となった宮内庁の解体が必要。
クローン人間作成容疑・・・・・東大医学部（ニセ皇族等へのクローン導入容疑、ナチ手法による生命尊厳破壊、インフォームドコンセント破壊）
第二産業革命特許の強盗・・・・東大工学部犯罪（ＡＩＳＴ）＆東大経済学部犯罪（経済産業省）、ＦＴ合成軽油（ＧＴＬ）はソニータイマーを使った悪質な不正。
評論家ナチ犯罪・・・・・・・・東大文学部犯罪（情報テロ犯罪：立花隆犯罪他、逮捕が必要）。憲法を破壊したナチ盗聴に基づく多数の評論家犯罪者の横行。
作家ナチ犯罪・・・・・・・・・東大文学部犯罪（情報テロ犯罪：大江健三郎犯罪、違法盗聴で逮捕が必要）。多くの小説・映画・ＴＶドラマがナチ盗聴題材犯罪。
マスコミ犯罪・・・・・・・・・東大文学部犯罪（ＮＨＫ等による虚偽報道。悪質な大本営発表を繰り返し事実上、殺人罪の共犯）。
北朝鮮拉致捏造犯罪・・・・・・東大法学部犯罪（外務省犯罪、平沢代議士、佐々淳行他は国内先住民の大量殺人を幇助。よって殺人罪共犯）
　　　　　　　　　　　　　　　東大文学部犯罪（中山元参与も国内先住民による大量殺人を幇助：よって殺人罪共犯。殺人罪と詐欺罪で中山の逮捕が必要）
http://society3.2ch.net/test/read.cgi/soc/1137727591/l50　の投稿１０７　（ニセ天皇犯罪のメカニズム＆正規の天皇制復興論）
http://school5.2ch.net/test/read.cgi/student/1137059644/l50　（秋田県立大：鈴木・松永・石川ら東大閥を中心としたサリン大量毒殺人体実験犯罪）
http://society3.2ch.net/test/read.cgi/soc/1141545162/　の投稿２４－７３ （北朝鮮拉致捏造の背景：中山元参与パーフォーマンスの学問的考察）
0877１３２人目の素数さん2006/05/07(日) 00:39:02
>>871-872

1個　0.0
2個　0.0
3個　0.008
4個　0.0153
5個　0.02260
6個　0.029841
7個　0.0370288
8個　0.04416331
9個　0.051244964
0878１３２人目の素数さん2006/05/07(日) 01:08:20
>>871-872
減少列でもいいのなら
1個　0.0
2個　0.0
3個　0.016
4個　0.0306
5個　0.04504
6個　0.059262
7個　0.0732722
8個　0.08707374
9個　0.100669736
0879１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 17:14:54
2以上の任意の自然数nに対して次の等式を証明せよ。

n・2^(1-n) = Π_[k=1,n-1]sin(kπ/n)

その昔大数の学コンの問題で、問題文の書き換えを行ったらでてきた等式です。
これを証明すればその問題が解決、だったのですが結局証明できず、違う方針でその問題を解いてしまいました。
ちなみに大学の知識を使えば多少簡単に証明できるようです。
0880１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 17:57:24
1.数列x[n]（x[n]>0(∀n∈Ν)）についてx[n]→α(n→∞)のとき
（１）lim[n→∞]Σ[k=1,n]x[k]/n=α　を示せ。
（２）lim[n→∞](Π[k=1,n]x[k])^(1/n)=α　を示せ。
（３）lim[n→∞]n/(n!)^(1/n)を示せ。

2.数列｛a[n]｝が次のように帰納的にさだめられるとき、一般項a[n]を求めよ。
(1)a[1]=0 (2)a[n+1]=√((a[n]+1)/2)

簡単すぎたかな？
0881１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 17:58:41
1.の(3)は=eだった
0882１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 21:20:38
>>879
より一般的な形の式が、高校生の質問スレに昔出てきてたよ。
0883１３２人目の素数さん2006/05/09(火) 21:27:04
>>882
より一般的って具体的な形は？
答は出てた？
0884１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 01:38:44
>883

〔乗積公式〕(Gauss-Legendre)
　{sin(z)/sin(z/n)}･(1/2)^(n-1) = Π[k=1,n-1] sin((z+kπ)/n)

これで z→0 とする。
0885１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 02:52:03
>>880
2.(1)
a[n]=cos(π/2^n)
0886１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 02:54:24
訂正
2.(1)→2.
0887１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 03:00:14
>>884
まぁ>>879の最後の１行に書いたものがその解法ですが。
一応学コンの問題を経由すれば高校の範囲で証明可ということです。
もう問題自体忘れてしまいましたが。
あとチェビシェフの多項式を使っても高校の範囲内でできたはずです。
知人がやってくれました。詳しいことは覚えてません。
0888１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 09:28:32
>>885　正解。
0889１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 16:26:14
分かスレから。レスが付かなかったので。

2以上の任意の自然数nに対して　Σ_[k=1,n]√k　は無理数であることを示せ。

大学以降の知識を使っても結構です。
0890１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 17:54:10
＞理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
＞解ける問題を考えてうぷするスレ。
＞これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
＞関連スレへどうぞ
0891１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 19:16:57
「これ以上の難易度の問題」を考えてくれるスレはどこですか？
0892１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 19:48:09
はーー？
「大学以降の知識を使っても結構です。」とか書かれると
高校生がやる気なくすんだよ！！ボケ！！！○ね！
0893１３２人目の素数さん2006/05/10(水) 19:50:32
あ・・ごめんなさい、ちゃんと読んでませんでした。

面白い問題おしえて～な 11問目
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
とかいいんじゃないでしょうか。すいません。
0894１３２人目の素数さん2006/05/11(木) 23:25:20
次の(i)(ii)をともに満たす複素数の集合 A を求めよ。
(i) A は相異なる3つの要素で構成される
(ii) 任意の a∈A, b∈A に対し、ab∈A となる
0895１３２人目の素数さん2006/05/12(金) 00:33:27
>>894
明らかにa∈Aのaに対して、a^k∈Aが成立する。
Aが有限集合であることから、ある異なる二つの自然数i,jに対して
a^i = a^jが成立する。このことから、a≠0の時、ある自然数mが存在して
a^m=1かつ、a , a^2 , …… , a^mは全て異なる複素数。
という条件が成立する。
1=a^m∈Aより、1∈A
|A|=3より、　m≦3

b≠0,1かつ、b∈Aなるbに対して、mの値で場合わけを行う。
b≠1より、m≠1．
m=2のとき、b^2=1、b≠1より、b=-1、従って、±1∈A
c≠±1、c∈Aとすると、明らかにc=0．従って、A={0,-1,1}

m=3のとき、b^3=1、b≠1より、b=-1/2 ± √-3/2
この場合明らかに
A={-1/2 ± √-3/2、1}
0896１３２人目の素数さん2006/05/12(金) 23:59:16
>>883
既に回答が出ているが、念のため
http://makimo.to/2ch/science4_math/1136/1136032157.html
このスレの270から読んでみ。
0897１３２人目の素数さん2006/05/13(土) 00:12:31
>>894 俺の解答

A={a, b, c} とする。
Aが0を含まないとき ab, bc, ca は全て異なる値となり、これが a, b, c いずれかと一致するので
　ab・bc・ca=abc が成立する。 abc≠0 より　abc=1
さらに a^2, ab, ac も異なる値となるので　a^2・ab・ac＝abc ∴a^4・bc=1
abc=1 から a^3＝1 同様に b^3＝1, c^3＝1 が得られるから、ωを1の3乗根(虚数)として
　A={1, ω, ω^2}
0∈Aのとき、c=0 とすると a^2 と ab は異なる値となり、ともに0でないから
a^2・ab＝ab ∴a^2=1 同様に b^2=1
A={1,-1,0}

895の方が美しいかも。
いずれにしても、ちゃんと処理しないと，場合わけで大変なことになりそうだな。
0898１３２人目の素数さん2006/05/13(土) 00:17:42
＞Aが0を含まないとき ab, bc, ca は全て異なる値となり、

そーなん？
0899１３２人目の素数さん2006/05/13(土) 00:20:00
ごめん、よく見てなかった
>>898は忘れて
0900１３２人目の素数さん2006/05/13(土) 14:53:18
>>894
a∈A とすると 任意の自然数kに対して a^k∈A
|a|≠0、1 のとき |a^k| はすべて異なるので、a^k もすべて異なり矛盾。
0901１３２人目の素数さん2006/05/16(火) 02:01:12
後期、５０分
ＡからＥまでランダムに８桁並べる。
このとき、たとえばＡＡＢＤＤＥＡＢのように
ＡＢの列が少なくとも１つある確率を求めよ。
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。