★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 09:00:00解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0628１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 16:18:430629１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 16:20:410630１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 16:22:05kingは一生の12分の1を少年として過ごし、3分の1をｷﾓｦﾀﾈﾗｰとして過ごした。
その後9分の1を経て風俗に目覚め10年間通い続けた。
2年後kingは犬を飼い始めたがkingの寿命の12分の1しか生きられなかった。
kingは犬が死んだ6年後に死んだ。
kingの寿命は？
0631１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 16:25:56>>572
∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx＞8 という証明だけど
e^π＞21 の証明がこの問題の難しい所だよね
0632１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 16:26:370633GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/02/28(火) 16:30:26talk:>>626 お前に何が分かるというのか？
talk:>>630 そんなことより、風俗通い10年分の金をくれよ。
0634１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 16:32:54kingの寿命、46歳くらいか？
あと2,3年でしぬじゃん
0635GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/02/28(火) 16:35:190636１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 16:36:280637１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 16:51:01どちらかが勝てば、勝った方が「二人の出ている指の本数の差の絶対値」だけ得点がもらえる。
（グーで勝てばチョキとの指の差は2本なので2点）
じゃんけんを繰り返し、6点獲得すれば勝者となる。
Ｂは3/7の確立でチョキ、2/7の確立でグー、2/7の確立でパーを出す。
Ａがこの勝負に勝つ期待が最も大きくなる時、Ａがグー、チョキ、パーをどのような確立で出した時か。
又、期待が最も小さくなる時も求めよ。
0638１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 17:09:320639１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 17:17:49○確率
×確立
っていうかＡが出すのはＢに対しての期待値で一意に定まらないか？
0640１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 18:49:370641１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 19:24:51ノ
こんなグラフ
0642１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 19:30:00ｅｘｐ（－１）≦ｙ≦ｅｘｐ（１）。
0643１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 19:37:361.4^1.4^1.4・・・て1.4を何回1.4乗すると2を超えるでしょう
とかいう問題出されたな
0644１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 19:42:400645１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 19:45:160646１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 20:17:171.4^((1.4^(1.4＾(1.4.........))))のことだけど
0647１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 21:06:141.4を何回1.4乗するとって書いたらﾀﾞﾒだね
http://tsb.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/oekaki/189.png
この絵参照
0648１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 21:59:21何回やっても2を超えないと思うが
0649１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 22:28:44式の意味を…
0650１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 22:36:09f(1)=1.4
f(n+1)=1.4^f(n)
ととってあげてくれ
0651１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 22:45:470652１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 22:48:46(a^b)^cだったらa^(bc)と書く。
0653１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 22:57:220654１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 22:58:101.4^(1.4^n)が2を超えればいいのだから3
慣用の指数の付け方で書いてるのなら
何度1.4の肩に乗せても2は超えない
0655１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 23:46:400656１３２人目の素数さん
2006/03/01(水) 00:08:1410^(3^n)-1 が 3^(n+2) で割り切れ、
3^(n+3) では割り切れないことを示せ
0657１３２人目の素数さん
2006/03/01(水) 00:23:05数学的帰納法で証明
1)n=0のとき10^(3^0)-1=9なので3^2で割り切れるが3^3で割り切れない
2)n=k(k=0,1,2...)のとき
10^(3^k)-1が3^(k+2)で割り切れるが3^(k+3)で割り切れないと仮定する・・・A
10^(3^(k+1))-1=(10^(3^k)-1)(10^(2*3^k)+10^(3^k)+1)
ここで10^(2*3^k)+10^(3^k)+1の10進法各位の数の和は3なので3で割り切れるが9で割り切れない
ゆえにAの仮定とあわせて10^(3^(k+1))-1は3^(k+3)で割り切れるが3^(k+4)で割り切れない
1)2)より0以上の自然数nについて
10^(3^n)-1は3^(n+2) で割り切れるが3^(n+3) では割り切れない
0658656
2006/03/01(水) 00:36:560659１３２人目の素数さん
2006/03/01(水) 02:21:45x=1/(t^2) とおくと dx=-(2/t^3)dt
∫[1,∞)｛1/√(x^3 -x)}dx = ∫[0,1] {2/√(1-t^4)}dt = (√2)Ｋ(1/√2) = {1/(2√2π)}Γ(1/4)^2
Ｋ(1/√2) = 1.854074677301372… (第1種の完全楕円積分)
0660１３２人目の素数さん
2006/03/01(水) 08:21:41誰も解けずに放置されている問題の方が遥かに多い。
誰も興味を持たずに、の方が性格かも知れないが。
0661１３２人目の素数さん
2006/03/01(水) 18:57:06動点PをBP=1かつ、線分BPと線分ADが共有点Qを持つように動かす。
このときできうる二等辺三角形PQDの個数を求めよ。
0662１３２人目の素数さん
2006/03/01(水) 22:00:470663１３２人目の素数さん
2006/03/01(水) 22:09:050664１３２人目の素数さん
2006/03/01(水) 22:28:030665１３２人目の素数さん
2006/03/01(水) 22:34:190666１３２人目の素数さん
2006/03/01(水) 23:01:170667１３２人目の素数さん
2006/03/01(水) 23:04:450668１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 00:23:42PQ=QDはあり得ない。
PQ=PDの二等辺三角形は
0<a<2(1-2^(-2/3))^(3/2)で2個
a=2(1-2^(-2/3))^(3/2)で1個
a>2(1-2^(-2/3))^(3/2)で0個
DP=DQとなる場合が分からねえ
0669１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 01:15:480670１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 01:23:360671１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 01:52:560672１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 03:22:160673１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 03:28:110674１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 03:52:420675１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 04:02:40二等辺三角形を二等分して三角形の相似から関係式を得ると早い。
0676１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 04:17:00http://ex14.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1141237140/
0677１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 06:19:33初めから → 始めから or はじめから
はじめて何かをするときは、「初めて」だよ。
何々しはじめるときは、「始める」だよ。
＿＿,, , , , _ ､ ,,, ... ,, _ ..,_
ー=､ ､ｰ-､`ヽ､、ヽ`!i' , ,i",r'",-'"=ミ
`ヽ`ヾ`､ ! ヽ ! l! i! !_i_/_<'"``
`,ゝ､iliｰ'" "､,"､', i, ﾘ
!/!,li ,;;-=o=-,ｯｨ=｡ｩｨ
＿_ i､`!', '; `ー /;;!i､''; ,!
ー''`ヽ`,ｰi'`''"!､ヽ , `一'､ / __
`il `i ! ヽ､ ￣￣ / iヽ、/ ,.ヽ_
i! !` `ｰｧ､-ｰ' ! ﾉ!トi,!'",ﾉ-､
,..=､i! iヽ-､ rィ',;'!ヽー-､! `/_,i' _,.!'､
ーニｰ-､._ `ヽゞﾆ-､.;' i! ! , `ﾄ_ﾉ`x-'" ノ
=ニヽ､ , `, /ヾ=ソ ﾉ !/ !､`ｰ`''イ､
-ｰ-､ `i, / / ヽ `イ_, i -'"￣`! ! ヽ
ゝﾉ /-'" ` ' ! ヽ !
お前も義務教育くらい受けたんだろ？
二度と間違えんな！
約束だぞ！
0678１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 06:47:22直角三角形をつくるってこと？そうであればそこから式作った後がわかんないんだが。
0679１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 15:17:20小学生ですか？
辞書引いてみろ
0680１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 16:46:36微分してグラフ書け
0681１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 19:44:22えーと、名詞、動詞、副詞の区別はできるかな？
0682１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 19:45:21第1問
Pを平面上のn(≧3)個の点の集合とする。
このとき、下の(ⅰ)または(ⅱ)が成立することを証明せよ。
(ⅰ)Pに属するすべての点は1つの直線上にある。
(ⅱ)Pに属する点を2個以上通る直線の本数はn以上である。
第2問
a>1のとき、次の極限値を求めよ。
lim[n→∞]∫[0,n]{(1+x/n)^n}e^(-ax)dx
第3問
0と1からなる長さnの列のうちで、1の直後に1が続くことがないもの全体の集合をT(n)とする。
T(n)に属するすべての列に含まれる1の総数を求めよ。
0683１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 20:14:300684１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 22:36:44f(x)をｘ軸を軸に対称移動させ、y軸方向に-2移動させた関数をg(x)とする。
ｘ軸上の点Ｐ(p,0)を中心に楕円をf(x)、g(x)、y軸の全てに接するように描きたい。
pを求めよ
0685１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 22:42:52ちょｗｗｗ(2)簡単すぎｗｗｗ
後期だったらこれくらいやらないと。
第1問
Pを平面上のn(≧3)個の点の集合とする。
このとき、下の(ⅰ)または(ⅱ)が成立することを証明せよ。
(ⅰ)Pに属するすべての点は1つの直線上にある。
(ⅱ)Pに属する点を2個以上通る直線の本数はn以上である。
第2問
Σ[k=0,∞](1/k^2)を求めよ。
第3問
0と1からなる長さnの列のうちで、1の直後に1が続くことがないもの全体の集合をT(n)とする。
T(n)に属するすべての列に含まれる1の総数を求めよ。
0686１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 22:49:07そんな知識問題出せるわけねえ
0687１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 22:53:52ちょｗｗｗ(2)簡単すぎｗｗｗ
後期だったらこれくらいやらないと。
第1問
Pを平面上のn(≧3)個の点の集合とする。
このとき、下の(ⅰ)または(ⅱ)が成立することを証明せよ。
(ⅰ)Pに属するすべての点は1つの直線上にある。
(ⅱ)Pに属する点を2個以上通る直線の本数はn以上である。
第2問
Σ[k=0,∞](1/((k^2)logk))を求めよ。
第3問
0と1からなる長さnの列のうちで、1の直後に1が続くことがないもの全体の集合をT(n)とする。
T(n)に属するすべての列に含まれる1の総数を求めよ。
0689１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 22:57:19(2)定義されない
まず1完だな
0690１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 22:59:14有名問題で鼻息荒くすんなよ
0691685
2006/03/02(木) 23:01:48スマン、申し訳ない。
>>685訂正
第1問
Pを平面上のn(≧3)個の点の集合とする。
このとき、下の(ⅰ)または(ⅱ)が成立することを証明せよ。
(ⅰ)Pに属するすべての点は1つの直線上にある。
(ⅱ)Pに属する点を2個以上通る直線の本数はn以上である。
第2問
Σ[k=1,∞](1/k^2)を求めよ。
第3問
0と1からなる長さnの列のうちで、1の直後に1が続くことがないもの全体の集合をT(n)とする。
T(n)に属するすべての列に含まれる1の総数を求めよ。
0692１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 23:04:39他人の出題に寒い改変ｲｸﾅｲ
0693１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 23:07:46人様の出題に対して化石みたいな有名題で上書きとはふてえ野郎だ
0694１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 23:18:00ｽｹﾞｰって思うけど、>>691は外れるだろうなｗ
0695１３２人目の素数さん
2006/03/02(木) 23:58:260696１３２人目の素数さん
2006/03/03(金) 00:23:490697１３２人目の素数さん
2006/03/03(金) 00:26:120699１３２人目の素数さん
2006/03/03(金) 01:37:55a_{n+2}=a_n-a_{n+1} (n≧1)
を満たしている。
この数列は、a_{m-1}-a_m<0となると停止し、このときの「長さ」はmであると定める。
たとえば、120, 71, 49, 22, 27の長さは5である。
(1) a_1=150, a_2=B とするとき、長さmが最大となるBの値を求めよ。
(2) mはm≧5なる自然数とする。
このとき、次の２つの条件をともに満たす数列{a_n}は全部で何通り存在するかを答えよ。
（条件１）: 長さはmであり、末項a_m≦2000
（条件２）: 任意の自然数nに対して、a_nは5の倍数でない。
0700１３２人目の素数さん
2006/03/03(金) 01:45:530701suuzibb
2006/03/03(金) 02:00:550702１３２人目の素数さん
2006/03/03(金) 02:07:270703１３２人目の素数さん
2006/03/03(金) 02:32:420704１３２人目の素数さん
2006/03/03(金) 14:36:070705１３２人目の素数さん
2006/03/04(土) 01:22:01第1問
nに関する帰納法による。
n=3 のときは明らか。
或る n-1 に対して成り立つとする。
(i)の場合は、点P_1 ～ P_(n-1) は1つの直線L_0 上にある。
点P_n も 直線L_0 上に有れば(i)が成立。
点P_n が 直線L_0 上に無ければ、P_n と他の点を通る直線(n-1本)と L_0 と有るので(ii)が成立。
(ii)の場合は 点P_1 ～ P_(n-1) の2個以上を通る直線 L_1 ～ L_(n-1) がある。
点P_n と 他の1点P_jを通る新たな直線 L_n が有るので(ii)が成立。
但し、点P_n がある 直線L_i 上に有るときは、直線L_i 上に無い点P_j を択ぶものとする。
0706１３２人目の素数さん
2006/03/04(土) 01:25:14第2問
(1+x/n)^n = 納k=0,n] Ｃ[n,k] (x/n)^k = 納k=0,n] (1-1/n)(1-2/n)…{1-(k-1)/n} (x^k)/k! はnに関して単調増加で、
lim[n→∞) (1+x/n)^n = lim[n→∞) 納k=0,n] (x^k)/k! = e^x.
ε>0 に対して或る自然数Nが有り、
n>N ⇒ e^x -ε < (1+x/n)^n < e^x.
∫[0,n] (e^x -ε)e^(-ax) dx < ∫[0,n] {(1+x/n)^n}e^(-ax) dx = ∫[0,n] (e^x)e^(-ax) dx.
[ -(1/(a-1))e^(-(a-1)x) + (ε/a)e^(-ax) ](x:0,n) = ∫[0,n] …… dx < [ -(1/(a-1))e^(-(a-1)x) ](x:0,n).
(1/(a-1)){1-e^(-(a-1)n)} - (ε/a){1-e^(-an)} = ∫[0,n] …… dx < (1/(a-1)){1-e^(-(a-1)n)}.
ここで n→∞ とすると
1/(a-1) - (ε/a) ≦ lim[n→∞)∫[0,n] …… dx ≦ 1/(a-1).
これが任意のε>0 に対して成り立つから、
lim[n→∞) ∫[0,n] …… dx = 1/(a-1).
0707１３２人目の素数さん
2006/03/05(日) 02:16:45lim(n→∞)S(n)を求めよ
0708１３２人目の素数さん
2006/03/06(月) 01:29:48S(n) = 4∫[0,1] (1-x^n)^(1/n) dx = 4(1+2/n)Ｂ(1+1/n, 1+1/n) = 4[Γ(1 +1/n)]^2 /Γ(1 +2/n).
lim[n→∞) S(n) =4.
円 → かどの丸い正方形 → かど張った正方形
0709１３２人目の素数さん
2006/03/06(月) 02:14:010≦x＜1でlim(n→∞)(1-x^n)^(1/n)=1だから
lim[n→∞) 4∫[0,1] (1-x^n)^(1/n) dx =4∫[0,1]dxってしちゃだめなのか？
x=1のところがおかしくなるからNGかな？
0710１３２人目の素数さん
2006/03/06(月) 19:10:11第1問
nは2以上の整数とし、a(1),a(2),a(3),a(4)は次のふたつの条件を満たす正の整数とする。
ⅰ)各i=1,2,3,4に対して、nとa(i)は互いに素である。
ⅱ)すべてのk=1,2,・・・,n-1について
{ka(1)}(n)+{ka(2)}(n)+{ka(3)}(n)+{ka(4)}(n)=2n
が成り立つ。
このとき、{a(1)}(n),{a(2)}(n),{a(3)}(n),{a(4)}(n)を、和がnになる2組の対に分けることが
できることを示せ。ただし、正整数nに対して{a}(n)は、aをnで割った余りを表す。
第2問
aが0でない整数ならば、
x^n+ax^(n-1)+ax^(n-2)+・・・+ax-1
は、２つの整数係数多項式の積に因数分解できないことを証明せよ。
第3問
10人が円卓を囲んでいる。各人の前に何枚かずつカードが置かれていて、合計は100枚である。
合図があると、各人は一斉に自分の前のカードの中から、もしそれが偶数枚だったらその半分の
カードを、奇数枚の時は１つ足してその半分の枚数のカードを、右側の人に渡す。
このカードの移動を繰り返すと、いつかみんなの前にはちょうど10枚ずつのカードが置かれている
状態になることを証明せよ。
0711１３２人目の素数さん
2006/03/06(月) 20:25:460712１３２人目の素数さん
2006/03/06(月) 20:48:12lim[n→∞) 4∫[0,1] (1-x^n)^(1/n) dx =lim[x→1-0)4∫[0,x]dx=4
とすれば問題ないと思う
0713１３２人目の素数さん
2006/03/06(月) 21:00:000714１３２人目の素数さん
2006/03/07(火) 23:30:09(1/2)^(1/n) =a とおく。
|x|^n + |y|^n =1 のグラフは 4点(±a,±a) を通るので 一辺2aの正方形を含むらしい。>713
8点(1,0), (a,a), (0,1), (-a,a), (-1,0), (-a,-a), (0,-1), (a,-a) をつないだ8角形を含むならば
4･(1/2)^(1/n) < S(n) < 4.
0715１３２人目の素数さん
2006/03/08(水) 22:28:11a_n = (-1)^n･{BF(n-1) -AF(n-2)}, A=a_1, B=a_2, F(n) はフィボナッチ数列
関連スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/
0716１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 18:21:410717１３２人目の素数さん
2006/03/13(月) 20:39:26x^n-1=ag(x)
ag(1)=a(n-1)<>0
g=(x^n-x)/(x-1)=x(x^n-1-1)/(x-1) x<>1
g(1)=(n-1)
0718１３２人目の素数さん
2006/03/14(火) 07:41:310719１３２人目の素数さん
2006/03/18(土) 16:12:57[133]青いラッコ 06/03/11 16:27
問) ③
xy平面上の放物線 y=x^2 上の3点 P,Q,R が次の条件を満たしている。
△PQR は一辺の長さがaの正三角形であり、点P,Qを通る直線の傾きは √2 である。
このときaの値を求めよ。
ザ･掲示板（数学）
http://math.bbs.thebbs.jp/1140967809/133,154
0720１３２人目の素数さん
2006/03/18(土) 21:19:35このコピペの存在意義が分からん。
概してコピペとはそういうものであるが、
願わくば場所とタイミングが絶妙のコピペが見たい。
0721１３２人目の素数さん
2006/03/26(日) 02:38:19ここの
>>29
って今年の京都大学，後期4番そのものじゃない？
（京大のは）
半径1の円上に3点ABCをとるとき，△ABCの内接円の最大値，って問題。
有名問題とはいえ，タイムリーで恐れ入った。
0722１３２人目の素数さん
2006/03/26(日) 02:41:13申し訳ない。
でも，そのものであることに違いはないけど。
0723１３２人目の素数さん
2006/03/26(日) 02:41:18平面上の点Oを中心とし半径1の円周上に相異なる3点A,B,Cがある。△ABCの内接円
の半径rは1/2以下であることを示せ。
0724１３２人目の素数さん
2006/03/26(日) 05:40:29△ABCの3辺の中点を結んだ△DEFは、△ABCの1/2の大きさである。
△ABCの外接円の半径はR=1だから、△DEFのそれは1/2である。
△DEFの外接円はAB,BC,CAの3辺と交わる(or接する)から、△ABCの内接円はこれに含まれる(or一致する).
よって r ≦ R/2 =1/2.
0725１３２人目の素数さん
2006/03/26(日) 05:52:34これらが作る超多面体に内接する超球の半径rは1/n以下であることを示せ。
大関: ｢不等式への招待｣ 近代科学社 (1987) p.7-8
0726724
2006/03/26(日) 17:17:50超多面体をＰ, その頂点をP_i (i=1～n+1) とする。
P_i以外のn個の頂点からなる超対面の重心をQ_iとすると、
OQ_i↑ = (1/n)Σ[j=1～n+1,j≠i] OP_j↑
Q_i (i=1～n+1)が作る超多面体Ｑは、Ｐの1/nの大きさである。
{P_i}を通る超球の半径はR=1だから、Ｑのそれは1/nである。
{Q_i}を通る超球はＰの各超表面と交わる(or接する)から、Ｐに内接する超球はこれに含まれる(or一致する).
よって r ≦ R/n = 1/n. (清水多門氏)
0727１３２人目の素数さん
2006/03/30(木) 20:13:41x＝（n-1）π x＝nπ で区切られた部分の面積をＳ（ｎ）とする。
（1）Ｓ（１）を求めよ
（２）Ｓ（ｎ）を求めよ
（３）Σ【k＝1→k＝n】Ｓ（k）を求めよ。
（４）lim【n→∞】Σ【k＝1→k＝n】Ｓ（k）を求めよ。
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています