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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 09:00:00
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0609１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 04:59:26
>>605
y=a^xは単調増加だから(p, q), (q, p)がともに
y=a^x上の点となるのはp=qのときに限るってぐらい言ったほうがいいよな。
0610１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 05:10:48
>>592
>>541

こんなスレ見つけた

ttp://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089214156/l50
ttp://www.casphy.com/bbs/highmath/#R8
0611１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 09:14:00
>>608
「もはや」の使い方がおかしい。
自画自賛乙。
0612１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 09:45:50
>>608
外国人ですか？
0613 ◆xeS.CIM.Jk 2006/02/28(火) 13:11:26
y=x^x^x^…のグラフの概形を書け。
0614１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 13:21:45
>613
ノ ←こんな感じ
0615１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 15:02:12
>>611-612
おかしくないだろ
阿呆ですか？
0616１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 15:10:23
大学受験板のスレですが数学の問題(物理、化学も)を出し合って楽しんでいます
是非一度お越しくださいませ
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1139580462
0617１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 15:40:42
定積分∫[1～∞]dx/√(x^3-x))を求めよ。
0618GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/02/28(火) 15:43:34
talk:>>613 x=e^(1/e)付近でどうするか？
0619 ◆xeS.CIM.Jk 2006/02/28(火) 15:53:23
>618
とりあえず増減表的なものを書ければよしとする方針で。Kingは出来たみたいだな。
0620１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 15:59:08
>>615
くににかえれ！
おまえにも かぞくが いるんだろ （ガイル）
0621GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/02/28(火) 15:59:21
talk:>>613,>>619 xが1未満のとき、xが1より大のとき、xがe^(1/e)のとき収束することもしめさないといけないのか？
0622 ◆xeS.CIM.Jk 2006/02/28(火) 16:06:31
>621
それを示して、かつ微分可能性も調べなければグラフは書けない。1≦x<e^(1/e)で単調増加であることも示す。めんどくさいだろうが。
0623１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:07:29
>>620
新米乙
お前が自分が元居たスレに戻れ
>>611-612>>620は>>608のｱﾝｶがどれかも解らない低能
0624１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:08:36
king久々に見たな
0625１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:13:50
馬鹿二人つまらん争いはやめろ
0626１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:17:07
king俺は今から嘘を言う
しかし二言目に言うことは本当だ
kingはとりあえず生きろ
0627１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:18:27
>>625
馬鹿
0628１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:18:43
だれか608を日本語にしてください
0629１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:20:41
何この必死なスレ？
0630１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:22:05

kingは一生の12分の1を少年として過ごし、3分の1をｷﾓｦﾀﾈﾗｰとして過ごした。
その後9分の1を経て風俗に目覚め10年間通い続けた。
2年後kingは犬を飼い始めたがkingの寿命の12分の1しか生きられなかった。
kingは犬が死んだ6年後に死んだ。

kingの寿命は？
0631１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:25:56
>>628

>>572
∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx＞8　という証明だけど
e^π＞21　の証明がこの問題の難しい所だよね
0632１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:26:37
ディオファントスのking
0633GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/02/28(火) 16:30:26
talk:>>624,>>632 私を呼んだか？
talk:>>626 お前に何が分かるというのか？
talk:>>630 そんなことより、風俗通い10年分の金をくれよ。
0634１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:32:54
>>630
kingの寿命、46歳くらいか？
あと2,3年でしぬじゃん
0635GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/02/28(火) 16:35:19
talk:>>634 お前に何が分かるというのか？
0636１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:36:28
talk:>>633 ｷﾓｦﾀﾈﾗｰは否定しないのか？
0637１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:51:01
Ａ，Ｂがじゃんけんをする。
どちらかが勝てば、勝った方が「二人の出ている指の本数の差の絶対値」だけ得点がもらえる。
（グーで勝てばチョキとの指の差は2本なので2点）

じゃんけんを繰り返し、6点獲得すれば勝者となる。
Ｂは3/7の確立でチョキ、2/7の確立でグー、2/7の確立でパーを出す。
Ａがこの勝負に勝つ期待が最も大きくなる時、Ａがグー、チョキ、パーをどのような確立で出した時か。
又、期待が最も小さくなる時も求めよ。
0638１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 17:09:32
exp(π)>exp(3.125)
0639１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 17:17:49
>>67
○確率
×確立
っていうかＡが出すのはＢに対しての期待値で一意に定まらないか？
0640１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 18:49:37
誰か>618出来ませんか？
0641１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 19:24:51
まぁ結局は原点白丸でx=e^(1/e)までの

ノ

こんなグラフ
0642１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 19:30:00
ｘ＝ｙ＾（１／ｙ）。
ｅｘｐ（－１）≦ｙ≦ｅｘｐ（１）。
0643１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 19:37:36
昔
1.4^1.4^1.4・・・て1.4を何回1.4乗すると2を超えるでしょう
とかいう問題出されたな
0644１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 19:42:40
4回
0645１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 19:45:16
3回だった
0646１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 20:17:17
1.4^1.4^1.4…とかいたら普通は
1.4^((1.4^(1.4＾(1.4.........))))のことだけど
0647１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 21:06:14
書き方がマズかった
1.4を何回1.4乗するとって書いたらﾀﾞﾒだね

http://tsb.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/oekaki/189.png
この絵参照
0648１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 21:59:21
>>643
何回やっても2を超えないと思うが
0649１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 22:28:44
>>647
式の意味を…
0650１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 22:36:09
>>649
f(1)=1.4
f(n+1)=1.4^f(n)
ととってあげてくれ
0651１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 22:45:47
こんくらい察しろよ＾＾；
0652１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 22:48:46
a^b^cと書いたら普通a^(b^c)の意でしょ。
(a^b)^cだったらa^(bc)と書く。
0653１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 22:57:22
0以上e^(1/e)以下で収束？？
0654１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 22:58:10
2 < log_{1.4} 2 < 3
1.4^(1.4^n)が2を超えればいいのだから3

慣用の指数の付け方で書いてるのなら
何度1.4の肩に乗せても2は超えない
0655１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 23:46:40
608は三国人
0656１３２人目の素数さん2006/03/01(水) 00:08:14
n を 0 以上の整数とする
10^(3^n)-1 が 3^(n+2) で割り切れ、
3^(n+3) では割り切れないことを示せ
0657１３２人目の素数さん2006/03/01(水) 00:23:05
>>656
数学的帰納法で証明
1)n=0のとき10^(3^0)-1=9なので3^2で割り切れるが3^3で割り切れない
2)n=k(k=0,1,2...)のとき
10^(3^k)-1が3^(k+2)で割り切れるが3^(k+3)で割り切れないと仮定する・・・A
10^(3^(k+1))-1=(10^(3^k)-1)(10^(2*3^k)+10^(3^k)+1)
ここで10^(2*3^k)+10^(3^k)+1の10進法各位の数の和は3なので3で割り切れるが9で割り切れない
ゆえにAの仮定とあわせて10^(3^(k+1))-1は3^(k+3)で割り切れるが3^(k+4)で割り切れない
1)2)より0以上の自然数nについて
10^(3^n)-1は3^(n+2) で割り切れるが3^(n+3) では割り切れない
06586562006/03/01(水) 00:36:56
結構重要な定理の特殊な場合なんだけど、やっぱここじゃ瞬殺か…
0659１３２人目の素数さん2006/03/01(水) 02:21:45
>>617
　x=1/(t^2) とおくと dx=-(2/t^3)dt
　∫[1,∞)｛1/√(x^3 -x)}dx = ∫[0,1] {2/√(1-t^4)}dt = (√2)Ｋ(1/√2) = {1/(2√2π)}Γ(1/4)^2
　Ｋ(1/√2) = 1.854074677301372…　　(第1種の完全楕円積分)
0660１３２人目の素数さん2006/03/01(水) 08:21:41
>>658
誰も解けずに放置されている問題の方が遥かに多い。
誰も興味を持たずに、の方が性格かも知れないが。
0661１３２人目の素数さん2006/03/01(水) 18:57:06
AB=a (0<a<1) BC=1の長方形ABCDがある。
動点PをBP=1かつ、線分BPと線分ADが共有点Qを持つように動かす。
このときできうる二等辺三角形PQDの個数を求めよ。
0662１３２人目の素数さん2006/03/01(水) 22:00:47
↑わからん。答えは？
0663１３２人目の素数さん2006/03/01(水) 22:09:05
2個
0664１３２人目の素数さん2006/03/01(水) 22:28:03
場合分けいらねーの？
0665１３２人目の素数さん2006/03/01(水) 22:34:19
場合分けは間違いなく必要
0666１３２人目の素数さん2006/03/01(水) 23:01:17
0<a<1の意味がわからん。
0667１３２人目の素数さん2006/03/01(水) 23:04:45
a≧1だと三角形ができないからだろ
0668１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 00:23:42
>>661
PQ=QDはあり得ない。
PQ=PDの二等辺三角形は
0<a<2(1-2^(-2/3))^(3/2)で2個
a=2(1-2^(-2/3))^(3/2)で1個
a>2(1-2^(-2/3))^(3/2)で0個
DP=DQとなる場合が分からねえ
0669１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 01:15:48
>>667スマン。そういう意味でなく、>>668のいうように0<a<1の間でさらに場合分けがあるのかどうかが知りたかった。
0670１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 01:23:36
場合分けは必要性に応じて自分でするもんだ。
0671１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 01:52:56
いや、わからんからなんだが。
0672１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 03:22:16
とりあえず考えたとこまで書け
0673１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 03:28:11
PQ=QDはあり得ない。ここまでしかわからん。そのあと何をつかって解いていくのかさっぱりだ。
0674１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 03:52:42
DP=DQの二等辺三角形は0<a<1で1個だな。
0675１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 04:02:40
初めから全部代数的にやると因数分解がめんどいから、
二等辺三角形を二等分して三角形の相似から関係式を得ると早い。
0676１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 04:17:00
東大生でも全然解けない超難問をVIPで考えるスレ
http://ex14.2ch.net/test/read.cgi/news4vip/1141237140/
0677１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 06:19:33
>>675
初めから → 始めから or はじめから

はじめて何かをするときは、「初めて」だよ。
何々しはじめるときは、「始める」だよ。

　　　＿＿,, ,　,　,　_ ､ ,,, ...　,,　_　..,_
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　　　 `ヽ`ヾ`､　! ヽ ! l! i! !_i_/_<'"``
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　　　　　 !/!,li ,;;-=o=-,ｯｨ=｡ｩｨ
　　＿_　 i､`!', '; `ー　/;;!i､''; ,!
ー''`ヽ`,ｰi'`''"!､ヽ　,　`一'､ /　　　__
　　　　`il `i !　ヽ､　 ￣￣ / iヽ、/ ,.ヽ_
　　　　　i!　!`　　 `ｰｧ､-ｰ'　 ! ﾉ!トi,!'",ﾉ-､
　　　,..=､i! iヽ-､　rィ',;'!ヽー-､! 　`/_,i' _,.!'､
ーニｰ-､._ `ヽゞﾆ-､.;' i! ! ,　　`ﾄ_ﾉ`x-'" ノ
=ニヽ､　,　`,　/ヾ=ソ ﾉ　!/　　　!､`ｰ`''イ､
-ｰ-､　`i,　/ / ヽ `イ_,　 i -'"￣`!　!　　　ヽ
　　　ゝﾉ /-'"　　`　　　'　!　　　　ヽ　　　　 !

お前も義務教育くらい受けたんだろ？
二度と間違えんな！
約束だぞ！
0678１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 06:47:22
>>675
直角三角形をつくるってこと？そうであればそこから式作った後がわかんないんだが。
0679１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 15:17:20
>>677
小学生ですか？
辞書引いてみろ
0680１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 16:46:36
>>678
微分してグラフ書け
0681１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 19:44:22
>>677
えーと、名詞、動詞、副詞の区別はできるかな？
0682１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 19:45:21
後期のセット
第1問
Pを平面上のn(≧3)個の点の集合とする。
このとき、下の(ⅰ)または(ⅱ)が成立することを証明せよ。
(ⅰ)Pに属するすべての点は1つの直線上にある。
(ⅱ)Pに属する点を2個以上通る直線の本数はn以上である。
第2問
a>1のとき、次の極限値を求めよ。
lim[n→∞]∫[0,n]{(1+x/n)^n}e^(-ax)dx
第3問
0と1からなる長さnの列のうちで、1の直後に1が続くことがないもの全体の集合をT(n)とする。
T(n)に属するすべての列に含まれる1の総数を求めよ。
0683１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 20:14:30
後期にしては問題文がやけに淡白だな
0684１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 22:36:44
ｆ(x)=e^x
f(x)をｘ軸を軸に対称移動させ、y軸方向に-2移動させた関数をg(x)とする。

ｘ軸上の点Ｐ(p,0)を中心に楕円をf(x)、g(x)、y軸の全てに接するように描きたい。
pを求めよ
0685１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 22:42:52
>>682
ちょｗｗｗ(2)簡単すぎｗｗｗ
後期だったらこれくらいやらないと。

第1問
Pを平面上のn(≧3)個の点の集合とする。
このとき、下の(ⅰ)または(ⅱ)が成立することを証明せよ。
(ⅰ)Pに属するすべての点は1つの直線上にある。
(ⅱ)Pに属する点を2個以上通る直線の本数はn以上である。
第2問
Σ[k=0,∞](1/k^2)を求めよ。
第3問
0と1からなる長さnの列のうちで、1の直後に1が続くことがないもの全体の集合をT(n)とする。
T(n)に属するすべての列に含まれる1の総数を求めよ。
0686１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 22:49:07
>>685
そんな知識問題出せるわけねえ
0687１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 22:53:52
>>685
ちょｗｗｗ(2)簡単すぎｗｗｗ
後期だったらこれくらいやらないと。

第1問
Pを平面上のn(≧3)個の点の集合とする。
このとき、下の(ⅰ)または(ⅱ)が成立することを証明せよ。
(ⅰ)Pに属するすべての点は1つの直線上にある。
(ⅱ)Pに属する点を2個以上通る直線の本数はn以上である。
第2問
Σ[k=0,∞](1/((k^2)logk))を求めよ。
第3問
0と1からなる長さnの列のうちで、1の直後に1が続くことがないもの全体の集合をT(n)とする。
T(n)に属するすべての列に含まれる1の総数を求めよ。
06886852006/03/02(木) 22:55:46
>>687
じゃあおまえ解けるのか？高校の範囲で解いてみろよ。
0689１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 22:57:19
>>685
(2)定義されない

まず1完だな
0690１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 22:59:14
>>688
有名問題で鼻息荒くすんなよ
06916852006/03/02(木) 23:01:48
>>689
スマン、申し訳ない。
>>685訂正

第1問
Pを平面上のn(≧3)個の点の集合とする。
このとき、下の(ⅰ)または(ⅱ)が成立することを証明せよ。
(ⅰ)Pに属するすべての点は1つの直線上にある。
(ⅱ)Pに属する点を2個以上通る直線の本数はn以上である。
第2問
Σ[k=1,∞](1/k^2)を求めよ。
第3問
0と1からなる長さnの列のうちで、1の直後に1が続くことがないもの全体の集合をT(n)とする。
T(n)に属するすべての列に含まれる1の総数を求めよ。
0692１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 23:04:39
>>691
他人の出題に寒い改変ｲｸﾅｲ
0693１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 23:07:46
ここは自作問題うｐするスレだぜ。
人様の出題に対して化石みたいな有名題で上書きとはふてえ野郎だ
0694１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 23:18:00
正直、ここで出された問題があたってたら、
ｽｹﾞｰって思うけど、>>691は外れるだろうなｗ
0695１３２人目の素数さん2006/03/02(木) 23:58:26
そんな阿呆な第2問が出るわけ無いだろう
0696１３２人目の素数さん2006/03/03(金) 00:23:49
ごちゃごちゃ言うやつに限って解かずに答えをﾚｽしようとしない。
0697１３２人目の素数さん2006/03/03(金) 00:26:12
>>661の解方をアップしてくれ。
06986962006/03/03(金) 00:55:27
>>697
いいけど長くなるからちょっと時間くれ。
0699１３２人目の素数さん2006/03/03(金) 01:37:55
数列{a_n} (n=1, 2, 3, ・・・)の各項は負でない整数で、
a_{n+2}=a_n-a_{n+1} (n≧1)
を満たしている。
この数列は、a_{m-1}-a_m<0となると停止し、このときの「長さ」はmであると定める。
たとえば、120, 71, 49, 22, 27の長さは5である。

(1) a_1=150, a_2=B とするとき、長さmが最大となるBの値を求めよ。
(2) mはm≧5なる自然数とする。
　　このとき、次の２つの条件をともに満たす数列{a_n}は全部で何通り存在するかを答えよ。
　　（条件１）: 長さはmであり、末項a_m≦2000
　　（条件２）: 任意の自然数nに対して、a_nは5の倍数でない。
0700１３２人目の素数さん2006/03/03(金) 01:45:53
このスレいつ見ても必死
0701suuzibb2006/03/03(金) 02:00:55
Aを2行2列の正方行列としてAの逆行列を求めよ(証明)
0702１３２人目の素数さん2006/03/03(金) 02:07:27
マルチ
0703１３２人目の素数さん2006/03/03(金) 02:32:42
そんなに>>661の答えが知りたいか？
0704１３２人目の素数さん2006/03/03(金) 14:36:07
もはや質問スレ以外の何者でもないなこのスレ
0705１３２人目の素数さん2006/03/04(土) 01:22:01
>>682
　第1問
　nに関する帰納法による。
　n=3 のときは明らか。
　或る n-1 に対して成り立つとする。
　(i)の場合は、点P_1 ～ P_(n-1) は1つの直線L_0 上にある。
　　点P_n も 直線L_0 上に有れば(i)が成立。
　　点P_n が 直線L_0 上に無ければ、P_n と他の点を通る直線(n-1本)と L_0 と有るので(ii)が成立。
　(ii)の場合は 点P_1 ～ P_(n-1) の2個以上を通る直線 L_1 ～ L_(n-1) がある。
　　点P_n と 他の1点P_jを通る新たな直線 L_n が有るので(ii)が成立。
　　但し、点P_n がある 直線L_i 上に有るときは、直線L_i 上に無い点P_j を択ぶものとする。
0706１３２人目の素数さん2006/03/04(土) 01:25:14
>>682
　第2問
　(1+x/n)^n = 納k=0,n] Ｃ[n,k] (x/n)^k = 納k=0,n] (1-1/n)(1-2/n)…{1-(k-1)/n} (x^k)/k! はnに関して単調増加で、
　lim[n→∞) (1+x/n)^n = lim[n→∞) 納k=0,n] (x^k)/k! = e^x.
　ε>0 に対して或る自然数Nが有り、
　n>N ⇒ e^x -ε < (1+x/n)^n < e^x.
　∫[0,n] (e^x -ε)e^(-ax) dx < ∫[0,n] {(1+x/n)^n}e^(-ax) dx = ∫[0,n] (e^x)e^(-ax) dx.
　[ -(1/(a-1))e^(-(a-1)x) + (ε/a)e^(-ax) ](x:0,n) = ∫[0,n] …… dx < [ -(1/(a-1))e^(-(a-1)x) ](x:0,n).
　(1/(a-1)){1-e^(-(a-1)n)} - (ε/a){1-e^(-an)} = ∫[0,n] …… dx < 　(1/(a-1)){1-e^(-(a-1)n)}.
　ここで n→∞ とすると
　1/(a-1) - (ε/a) ≦ lim[n→∞)∫[0,n] …… dx ≦ 1/(a-1).
　これが任意のε>0 に対して成り立つから、
　lim[n→∞) ∫[0,n] …… dx = 1/(a-1).
0707１３２人目の素数さん2006/03/05(日) 02:16:45
xy平面において曲線|x|^n+|y|^n=1で囲まれる部分の面積をS(n)とする
lim(n→∞)S(n)を求めよ
0708１３２人目の素数さん2006/03/06(月) 01:29:48
>707
S(n) = 4∫[0,1] (1-x^n)^(1/n) dx = 4(1+2/n)Ｂ(1+1/n, 1+1/n) = 4[Γ(1 +1/n)]^2 /Γ(1 +2/n).
lim[n→∞) S(n) =4.
円 → かどの丸い正方形 → かど張った正方形
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