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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 09:00:00
理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0060１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 17:22:53
>>59で求めた最小値をaとする。
3点P,Q,RがPQ↑・PR↑=aを満たしながら動くとき、
線分PQの存在しうる領域の面積を求めよ。
0061１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 18:56:25
そうか、因数分解できないのか・・・
では「a^3+1/a^3を(a+1/a)の式で表せ」というのはどうでしょうか。
0062１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 20:22:29
とたんに難易度が下がったじゃん。考えて作れよ。。

東大より難易度低い大学でも
その程度の問題は解かせる。
0063１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 23:12:08
次の条件を満たす点P(x, y)の存在範囲をxy平面上に図示せよ。

条件：点Pを通る直線Lで、円O:x^2+y^2=1をLに関して対称移動した円O'が
x軸に接するようなものが存在しない。

簡単すぎかなあ？
文系向きかも。
ところで、掲示板では図示するのは無理なので、領域が分かる関係式を答えてください。
0064１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 23:42:27
|y|≦(1-x^2)/2
0065１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 23:42:57
|y|＜(1-x^2)/2
0066１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 23:56:52
xyz空間で次の条件を満たす点P(x, y, z)全体の集合による立体をVとする。

条件：点Pを通るどのような平面に対して球x^2+y^2+z^2=1を対称移動しても
移動後の球がxy平面に接することはない。

Vの体積を求めよ。
0067１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:02:06
>>66
それ有限に収まるか？
0068１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:02:52
収まるでしょ
0069662005/12/14(水) 00:03:25
・・・そだな。勘違い。
007066じゃなくて672005/12/14(水) 00:03:55
さらにスマン、
名前欄間違えた。
0071１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:05:06
>>66
>>63の答え回転させるだけじゃね？
0072１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:08:09
xyz空間で次の条件を満たす点P(x, y, z)全体の集合による立体をVとする。

条件：点Pを通るどのような平面に対して球x^2+y^2+z^2=1を対称移動しても
移動後の球がx軸に接することはない。

Vの体積を求めよ。

求まるかは知らんが>>66よりは骨がありそう。
0073１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:11:44
>>72
やっぱり回転させるだけじゃないの？回転軸がちがうだけで。
0074１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:37:59
誰か>>59>>60教えて
0075１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 01:00:32
>>61
高一でもできるぞ！
算チャレでもやってろ！！
おまえがこのスレに書き込む資格はない！！！
厨房がぁ！！！！
二度と来んな！！！！！
0076１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 01:12:04
>>74
Pを固定してQ,Rをうごかすことかんがえると
P,Qを固定してRをうごかしてもP,Rを固定してQをうごかしてもいづれの場合も１次なので
最小をとるQ,Rは頂点で最小になることがわかる。こまかい議論が必要だけど結局
正方形をABCDとして
A=Q、BがAB中点、RがBC上のときまたはそのような配置の回転反転のとき、または
A=R、BがAB中点、QがBC上のときまたはそのような配置の回転反転のときに
最小値-1/4になる。
線分PQの軌跡はAとAB、ADの中点、BとBC、BAの中点、CとCD、CBの中点、DとDA、DCの中点
を結んでできる８本の直線でかこまれてる８角形の外側。
0077632005/12/14(水) 01:23:42
>>63に引き続き、出題です。

x, yを実数とするとき、次の連立方程式を解け。
1/(4y)+1/(2x)=x^2+y^2
1/(2y)-1/x=x^2-y^2

分数は順に、4y, 2x, 2y, xが分母にあります。
入試というよりパズルです。どっちかっつうと数オリ風。
0078１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 01:32:29
>>77
>>63の問題となんか絡んでんの？全然別の問題？
0079１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 01:36:36
>>78
あ、全然別です。すみません。
ただ、同じ人間が出したってだけです。
0080１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 04:46:07
>>77
与式から1/xを消去して1/y=3x^2+y^2
よって3(x^2)y+y^3-1=0
与式から1/yを消去して2/x=x^2+3y^2
よってx^3+3xy^2-2=0
この2式から定数項を消去してx/y=tとおくと
t^3-6t^2+3t-2=0
0081１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 08:12:50
ｘｙ平面内の格子点を結んでできる正多角形は何種類あるか？
0082１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 20:27:05
>>81
超有名問題
0083１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 20:45:13
合同なある凸n角形で平面を敷き詰める。
このようなことが可能なnを全て求めよ。
0084１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 20:49:20
勘で３、４、５、６
0085１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 20:53:17
ｴｰｰｰ
0086１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 20:59:44
もぎょれー
0087１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 21:29:41
3・・・・
0088１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 21:39:40
秘密
0089１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 21:51:56
正n角形じゃなくていいんだよね
0090１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 22:04:31
どう読んだら正n角形になるんだ？
0091772005/12/14(水) 22:48:07
>>80
それで終りっすか・・・？
0092１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 22:55:42
終わりでｲｲﾝｼﾞｬﾅｲ？
0093772005/12/14(水) 23:36:43
>>92
寂しい(´・ω・`)
0094１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 23:55:46
>>93
中学生が背伸びしたような問題ばかりだすなよ。
算数オリンピック並の問題だして、いい気になってる算数オタクは、
算チャレでもやってオナってな！
0095772005/12/15(木) 00:23:14
>>94
前から気になってたけど、算チャレって何？って感じ。
0096１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 00:38:44
>>95
ttp://www.google.co.jp/search?hl=ja&inlang=ja&ie=Shift_JIS&oe=Shift_JIS&q=%8EZ%83%60%83%83%83%8C
0097772005/12/15(木) 00:48:23
>>96
こんなのがあったんですね。親切にありがとう。
0098１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 01:00:00
（ｘ＋ｙ）＾３＝３。
（ｘ−ｙ）＾３＝１。
0099１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 01:46:11
またでた。こいつきらい。
0100１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 03:58:42
>>97
ここに二度とレベルの低い問題を晒すなよ！ クズが！
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
(ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!! ﾍﾟｯ!!
0101１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 21:33:25
体積V、表面積Sの四面体ABCDの内部に次の条件を全て満たすように2つの球C1,C2をとる。

条件
C1は3平面ABC,ACD,ADBに接している。
C2は3平面BAC,BCD,BDAに接している。
C1とC2は外接している。
C1とC2の半径は等しくrである。

このとき四面体の辺ABの長さをV,S,rで表せ。
0102１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 21:38:16
>>101
四面体は正四面体とはかぎらないすか？
0103１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 21:39:38
限らないよ。一般の四面体でも求まるから面白い。
0104１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 21:49:44
↓の問題お願いします。
http://www10.plala.or.jp/mathcontest/2005r.htm
0105１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 21:51:32
>>103
へぇー、すげぇー。オイラには無理。パス。
0106１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 21:55:58
>>105
いちいち無能宣言せんでいい
0107１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:00:08
>>101は辺CDが２球の共通接平面にふくまれるときは簡単なんだけど･･･
0108１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:16:23
>>101
4rV/(2V-rS) かな。
0109１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:19:34
計算ミスってタ。6rV/(3V-rS)でファイナルアンサーでどうだ。
0110１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:20:36
表面積Sを使っている所に意図が透けて見える。
0111１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:21:05
>>109
正解
0112１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:24:38
>>109
なんでそうなるかおしえてくらはい。
01131122005/12/15(木) 22:27:28
勘違いしてた。なるほど。わかりもうした。
01141132005/12/15(木) 22:40:03
あれ？やっぱりわかんない・・・だれか>>109の解答かいてください。お願いします。
0115１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:42:22
>>114
わからない？
いやだね！
このスレでは素人の発言は厳禁。したときは
容赦なくたたくからよく覚えておくように！
おれの怖さは、オイラースレのハンドル198で味わえ。
0116１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:47:22
>>115
てか既出の答えは辺CDが２球の共通接平面にふくまれると仮定したときに
自分でだした答えに一致するんだけどその仮定は常に満たされるわけじゃないし
その仮定がないと答えずれるみたいなんだけど。ホントにでてる答えで
あってんの？
0117１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:53:11
あってる
0118１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:54:23
ぁゃιぃ
0119１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:54:37
反例だせよ
0120１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:56:24
こうやろー。
ttp://www.imgup.org/file/iup131792.jpg.html
0121１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 22:58:22
そんなすぐにはだせないよ。共通接平面で四面体の内部にふくまれる部分の面積を
S’とするときV=(1/3)r(S+S’)をつかってるとおもうけど（てか同値になるけど）
これCDが接平面にふくまれてなくても成立すんの？
0122１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:01:01
そんなのいらんでしょ
0123１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:02:37
△ABCにおいて∠A＝180/7度、BC=１である。
また頂点Cから辺ABにAD=1となるような点Dをとる。
このときCDの長さを求めよ。

0124１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:06:30
>>122
>>121を訂正。>>109式はV=(1/3)r(S+2S’)―(*)と同値
いらんても>>121式は>>109式と同値(AB=(1/3)V/S’が成立するから)だから
(*)式が成立しなけりゃ>>109式は成立しない。ところが>>121式の
(1/3)r(S+2S’)は例えば辺CDが共通接平面と共有点をもたないときは体積より
真に小さくなるとおもうんだけど。
0125１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:10:34
アホですか？
0126１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:11:18
>>125
どっかまちがってる？
0127１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:12:57
AB=(1/3)V/S’が成立するならば>>109と>>121は同値なんでしょ
0128１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:14:20
>>127
AB=(1/3)V/S’は無条件に成立するとおもうけど。
0129１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:15:02
>>127
わかった。成立しない。吊って来る。
0130１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:15:34
S'の面がCDを含むときだけでしょ
01311242005/12/15(木) 23:18:21
すまん。オレの反論はまちがってる。しかしとしても証明がわからん。どうやって
証明するの？
0132１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:23:10
>>120
0133１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:26:11
>>132
さっきから503 Service Temporarily Unavailableばっかでみれん・・・
01341332005/12/15(木) 23:28:46
もしかしたらCDをとおる平面で適当にきればいいのか。なるほど。
0135１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:29:56
C1の中心をP、C2の中心をQとしたとき
四面体PBCDから四面体QBCDを除いた立体の体積はV'=(2r/a)V
V'+(1/3)Sr=V
01361352005/12/15(木) 23:30:25
a=AB
0137１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:35:00
なるほど。
0138１３２人目の素数さん2005/12/15(木) 23:36:23
>>120も勉強になるから見とけ
0139１３２人目の素数さん2005/12/16(金) 00:53:04
正6角錐P-ABCDEFの辺PA,PB,PC,PD,PE,PF上にそれぞれ点A',B',C',D',E',F'をとり、
PA'=a, PB'=b, PC'=c, PD'=d, PE'=e, PF'=fとおく。
6点A',B',C',D',E',F'が同一平面上にあるならば
(a+d)(ce-bf)+(b+e)(ac-df)+(c+f)(ae-bd)=0を証明せよ。
0140１３２人目の素数さん2005/12/16(金) 01:46:07
>>139
でけた。
PA=PB=PC=PD=PE=PF=1として一般性をうしなわない。
三角錐PACEの体積をV、三角錐PABCの体積をWとおく。
与式⇔(a+d)(ce)+(b+e)(ac)+(c+f)(ae)=(a+d)(bf)+(b+e)(df)+(c+f)(bd)
　　　⇔3ace+abc+cde+efa=3bdf+bcd+def+fab　
なので最後の式をしめす。それにはace=bdf―(A)、abc+cde+efa=bcd+def+fab―(B)をしめせば十分である。
△A’C’E’と△B’D’F’は面積が等しいので
aceV=三角錐PA’C’E’の体積=三角錐PB’D’F’の体積=bdfである。よって(A)はしめされた。
△A’B’C’、△C’D’E’、△E’F'A’の面積の和と△B’C’D’、△D’E’F’、△F’A’B’の面積の和は等しいので
(A)と同様にして(B)もしめされる。以上で示された。
01411402005/12/16(金) 01:48:31
撤回。釣って来ます。
01421402005/12/16(金) 08:31:05
あってるのかな。でも
　
＞△A’C’E’と△B’D’F’は面積が等しいので

＞△A’B’C’、△C’D’E’、△E’F'A’の面積の和と△B’C’D’、△D’E’F’、△F’A’B’の
＞面積の和は等しいので
　
この２つは証明しないとおこられるんだろな。しかし泥臭い方法しか思いつかん。
後者は前者からすぐでるので前者のみ
しめせば十分。それは四面体PA’C’E’と四面体PB’D’F’の体積が等しいときなので
|AA’||CC’||EE’|=|BB’||DD’||FF’|―(1)と同値。
ABCDEFをふくむ平面をα、A’B’C’D’E’F’をふくむ平面をα’、
ABCDEFの外接円をS、α’上のA’B’C’D’E’F’をとおる二次曲線をS’とする。
SとS’は接するとして一般性を失わない。(必要ならαを上下して接するようにすればよい。)
AD//A’D’のときはAA’=DD’、BB’=CC’、EE’=FF’なので明らか。
BD//B’D’、CF//C’F’、のいづれかが成立するときも同様。
それ以外のときADとA’D’の交点をG、CFとC’F’の交点をH、EBとE’B’の交点をIとおく。
メネラウスの定理より(1)は(AG/DG)(CH/EH)(CI/FI)=1―(2)
あるいはAG･CH･EI=DG･FH･BI―(3)と同値。これを示す。
α、α’の交線をLとおく。αに極座標rθを設定してSがr=1、Lがrcosθ=1になるとしてよい。
ABCDEFの座標を(1,θ)、(1,θ+π/3)、(1,θ+2π/3)、
(1,θ+π)、(1,θ+4π/3)、(1,θ+5π/3)とすればAG=1/cosθ-1、DG=1/cosθ+1、
BH=1/cos(θ+π/3)-1、EH=1/cos(θ+π/3)+1、CI=1/cos(θ-π/3)-1、FI=1/cos(θ-π/3)+1
これらを(3)へ代入すれば容易に正しいことが確かめられる。（←受験だとおこられるだろうな）
･･･なんか瞬殺する方法がありそうなんだけど･･･
01431402005/12/16(金) 11:54:48
まちごうた。>>142撤回。で再挑戦。PA=PB=PC=PD=PE=PF=1と仮定する。
与式⇔3ace+abc+cde+efa=3bdf+bcd+def+fab
で両辺にP-ABCの体積をかけると
左辺＝右辺＝P-A'B'C'D'E'F'になるみたい。策に溺れた…orz
0144１３２人目の素数さん2005/12/16(金) 15:29:29
知らんがな
0145１３２人目の素数さん2005/12/16(金) 22:28:16
>>139
問題あってる？
a:c:e=1:2:3入れて、計算しても0にならなかったんだけど
俺の計算ミスかな？
0146１３２人目の素数さん2005/12/16(金) 23:36:49
>>139
二通りの方法で挑戦してみたんだが、やっぱり出題がおかしくないかな。
一個目の方法はPA, PC, PE を xyz軸にした斜交空間で
A',C',E'を通る平面の方程式と、B',D',F'を通る平面の方程式が
一致するという条件で連立方程式を立てたもの。

もう一この方法は、A',B',C',D',E',F'を底面に射影した点が一つの2次曲線上に
あるという条件から行列式の計算に持ち込んだもの。

上のどちらのやり方でも
bdf(ce+ae+ac) - ace(df+bf+bd) = 0
という式が出てきた。
0147１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 00:28:41
アホばっかｗｗｗ
0148１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 00:34:33
確かに、東大入試受験者になったつもりのスレレベルだな
0149麒麟◇nurupo2005/12/17(土) 00:38:59
>>144
(´･ω･)知らんがな
0150１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 01:26:16
pを素数とする。
xに関する2次方程式

px^2+(5-p^2)x-3p=0

が整数解を持つようなpをすべて決定せよ。
0151１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 14:18:34
>>143
正解
0152１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 14:26:50
>>150
p=2
0153中１2005/12/17(土) 14:33:03
関数ｇ(ｘ)が単調増加であることの定義を書け、さらに関数ｇ(ｘ)がその定義を満たす事を(ｂ)を用いて表せ。
0154１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 15:07:50
nを自然数とする。
∫[0,n]log(2^(2^x)+1)dx＜2^(n+1)を証明せよ。
0155１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 16:45:01
>154
log{2^(2^x)+1} = (2^x)log(2) + log{1 + 1/[2^(2^x)]} < (2^x)log(2) + 1/[2^(2^x)].　　(← log(1+y)<y )

I_k ≡ ∫[k-1,k] log{2^(2^x)+1} dx < ∫[k-1,k] { (2^x)log(2) + 1/[2^(2^(k-1))] }dx
　< ∫[k-1,k] { (2^x)log(2) + 1/(2^k) }dx　　　　　　　　　　　　　　(← 2^(k-1)≧k )
　= [ 2^x + x/(2^k) ](x:k→k+1) = 2^(k+1) -2^k + 1/(2^k).
(左辺) = 納k=1,n] I_k < 2^(n+1) - 2 + 1 - 1/(2^n) < 2^(n+1) -1.
0156栄光 ◆Lms90zM1k. 2005/12/17(土) 17:52:27
うわぁ
こういう問題が解けるようにならないと東大へは受からないのか。
大変だな〜〜〜（´・ω・｀）

それにしても面白そうですね。
僕も早く仲間になりたいですよ。
01571552005/12/17(土) 18:07:15
訂正、スマソ。
　= [ 2^x + x/(2^k) ](x:k-1→k) = 2^k -2^(k-1) + 1/(2^k).
(左辺) = 納k=1,n] I_k < 2^n - 1 + 1 - 1/(2^n) < 2^n.

n=1:　　1.317 < 2
n=2:　　3.452 < 2^2
n=3:　　7.476 < 2^3
n=4:　 15.477 < 2^4
n=5:　 31.477 < 2^5
n=6:　 63.477 < 2^6
n=7:　127.477 < 2^7
n=8:　255.477 < 2^8
n=9:　511.477 < 2^9
n=10:1023.477 < 2^10
0158１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 20:36:26
また万独裁事を
0159155,1572005/12/17(土) 22:18:58
>158
　改良しますた。。。
　log(1+y)<y,　2^x > e･log(2)x > x/log(2) より
　log{2^(2^x)+1} = (2^x)log(2) + log{1 + 1/[2^(2^x)]} < (2^x)log(2) + 1/[2^(2^x)] < (2^x)log(2) + e^(-x).

(左辺) = ∫[0,n] log{2^(2^x)+1} dx < ∫[0,n] { (2^x)log(2) + e^(-x) }dx
　= [ 2^x - e^(-x) ](x:0→n) = 2^n -e(-n) < 2^n.
∴　(2^n) -1 < (左辺) < 2^n.
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