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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 09:00:00
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0552１３２人目の素数さん2006/02/19(日) 22:52:48
>>551
http://hw001.gate01.com/akiyoshi/t_pdf/88s.pdf
問6

四面体の場合と同じ発想で解けるけど、若干・・・本当に微妙に若干だけ難易度が上がってる気がする。
0553１３２人目の素数さん2006/02/20(月) 01:20:11
>551
88年度東大理系

第 ６ 問
　空間内の点Ｏに対して，4点Ａ, Ｂ, Ｃ, Ｄを
　　　　ＯＡ＝１, ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝４
をみたすようにとるとき, 四面体ＡＢＣＤの体積を最大値を求めよ.
0554１３２人目の素数さん2006/02/20(月) 01:28:34
>553
3点B,C,D は平面 z=z0 上にあるとする。B,C,Dは半径 R=√(4^2 -z0^2) の「外接円」上を動く。
△BCDの面積をSとおくと、相加相乗平均、凸性、B+C+D=π から
S = 2(R^2)sin(B)sin(C)sin(D) ≦ 2(R^2){[sin(B)+sin(C)+sin(D)]/3}^3
　≦ 2(R^2){sin((B+C+D)/3)}^3 = 2(R^2){sin(π/3)}^3 = {(3√3)/4}(R^2) = {(3√3)/4}(4^2 -z0^2).
　等号成立はB=C=D=π/3、△BCDが正三角形のとき。
Aから△BCDまでの垂線の高さをhとおくと、OA=1 より
　h = |z(A) - z0| ≦ 1 + |z0|.
体積V = (1/3)Sh ≦ {(√3)/4}(4^2 -z0^2)(1+z0) = 9√3 - {(√3)/4}(5+z0)(2-z0)^2 ≦ 9√3.
等号成立は z0=2, z(A)=-1, h=3, R=2√3 のとき。(終)
0555１３２人目の素数さん2006/02/20(月) 01:37:41
>551
　4面体のある面が正3角形でないなら、それより大きい4面体を作ることが可能。
0556１３２人目の素数さん2006/02/20(月) 01:49:49
>>555
たとえば、どんな四面体で体積はいくつになるの？
0557１３２人目の素数さん2006/02/20(月) 10:42:27
質問スレ池
0558１３２人目の素数さん2006/02/20(月) 12:53:11
球に内接する四面体で体積最大になるのは正四面体だろ？
0559１３２人目の素数さん2006/02/20(月) 14:07:12
ある円に内接する三角形の中で面積最大なのは正三角形であることは容易に証明できる
そこから>>555にいたるのは自明
0560１３２人目の素数さん2006/02/20(月) 14:12:27
ただ>>555だけで正四面体のときに最大だと言えるかは疑問だがな
体積最大のものがあるとすれば正四面体以外にありえないとはいえる
0561１３２人目の素数さん2006/02/20(月) 21:59:40
>>555

4面体のある（一つの）面が正3角形でないなら、（その四面体）より大きい四面体を作ることが可能。


4面体のある（一つの）面が正3角形でないなら、（>>551(正四面体)）より大きい四面体を作ることが可能。



後者だと思って読んでしまったorz
0562１３２人目の素数さん2006/02/26(日) 12:12:44
今年の東大の数学ひどすぎる・・・
京大に至っては１時間で全完可能。恐るべし新課程・・
0563１３２人目の素数さん2006/02/26(日) 14:10:41
あれはひどいな。
後期に期待するよ。98年のような問題がいいな。
0564１３２人目の素数さん2006/02/26(日) 14:59:56
東大前期の問題見ましたけど、なんかフツーの問題ばっかりで寂しいっすね。
代ゼミの概評だと第3問とかに「複雑な計算を的確に処理することが要求される」
なんて書いてあるけど、こんなの複雑なうちに入らないって・・・

まあ、後期は、（良い意味で）とんでもない問題を期待。
0565１３２人目の素数さん2006/02/26(日) 18:01:53
予備校が直ぐに解答作れないくらいの問題がいいよね
0566１３２人目の素数さん2006/02/26(日) 18:31:11
>>565
激しく同意！
2chでも誰も解けなくて一番最初に解答出した奴が神になれるという設定で！
0567１３２人目の素数さん2006/02/26(日) 19:21:22
>>565
それ受験の問題として妥当か？
0568１３２人目の素数さん2006/02/26(日) 19:24:03
98年後期の第3問は？予備校は解けたの？
0569１３２人目の素数さん2006/02/26(日) 20:11:11
>>567
大門一個ぐらいならいいべ。　毎年恒例の超難問とか
0570１３２人目の素数さん2006/02/26(日) 20:15:33
>>568
その問題は知らないんだけど。
受験会場より解きやすい状況にある予備校が解けなかったら
受験生は誰も解けなかったんじゃないかな。
「解ける問題か否かを見極める力」を問う問題は受験の趣旨に合わない気がする。

と、ここまで書いて予備校の解答速報ってたまに間違いがあるな、とか
普段から解けずに切る問題あるなぁ、とか思ったけど
せっかく書いたんだから送っちゃえ。（ﾎﾟﾁｯと
0571１３２人目の素数さん2006/02/26(日) 20:23:32
>>570
これ
http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/tokyo-index.html
この解答じゃ不十分な気がするが
0572１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 01:27:40
∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx＞8であることを示せ。
0573１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 01:46:09
複素数Zn(n=1,2,3,…)をZ1(←n=1の意味)＝1、Z(n+1)(←Znのnの部分がn+1の意味)＝(3+4i)*Zn＋1によって定める。
①すべての自然数nについて
(3*5^(n-1))/4＜｜Zn｜＜5^n/4
が成立することを示せ。
②実数r>0に対して、｜Zn｜≦rを満たすZnの個数をf(r)とおく。このとき、
lim[r→∞](f(r)/log(r))
を求めよ。
0574１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 02:00:18
>>572
∫e^x*sin^2(x)dx
=∫e^x*(1-cos2x)/2dx
=e^x/2-(1/2)∫e^xcos2xdx
=e^x/2-(e^x*sin2x)/5-(e^x*cos2x)/10
∴∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx
=(2/5)*(e^π-1)>(2/5)*{(14/5)^3-1}=(2/5)*(2744/125-1)=(2/5)*(2619/125)=5238/625=8.3808
eとπについてどう考えればいいんだ？
0575１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 02:36:10
>>572
∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx=(2/5)*(e^π-1)
また、曲線y=e^xのx=3における接線を考えて、x>3のとき、e^π＞e^3*(π-3)+e^3だから…
0576１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 02:38:00
ﾚｽｱﾝｶｰついたのでもう一度
>>572
∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx=(2/5)*(e^π-1)
また、曲線y=e^xのx=3における接線を考えて、x＞3のとき、e^π＞e^3*(π-3)+e^3だから…
0577１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 03:09:25
２００４某大学過去問数学です　
（１）Xのｎ乗＋Yのｎ乗＝Zのｎ乗　ｎ≧３のとき与式を満たす自然数XYZが存在しないことを証明せよ。
0578１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 03:09:49
>>576
π>3と断定してしまうんならe^π>e^3とした方が早いのでは？
0579１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 03:20:47
と思ったけどe^3だと21より小さいわけかスマン
0580１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 04:08:50
>>577
ムリ。X=Y=Z=1のとき成立する。
0581１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 04:26:34
>>580
２＝１？
0582１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 05:13:29
>>577
どこの大学か　言　っ　て　み　ろ

>>538-541あたりでも出てるがn=4のとき以外は高校の数学過程の範囲内では不可能
nが固定されてて誘導があるならまだしも一般解って何だその嘘
生徒に100枚を超える論文書けってか？阿呆か
0583１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 06:04:35
>>577
うそつき！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
0584１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 09:59:33
相当質の悪いネタなのに、食いつきいいなお前ら。
なんだそのヌクモリティ。
0585１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 13:16:15
これが数学板クオリティ
0586１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 17:59:40
>>577
まずFLTを持ち下げて「某大学過去問」等と発言してることから数学の知識は乏しい
更にX^nと書くのがセオリーなのに対して「Xのｎ乗」と書いてることから数学板の住人では無い

敢えてこう書くことによってかわいさをアピールしてる可能性は低い
では何故FLTを過去問としてこのスレに書いたのか
1：学校等で偶然耳にしたFLTの答えを知りたかった
2：偶然FLTの情報を耳にし、数学板の住人のレベルを確かめようとした（FLTの有名さを知らなかった
3：悪質なネタ

悪質なネタにしても質が悪すぎることから3ではないだろう。いや、そう信じたい
数学板の住人でも無いのにわざわざ数学板まで来て尚且つこのスレに書き込む意図が不明すぎる
よって1か2と思うのだが典型的な房の雰囲気が出ていることから両方が当てはまると思われる
つまり>>577は
学校で先生等に「これ解けるか？」等或いは
無知な先生等に「これどっかの過去問なんだけど」等と言われ、答えを知りたくなった。
そして数学板への書き込みだが、変にプライドが高いせいか質問スレで「教えてください」とは言いたくなかった。
敢えてこのスレに書き込むことで「なんとなく答えが書かれる」ことを望んでいたが結果叩かれた
0587１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 18:11:15
おまえらの食いつき見てると涙出てきた。
このスレも余程ネタ不足なんだな。
俺が自作問題投下してやるよ。

a>1とする。xの方程式a^x=log_a(x)が異なる2つの整数解を持つようなaを求めよ。
0588１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 18:31:02
数学板にいて、かつ数学の知識が低い、スレ汚ししている奴に絞れば、
>>577の正体は、だいたい察しがつく

・ カウント厨
・ 計算厨 （レス番号を数字で書き込む奴）
・ ゆんゆん
・ 数学にロマンを持ったアホ
・ 毎日、数学板にクソスレを立てている奴
0589１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 18:38:11
>>587
a^x=log_a(x)が異なる2つの整数解を持つ⇔a^x=xが異なる2つの整数解を持つ
x>0においてa^x=x⇔a=x^(1/x)である。
ここで
y=x^(1/x)のグラフを考える
y'=(1-logx)x^(1/x-2)より0<x≦eで単調増加、e<xで単調減少
またe<xの範囲でx^(1/x)>1
また2^(1/2)=4^(1/4)=√2
以上のことからm^(1/m)=n^(1/n)となる異なる自然数m,nの組は2と4だけである
∴求めるaの値は√2で2つの整数解はx=2,4
0590１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 20:31:13
3乗のときは確か解けなかったっけ
0591１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 20:44:10
高校数学で解けるのはnが4の倍数のときだけ。
0592１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 21:49:28
3の時に使う高校で習わない知識って何？
0593１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 22:40:11
>>587
どこが自作問題なんだ？
65536年前から頻出だよ。
0594１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 23:03:41
10000年と2000年前から愛してるよ
0595１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 23:21:30
>>573に答えよ。
0596１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 23:47:50
>>574
　π > 3.1333･･･ = 4･0.7 + (1/3) > 4･log(2) + (1/3),
　e^π > (2^4)e^(1/3) > (2^4){1+(1/3)} = 64/3 > 21.
と考える....
0597１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 23:49:56
フィボナッチ数列の一般項を求めよ

受験で特性使ったら減点されるっけ？
0598１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 23:51:52
されるわけ無いじゃん
ただなぜそうなるかを理解せずに
「定石」を適用しているように見える解答は望ましくない
0599１３２人目の素数さん2006/02/27(月) 23:57:46
けど高校の数学課程範囲外でしょ？

漏れが受験の時は先生に
「使ってもいかにも使ってないように見える答案にしろ」と言われたが
0600１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 00:09:38
>>573,595
　|3+4i|=5,　1/(2+4i) = (1-2i)/10 より,
　{Z_(n+1) +(1-2i)/10} = (3+4i){Z_n + (1-2i)/10} = …… = (3+4i)^n･{Z_1 +(1-2i)/10} = (3+4i)^n･{(11-2i)/10}.
0601１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 00:14:09
とりあえず新課程では複素数の絶対値は習わないわけだが
0602１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 00:18:03
>>599
それはあんたが特性方程式の何たるかを理解してないんだよ。
0603１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 00:20:54
>>601
それ本当？
絶対値をやらない複素数なんて何に使えるんだろう。
0604１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 00:29:54
>>603
新課程生だが、習ってない。
まぁ受験勉強としては一応知ってるけど。
0605１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 00:32:35
>>589の
＞a^x=log_a(x)が異なる2つの整数解を持つ⇔a^x=xが異なる2つの整数解を持つ
っていきなり言い切っていいものなのかな
0606１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 00:44:14
>>573
①
α=(3+4i)*α+1とおくと
Zn-α={(3+4i)^(n-1)}*(1-α)
三角不等式
｜Zn｜-｜α｜≦｜Zn-α｜≦｜Zn｜+｜α｜
を用いる。
②
①から
｜Z1｜＜｜Z2｜＜｜Z3｜＜…
f(r)=kとおくと
｜Zk｜≦r＜｜Z(k+1)｜
ゆえに①から
3*5^(k-1)/4＜r＜5^(k+1)/4
r→∞のときk→∞
∴1/log5
0607１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 01:10:16
新課程の複素数の範囲糞簡単杉なんだよな
0608１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 01:48:31
もはやe^π＞21の証明だよね
0609１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 04:59:26
>>605
y=a^xは単調増加だから(p, q), (q, p)がともに
y=a^x上の点となるのはp=qのときに限るってぐらい言ったほうがいいよな。
0610１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 05:10:48
>>592
>>541

こんなスレ見つけた

ttp://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1089214156/l50
ttp://www.casphy.com/bbs/highmath/#R8
0611１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 09:14:00
>>608
「もはや」の使い方がおかしい。
自画自賛乙。
0612１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 09:45:50
>>608
外国人ですか？
0613 ◆xeS.CIM.Jk 2006/02/28(火) 13:11:26
y=x^x^x^…のグラフの概形を書け。
0614１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 13:21:45
>613
ノ ←こんな感じ
0615１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 15:02:12
>>611-612
おかしくないだろ
阿呆ですか？
0616１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 15:10:23
大学受験板のスレですが数学の問題(物理、化学も)を出し合って楽しんでいます
是非一度お越しくださいませ
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1139580462
0617１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 15:40:42
定積分∫[1～∞]dx/√(x^3-x))を求めよ。
0618GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/02/28(火) 15:43:34
talk:>>613 x=e^(1/e)付近でどうするか？
0619 ◆xeS.CIM.Jk 2006/02/28(火) 15:53:23
>618
とりあえず増減表的なものを書ければよしとする方針で。Kingは出来たみたいだな。
0620１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 15:59:08
>>615
くににかえれ！
おまえにも かぞくが いるんだろ （ガイル）
0621GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/02/28(火) 15:59:21
talk:>>613,>>619 xが1未満のとき、xが1より大のとき、xがe^(1/e)のとき収束することもしめさないといけないのか？
0622 ◆xeS.CIM.Jk 2006/02/28(火) 16:06:31
>621
それを示して、かつ微分可能性も調べなければグラフは書けない。1≦x<e^(1/e)で単調増加であることも示す。めんどくさいだろうが。
0623１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:07:29
>>620
新米乙
お前が自分が元居たスレに戻れ
>>611-612>>620は>>608のｱﾝｶがどれかも解らない低能
0624１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:08:36
king久々に見たな
0625１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:13:50
馬鹿二人つまらん争いはやめろ
0626１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:17:07
king俺は今から嘘を言う
しかし二言目に言うことは本当だ
kingはとりあえず生きろ
0627１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:18:27
>>625
馬鹿
0628１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:18:43
だれか608を日本語にしてください
0629１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:20:41
何この必死なスレ？
0630１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:22:05

kingは一生の12分の1を少年として過ごし、3分の1をｷﾓｦﾀﾈﾗｰとして過ごした。
その後9分の1を経て風俗に目覚め10年間通い続けた。
2年後kingは犬を飼い始めたがkingの寿命の12分の1しか生きられなかった。
kingは犬が死んだ6年後に死んだ。

kingの寿命は？
0631１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:25:56
>>628

>>572
∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx＞8　という証明だけど
e^π＞21　の証明がこの問題の難しい所だよね
0632１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:26:37
ディオファントスのking
0633GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/02/28(火) 16:30:26
talk:>>624,>>632 私を呼んだか？
talk:>>626 お前に何が分かるというのか？
talk:>>630 そんなことより、風俗通い10年分の金をくれよ。
0634１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:32:54
>>630
kingの寿命、46歳くらいか？
あと2,3年でしぬじゃん
0635GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/02/28(火) 16:35:19
talk:>>634 お前に何が分かるというのか？
0636１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:36:28
talk:>>633 ｷﾓｦﾀﾈﾗｰは否定しないのか？
0637１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 16:51:01
Ａ，Ｂがじゃんけんをする。
どちらかが勝てば、勝った方が「二人の出ている指の本数の差の絶対値」だけ得点がもらえる。
（グーで勝てばチョキとの指の差は2本なので2点）

じゃんけんを繰り返し、6点獲得すれば勝者となる。
Ｂは3/7の確立でチョキ、2/7の確立でグー、2/7の確立でパーを出す。
Ａがこの勝負に勝つ期待が最も大きくなる時、Ａがグー、チョキ、パーをどのような確立で出した時か。
又、期待が最も小さくなる時も求めよ。
0638１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 17:09:32
exp(π)>exp(3.125)
0639１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 17:17:49
>>67
○確率
×確立
っていうかＡが出すのはＢに対しての期待値で一意に定まらないか？
0640１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 18:49:37
誰か>618出来ませんか？
0641１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 19:24:51
まぁ結局は原点白丸でx=e^(1/e)までの

ノ

こんなグラフ
0642１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 19:30:00
ｘ＝ｙ＾（１／ｙ）。
ｅｘｐ（－１）≦ｙ≦ｅｘｐ（１）。
0643１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 19:37:36
昔
1.4^1.4^1.4・・・て1.4を何回1.4乗すると2を超えるでしょう
とかいう問題出されたな
0644１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 19:42:40
4回
0645１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 19:45:16
3回だった
0646１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 20:17:17
1.4^1.4^1.4…とかいたら普通は
1.4^((1.4^(1.4＾(1.4.........))))のことだけど
0647１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 21:06:14
書き方がマズかった
1.4を何回1.4乗するとって書いたらﾀﾞﾒだね

http://tsb.hp.infoseek.co.jp/cgi-bin/oekaki/189.png
この絵参照
0648１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 21:59:21
>>643
何回やっても2を超えないと思うが
0649１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 22:28:44
>>647
式の意味を…
0650１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 22:36:09
>>649
f(1)=1.4
f(n+1)=1.4^f(n)
ととってあげてくれ
0651１３２人目の素数さん2006/02/28(火) 22:45:47
こんくらい察しろよ＾＾；
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