★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
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0001１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 09:00:00解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0508１３２人目の素数さん
2006/02/07(火) 07:25:561-(4/√5)[{(1+√5)/4}^(n+1)-{(1-√5)/4}^(n+1)]
0509１３２人目の素数さん
2006/02/07(火) 23:52:12同じ大きさのスイカが5つあります。これを6人で分けて食べることになりました。
普通なら１個を1/6してそれを5個とって食べればいいのですが、あんまりかさばる
ようにはしたくない。最低1/4で分けるとした時、どのような分け方がベストか。
0510１３２人目の素数さん
2006/02/08(水) 00:04:23一人分は1/3+1/2
0511１３２人目の素数さん
2006/02/08(水) 00:06:09正解！
0512１３２人目の素数さん
2006/02/08(水) 00:07:320513１３２人目の素数さん
2006/02/08(水) 00:14:04うせろ、おちこぼれ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
0514１３２人目の素数さん
2006/02/10(金) 05:29:37OA↑・OB↑+OB↑・OC↑+OC↑・OA↑の最小値を求めよ。
0515１３２人目の素数さん
2006/02/10(金) 23:44:46その正方形の各頂点に１基ずつミサイルＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄがあります。
今、これらのミサイルが同時に同じ速さで発射されました。
ＡはＢ、ＢはＣ、ＣはＤ、ＤはＡを追うとき、ミサイルのたどる経路の距離は何ｋｍですか。
また、どこで、この４基は命中するでしょうか。
0516１３２人目の素数さん
2006/02/11(土) 00:36:48-1/2. (O方向を極とすると、A,B,Cの天頂角:arccos(2/3)、方位角:0,±2π/3）
0517１３２人目の素数さん
2006/02/11(土) 01:38:25ABCDの中心をOとする。
4つのミサイルの速さは、つねに互いに等しいとする。
すると、4つのミサイルはつねにOを中心とする正方形の各頂点にいる。
Oを中心とする極座標(r,θ) をとり、ミサイルの経路を r=f(θ) とすると
f'(θ)/f(θ) = tanα, α=(3/2)π.
f'(θ) = -f(θ).
f(θ) = r_0･e^(-θ), r_0=500/√2 [km]
これは "対数らせん" である。これはオウムガイの殻などに見られ、その道のりは、
L = ∫[0,∞) √{f(θ)^2 +f '(θ)^2} dθ = (√2)r_0∫[0,∞) e^(-θ) dθ = (√2)r_0 = 500 [km].
http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicSpiral.html
｢数学の問題｣ 第③集, 数ｾﾐ･ﾘｰﾃﾞｨﾝｸﾞｽ, 日本評論社 (1988) No.40
G.ガモフ: ｢数は魔術師｣, 白楊社
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/2607/SPR/SprYume.htm
0518１３２人目の素数さん
2006/02/11(土) 21:52:16(1)OA↑・OB↑+OB↑・OC↑+OC↑・OA↑の最小値を求めよ。
(2)OA↑・OB↑+OB↑・OC↑+OC↑・OA↑が(1)で求めた値となるときの|OA↑|の最大値を求めよ。
0519１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 19:48:39三角形ABCにおいて、BC=a,CA=b,AB=c,唯AC=Aとおくとき
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
が成り立つことを証明せよ
0520１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 19:53:16図法に依らず？
0521１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 19:56:250522１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 21:58:110523１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 23:15:13また、xを、0＜x≦128を満たす整数とするとき、
この関数の最大値とそのときのｘの値を求めよ
0524１３２人目の素数さん
2006/02/13(月) 01:51:23e^(-t)>1-t, log(1-t)<-t.
{log|f(x)|} '= {x･log(1 -1/x)} '= log(1 -1/x) +1/(x-1) = -log{1 +1/(x-1)} +1/(x-1) >0.
∴ f(x) は x>1 で単調増加。
0525１３２人目の素数さん
2006/02/13(月) 11:11:49宿題は質問スレに書け！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
0526１３２人目の素数さん
2006/02/14(火) 08:30:03微積を使わない直感的な説明も可能。
0527１３２人目の素数さん
2006/02/14(火) 16:30:310528１３２人目の素数さん
2006/02/14(火) 16:49:16素朴にやればいいのでは？
この2次方程式の判別式をDとすると，D=(5-p^2)^2+12p^2=p^4+2p^2+25．
2次方程式が整数解を持つとき，判別式の値が平方数となることが必要なので，
mを非負整数として，
p^4+2p^2+25=m^2 ⇔ (p^2+1)^2-m^2=-24 ⇔ (p^2+1+m)(p^2+1-m)=-24
とおける．よって，p^2+1+m≧2^2+1+0=5 を考えて，
(p^2+1-m，p^2+1+m)=(-1，24)，(-2，12)，(-3，8)，(-4，6)．
このうち，条件に適するものは，(p，m)=(2，7)．
逆に，p=2 のとき，(x+2)(2x-3)=0 となり，整数解 x=-2 を解に持つので十分．
∴ p=2・・・答
0529１３２人目の素数さん
2006/02/14(火) 18:15:55必要条件から得られた数値が命題をみたすか実験するのですね。もし実験が命題を満たさなかったら、答えはなしですね。答えがあることを前提にして解くのは背理法の逆なのかなあ。
0530１３２人目の素数さん
2006/02/15(水) 00:37:15今年受けるとしたら偏差値50では100％落ちるし1年や2年でその成績なら青チャートでもやってた方がいい
ここはあくまで遊びの場だと思うよ
0531１３２人目の素数さん
2006/02/15(水) 00:48:48同意なんだが、今更言うことでもないし
高校生がこんなところ来て、遊んでるんだったら
そいつが悪いとしか言いようが無い。
0532１３２人目の素数さん
2006/02/15(水) 00:48:52模試とかじゃないからあまり似てなくても入試には出なさそうでも
適当に難問を集めてるのが大半かと
0533１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 11:36:30もっと難しい問題希望
0534１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 17:32:11http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1139580462
0535１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 20:51:26このとき、点A(t)=(t,0)、 B(t) = (f(t),1＋{f(t)}^2)を考え、
0≦t≦1の時に、線分ABが通過する領域を考える。
この領域の面積の最小値を求めよ。
また、そのときの関数f(t)をひとつ求めよ。
0536１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 20:56:24類題を見たことがあるな。
0537１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 21:25:290538１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 21:38:19又、あるべきnについて解が無い時そのいかなる倍数のべきについても解が無いことを示せ
0539１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 22:25:42昔本で証明見たな・・・
XYZが最小になる（X,Y,Z）の組に１でない公約数が存在する背理法だったと
思う。４のときはX＾４＋Y＾４＝Z＾２で証明する。
0540１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 22:28:160541１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 23:24:06n=4の場合
http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/fermat_th4.pdf
n=3の場合
http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/fermat_th3.pdf
少なくてもn=3の場合は高校の範囲外だと思う。
0542１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 00:40:430543１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 01:31:40一橋の過去問
0544１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 03:33:17又その時の四面体の体積を求めよ
0545１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 09:43:46それに似ていて、より難しい問題が過去問で出てた。
0546１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 16:28:01なぜ。
0547１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 17:49:21細かい証明は他の誰かに頼んでくれ。 俺はイヤダ。
線分A(0)B(0)とA(1)B(1)が端点以外で交わらないケース。
線分A(0)B(0)とA(1)B(1)が端点以外で交わるケース。
の二つに分けて考える。
前者はほぼ明らかに最小値が求まる。
後者は交点をCとおいて、△A(0)CA(1)と三角形っぽいB(0)CB(1)の面積について考察する。
0548１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 17:54:260549１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 21:52:020550１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 22:23:17はみだしけずり
0551１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 22:44:31どんな問題？
単位球に内接する正四面体の体積はそれなりに知られてるけど
体積が最大になるとき正四面体になることを証明って結構発想力使うと思うが
0552１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 22:52:48http://hw001.gate01.com/akiyoshi/t_pdf/88s.pdf
問6
四面体の場合と同じ発想で解けるけど、若干・・・本当に微妙に若干だけ難易度が上がってる気がする。
0553１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 01:20:1188年度東大理系
第 ６ 問
空間内の点Ｏに対して，4点Ａ, Ｂ, Ｃ, Ｄを
ＯＡ＝１, ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝４
をみたすようにとるとき, 四面体ＡＢＣＤの体積を最大値を求めよ.
0554１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 01:28:343点B,C,D は平面 z=z0 上にあるとする。B,C,Dは半径 R=√(4^2 -z0^2) の「外接円」上を動く。
△BCDの面積をSとおくと、相加相乗平均、凸性、B+C+D=π から
S = 2(R^2)sin(B)sin(C)sin(D) ≦ 2(R^2){[sin(B)+sin(C)+sin(D)]/3}^3
≦ 2(R^2){sin((B+C+D)/3)}^3 = 2(R^2){sin(π/3)}^3 = {(3√3)/4}(R^2) = {(3√3)/4}(4^2 -z0^2).
等号成立はB=C=D=π/3、△BCDが正三角形のとき。
Aから△BCDまでの垂線の高さをhとおくと、OA=1 より
h = |z(A) - z0| ≦ 1 + |z0|.
体積V = (1/3)Sh ≦ {(√3)/4}(4^2 -z0^2)(1+z0) = 9√3 - {(√3)/4}(5+z0)(2-z0)^2 ≦ 9√3.
等号成立は z0=2, z(A)=-1, h=3, R=2√3 のとき。(終)
0555１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 01:37:414面体のある面が正3角形でないなら、それより大きい4面体を作ることが可能。
0556１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 01:49:49たとえば、どんな四面体で体積はいくつになるの？
0557１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 10:42:270558１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 12:53:110559１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 14:07:12そこから>>555にいたるのは自明
0560１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 14:12:27体積最大のものがあるとすれば正四面体以外にありえないとはいえる
0561１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 21:59:404面体のある（一つの）面が正3角形でないなら、（その四面体）より大きい四面体を作ることが可能。
4面体のある（一つの）面が正3角形でないなら、（>>551(正四面体)）より大きい四面体を作ることが可能。
後者だと思って読んでしまったorz
0562１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 12:12:44京大に至っては１時間で全完可能。恐るべし新課程・・
0563１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 14:10:41後期に期待するよ。98年のような問題がいいな。
0564１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 14:59:56代ゼミの概評だと第3問とかに「複雑な計算を的確に処理することが要求される」
なんて書いてあるけど、こんなの複雑なうちに入らないって・・・
まあ、後期は、（良い意味で）とんでもない問題を期待。
0565１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 18:01:530566１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 18:31:11激しく同意！
2chでも誰も解けなくて一番最初に解答出した奴が神になれるという設定で！
0567１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 19:21:22それ受験の問題として妥当か？
0568１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 19:24:030569１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 20:11:11大門一個ぐらいならいいべ。 毎年恒例の超難問とか
0570１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 20:15:33その問題は知らないんだけど。
受験会場より解きやすい状況にある予備校が解けなかったら
受験生は誰も解けなかったんじゃないかな。
「解ける問題か否かを見極める力」を問う問題は受験の趣旨に合わない気がする。
と、ここまで書いて予備校の解答速報ってたまに間違いがあるな、とか
普段から解けずに切る問題あるなぁ、とか思ったけど
せっかく書いたんだから送っちゃえ。（ﾎﾟﾁｯと
0571１３２人目の素数さん
2006/02/26(日) 20:23:32これ
http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/98/tokyo-index.html
この解答じゃ不十分な気がするが
0572１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 01:27:400573１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 01:46:09①すべての自然数nについて
(3*5^(n-1))/4＜｜Zn｜＜5^n/4
が成立することを示せ。
②実数r>0に対して、｜Zn｜≦rを満たすZnの個数をf(r)とおく。このとき、
lim[r→∞](f(r)/log(r))
を求めよ。
0574１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 02:00:18∫e^x*sin^2(x)dx
=∫e^x*(1-cos2x)/2dx
=e^x/2-(1/2)∫e^xcos2xdx
=e^x/2-(e^x*sin2x)/5-(e^x*cos2x)/10
∴∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx
=(2/5)*(e^π-1)>(2/5)*{(14/5)^3-1}=(2/5)*(2744/125-1)=(2/5)*(2619/125)=5238/625=8.3808
eとπについてどう考えればいいんだ？
0575１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 02:36:10∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx=(2/5)*(e^π-1)
また、曲線y=e^xのx=3における接線を考えて、x>3のとき、e^π＞e^3*(π-3)+e^3だから…
0576１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 02:38:00>>572
∫[0,π]e^x*sin^2(x)dx=(2/5)*(e^π-1)
また、曲線y=e^xのx=3における接線を考えて、x＞3のとき、e^π＞e^3*(π-3)+e^3だから…
0577１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 03:09:25（１）Xのｎ乗＋Yのｎ乗＝Zのｎ乗 ｎ≧３のとき与式を満たす自然数XYZが存在しないことを証明せよ。
0578１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 03:09:49π>3と断定してしまうんならe^π>e^3とした方が早いのでは？
0579１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 03:20:470580１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 04:08:50ムリ。X=Y=Z=1のとき成立する。
0581１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 04:26:34２＝１？
0582１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 05:13:29どこの大学か 言 っ て み ろ
>>538-541あたりでも出てるがn=4のとき以外は高校の数学過程の範囲内では不可能
nが固定されてて誘導があるならまだしも一般解って何だその嘘
生徒に100枚を超える論文書けってか？阿呆か
0583１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 06:04:35うそつき！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
0584１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 09:59:33なんだそのヌクモリティ。
0585１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 13:16:150586１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 17:59:40まずFLTを持ち下げて「某大学過去問」等と発言してることから数学の知識は乏しい
更にX^nと書くのがセオリーなのに対して「Xのｎ乗」と書いてることから数学板の住人では無い
敢えてこう書くことによってかわいさをアピールしてる可能性は低い
では何故FLTを過去問としてこのスレに書いたのか
1：学校等で偶然耳にしたFLTの答えを知りたかった
2：偶然FLTの情報を耳にし、数学板の住人のレベルを確かめようとした（FLTの有名さを知らなかった
3：悪質なネタ
悪質なネタにしても質が悪すぎることから3ではないだろう。いや、そう信じたい
数学板の住人でも無いのにわざわざ数学板まで来て尚且つこのスレに書き込む意図が不明すぎる
よって1か2と思うのだが典型的な房の雰囲気が出ていることから両方が当てはまると思われる
つまり>>577は
学校で先生等に「これ解けるか？」等或いは
無知な先生等に「これどっかの過去問なんだけど」等と言われ、答えを知りたくなった。
そして数学板への書き込みだが、変にプライドが高いせいか質問スレで「教えてください」とは言いたくなかった。
敢えてこのスレに書き込むことで「なんとなく答えが書かれる」ことを望んでいたが結果叩かれた
0587１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 18:11:15このスレも余程ネタ不足なんだな。
俺が自作問題投下してやるよ。
a>1とする。xの方程式a^x=log_a(x)が異なる2つの整数解を持つようなaを求めよ。
0588１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 18:31:02>>577の正体は、だいたい察しがつく
・ カウント厨
・ 計算厨 （レス番号を数字で書き込む奴）
・ ゆんゆん
・ 数学にロマンを持ったアホ
・ 毎日、数学板にクソスレを立てている奴
0589１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 18:38:11a^x=log_a(x)が異なる2つの整数解を持つ⇔a^x=xが異なる2つの整数解を持つ
x>0においてa^x=x⇔a=x^(1/x)である。
ここで
y=x^(1/x)のグラフを考える
y'=(1-logx)x^(1/x-2)より0<x≦eで単調増加、e<xで単調減少
またe<xの範囲でx^(1/x)>1
また2^(1/2)=4^(1/4)=√2
以上のことからm^(1/m)=n^(1/n)となる異なる自然数m,nの組は2と4だけである
∴求めるaの値は√2で2つの整数解はx=2,4
0590１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 20:31:130591１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 20:44:100592１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 21:49:280593１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 22:40:11どこが自作問題なんだ？
65536年前から頻出だよ。
0594１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 23:03:410595１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 23:21:300596１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 23:47:50π > 3.1333･･･ = 4･0.7 + (1/3) > 4･log(2) + (1/3),
e^π > (2^4)e^(1/3) > (2^4){1+(1/3)} = 64/3 > 21.
と考える....
0597１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 23:49:56受験で特性使ったら減点されるっけ？
0598１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 23:51:52ただなぜそうなるかを理解せずに
「定石」を適用しているように見える解答は望ましくない
0599１３２人目の素数さん
2006/02/27(月) 23:57:46漏れが受験の時は先生に
「使ってもいかにも使ってないように見える答案にしろ」と言われたが
0600１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 00:09:38|3+4i|=5, 1/(2+4i) = (1-2i)/10 より,
{Z_(n+1) +(1-2i)/10} = (3+4i){Z_n + (1-2i)/10} = …… = (3+4i)^n･{Z_1 +(1-2i)/10} = (3+4i)^n･{(11-2i)/10}.
0601１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 00:14:090602１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 00:18:03それはあんたが特性方程式の何たるかを理解してないんだよ。
0603１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 00:20:54それ本当？
絶対値をやらない複素数なんて何に使えるんだろう。
0604１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 00:29:54新課程生だが、習ってない。
まぁ受験勉強としては一応知ってるけど。
0605１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 00:32:35＞a^x=log_a(x)が異なる2つの整数解を持つ⇔a^x=xが異なる2つの整数解を持つ
っていきなり言い切っていいものなのかな
0606１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 00:44:14①
α=(3+4i)*α+1とおくと
Zn-α={(3+4i)^(n-1)}*(1-α)
三角不等式
｜Zn｜-｜α｜≦｜Zn-α｜≦｜Zn｜+｜α｜
を用いる。
②
①から
｜Z1｜＜｜Z2｜＜｜Z3｜＜…
f(r)=kとおくと
｜Zk｜≦r＜｜Z(k+1)｜
ゆえに①から
3*5^(k-1)/4＜r＜5^(k+1)/4
r→∞のときk→∞
∴1/log5
0607１３２人目の素数さん
2006/02/28(火) 01:10:16■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています