★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
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0001１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 09:00:00解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0459１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 14:47:05暇だったから学校で作った。
中学数学だけで十分だお。
0460１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 14:52:00過去レス見てるとかなり間隔があいてる・・
どうしよう。
0461１３２人目の素数さん
2006/01/26(木) 22:28:08【問題】
0でない相異なる実数a,b,cについて，
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=bx^2+cx+a
h(x)=cx^2+ax+b
とする．
(1)y=f(x)，y=g(x)，y=h(x)は全て異なる2点で交わることを示せ．
以下，y=f(x)とy=g(x)との交点のx座標をα[1]，α[2]，y=g(x)と
y=h(x)との交点のx座標をβ[1]，β[2]，y=h(x)とy=f(x)との交点
のx座標をγ[1]，γ[2]とする（ただし，α[1]<α[2]，β[1]<β[2]，
γ[1]<γ[2]）．
(2)α[1]=β[1]=γ[1]かつα[2]=β[2]=γ[2]とはならないことを示せ．
(3)α[1]=β[1]=γ[1]またはα[2]=β[2]=γ[2]となるための必要十分
条件を求めよ．
0462 ◆xeS.CIM.Jk
2006/01/27(金) 01:18:28簡単？
0463１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 01:46:56(a,b,c)=(2,1,3)でf(x)とg(x)は接する。
0464１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 02:00:49多項式の次数を1以上としないと自明な反例（定数関数）があるよ。
ということで、次数は1以上としておく。
f(1)＝p（素数）とすると、f(1＋kp)はpの倍数なので、
k＝1,2,3,...のときf(1＋kp)が素数だとしたら、pでなければならない。
つまり、f(1)=f(1＋p)=f(1＋2p)=f(1＋3p)=･･･=pでないとダメ。
しかしこれは1次以上の多項式では成立しえない。
（なぜなら、代数方程式の解の個数は有限！）
0465１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 04:18:570466１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 04:48:10> f(1)＝p（素数）とすると、f(1＋kp)はpの倍数なので、
もっと詳しく！
0467１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 04:52:592項定理によって
(1+kp)^m＝1＋(pの倍数)
したがって多項式の場合
f(1＋kp)＝f(1)＋(pの倍数)＝(pの倍数)
となる。（f(1)＝pという仮定に注意）
0468１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 06:04:190469 ◆xeS.CIM.Jk
2006/01/27(金) 12:52:15また暇なとき投下します
0470 ◆xeS.CIM.Jk
2006/01/27(金) 12:59:57これら5つの三角形がその内部(周上を含む)にあるような円の半径の最小値を求めよ。
0471１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 13:49:01Cが,互いに直交する2本の接線をもつための,p,q,rの満たすべき条件を求めよ。
0472１３２人目の素数さん
2006/01/27(金) 18:36:51(1)は取り消ししてくれ。
【問題・訂】
0でない相異なる実数a,b,cについて，
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=bx^2+cx+a
h(x)=cx^2+ax+b
とする．
y=f(x)，y=g(x)，y=h(x)は全て異なる2点で交わることとし，
以下，y=f(x)とy=g(x)との交点のx座標をα[1]，α[2]，y=g(x)と
y=h(x)との交点のx座標をβ[1]，β[2]，y=h(x)とy=f(x)との交点
のx座標をγ[1]，γ[2]とする（ただし，α[1]<α[2]，β[1]<β[2]，
γ[1]<γ[2]）．
(1)α[1]=β[1]=γ[1]かつα[2]=β[2]=γ[2]とはならないことを示せ．
(2)α[1]=β[1]=γ[1]またはα[2]=β[2]=γ[2]となるための必要十分
条件を求めよ．
これならいける希ガス
0473１３２人目の素数さん
2006/01/28(土) 00:55:40導函数 y = 3x^2 +2px +q が負の値をもつ。
0474１３２人目の素数さん
2006/01/28(土) 05:24:55導函数 y = 3{x +(1/3)p}^2 -(1/3)p^2 +q が負の値をもつ。
0475１３２人目の素数さん
2006/01/28(土) 18:07:43最小値 -(1/3)p^2 +q が負の値をもつ。
0476１３２人目の素数さん
2006/01/28(土) 21:54:46a<c, b<c だから ∠A と∠B は鋭角である。
Cから対辺ABに垂線CHを下ろしその長さ（つまり高さ）を h としよう。
√(a^2-h^2) + √(b^2-h^2) = AH + HB = AB = c
両辺を2乗すると色んな項が出てくる。
√のない項は右辺に移項して、もう一度2乗しよう。
これで √ は無くなった。めでたいな。
整理するとh^4 の項は相殺するから h^2 の1次式になる。あとはこれを解くだけ。
△ABC = ch/2 = (1/4)√{(a^2+b^2-c^2)^2 - (2ab)^2}
= (1/4)√{(a^2 +b^2 +2ab -c^2)(a^2 +b^2 -2ab -c^2)}
= (1/4)√{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}.
∩(・ω・)∩ばんじゃーい。
[参考文献]
M.Baker: Ann.Math.,１, p.134-138 (1884).
"A collection of formula for the area of a plane triangle."
0477１３２人目の素数さん
2006/01/29(日) 00:17:17L > π/(n+1) ≧ ∫[x=0,L] 2√(1-x^2)dx = [ L√(1-L^2) + arcsin(L) ] = 2L + O(L^3).
L = π/(2(n+1)) + O(1/n^3)
√(1-x^2) = √(2(1-x)) + O((1-x)^(3/2))
S(d) = ∫[x=1-d,1] √(1-x^2) dx = ∫[x=1-d,1] { √(2(1-x)) +O((1-x)^(3/2)) } dx
= (1/3)(2d)^(3/2) + O(d^(5/2)).
S(d1)=π/(n+1) とすると d1 = (1/2){3π/(n+1)}^(2/3) + O(1/n^(4/3)),
S(d2)=2π/(n+1) とすると d2 = (1/2){6π/(n+1)}^(2/3) + O(1/n^(4/3)).
K = d2 -d1 = (1/2){3π/(n+1)}^(2/3){2^(2/3) -1} + O(1/n^(4/3)),
よって
(K^3)/(L^2) → (9/2){2^(2/3) -1}^3 (n→∞)
かな？
0478１３２人目の素数さん
2006/01/29(日) 12:02:30教科書において a^(p/q)＝[q] √(a^p) と定義した理由を述べよ。
（ただし右辺は通常の教科書の定義とする）
また、教科書が a＜0 の場合には触れていない理由を考察せよ
0479477
2006/01/29(日) 21:50:42S(d) = 2∫[x=1-d,1] √(1-x^2) dx = 2∫[x=1-d,1] { √(2(1-x)) +O((1-x)^(3/2)) } dx
= (2/3)(2d)^(3/2) + O(d^(5/2)).
S(d1)=π/(n+1) とすると d1 = (1/2){3π/2(n+1)}^(2/3) + O(1/n^(4/3)),
S(d2)=2π/(n+1) とすると d2 = (1/2){3π/(n+1)}^(2/3) + O(1/n^(4/3)).
K = d2 -d1 = (1/2){3π/2(n+1)}^(2/3){2^(2/3) -1} + O(1/n^(4/3)),
よって
(K^3)/(L^2) → (9/8){2^(2/3) -1}^3 = 0.228011463602279… (n→∞)
だったな
0480１３２人目の素数さん
2006/01/30(月) 00:28:510481１３２人目の素数さん
2006/01/30(月) 18:08:06[i]nが奇数のとき，a[n] a[n+1] a[n+2]は等差数列となる
[ii]nが偶数のとき，a[n] a[n+1] a[n+2]は等比数列となる
[iii]a[1]=1
このようなもので，lim[n→∞]a[k]が収束するためのa[2]の条件を求めよ．
0482１３２人目の素数さん
2006/01/30(月) 18:09:05訂正。
数列a[n]を次のようなものを満たす．
[i]nが奇数のとき，a[n] a[n+1] a[n+2]は等差数列となる
[ii]nが偶数のとき，a[n] a[n+1] a[n+2]は等比数列となる
[iii]a[1]=1
このようなもので，lim[n→∞]a[n]が収束するためのa[2]の条件を求めよ．
の間違いですた。
0483１３２人目の素数さん
2006/01/30(月) 18:10:120484１３２人目の素数さん
2006/01/30(月) 19:12:230485１３２人目の素数さん
2006/01/30(月) 19:17:44nが偶数ならば、(a[n+1])^2=a[n]a[n+2]
0486１３２人目の素数さん
2006/01/30(月) 20:14:24内接円の半径も自然数であることを示せ
(2)a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,c(a<b)の組は、自然数ｎを用いて、
a=p+2n,b=q+2n,c=p+q+2nの形で書き尽くされることを示せ
ただし、p,qは2n^2=pq,p<qを満たす自然数であるものとする
0487１３２人目の素数さん
2006/01/30(月) 22:29:51それそれ、その条件であってます。
0488１３２人目の素数さん
2006/01/30(月) 23:51:19(1) 直辺を a,b 斜辺を c とすると、内接円の半径r = 2(面積)/(周長) = ab/(a+b+c)
これに(2) を代入する。 pq=2n^2 から
r = (p+2n)(q+2n)/(2p+2q+6n) = n.
0489１３２人目の素数さん
2006/01/31(火) 00:03:55a[{-b-(b^2-4ac)^(1/2)}/2]^2+b[{-b-(b^2-4ac)^(1/2)}/2}]+c
の値を求めよ。センター向きかな。。。
0490488
2006/01/31(火) 00:11:35(2) 補題↓で、d(v-u)^2 =p, d(2u^2) =q, du(v-u)=n とおけば得られる。
〔補題〕(Diophantus)
題意のとき、(a,b,c) = (d(v^2-u^2), 2duv, d(v^2+u^2)) と表わせる。ここに d,u<v は自然数。
(略証)
a,b,c の2つが公約数をもてば他の1つもそれを約数にもつ。
a/d=a', b/d=b', c/d=c' (dはa,b,cの最大公約数) とおけば a',b',c'は互いに素である。
x^2≡0,1 (mod 4) より、c' は奇数である。a',b'の一方は奇数、他方は偶数である。
いま、a'を奇数、b'を偶数としてもよい。
(b')^2 = (c')^2 -(a')^2 = (c'+a')(c'-a') …… (*).
(c'+a')/2 と (c'-a')/2 が1以外の公約数をもてば a',c' もそれを公約数にもつ（矛盾).
(*) の左辺は平方数であるので、c'+a'=2v^2 ,c'-a'=2u^2 (v>u:自然数) とおける。
(a',b',c') = (v^2-u^2, 2uv, v^2+u^2) (終)
http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html
0491486
2006/01/31(火) 18:26:11解いてくれてありがとうございます。
プラスαもつけていただき、かなり参考になりましたm(_ _)m
自分が知らないことがたくさんありました‥
0492１３２人目の素数さん
2006/02/05(日) 08:31:120493１３２人目の素数さん
2006/02/05(日) 23:15:24両端が第一象限上にある長さLの線分が、この円と共有点を持たないように動きながら
円のまわりを一周する。このようなことが可能なa,b,r,Lの満たすべき条件を求めよ。
0494１３２人目の素数さん
2006/02/05(日) 23:15:512(x+2)-1/x+2がどうやって、-1+2/x+2になるんでしょうか？
教えてください～
0495１３２人目の素数さん
2006/02/05(日) 23:21:25括弧使って。
さらに多分そうはならない。
0496１３２人目の素数さん
2006/02/05(日) 23:25:21マルチ
0497１３２人目の素数さん
2006/02/06(月) 00:35:34但し、
①部分点はあまり考慮しない。
②亜種の証明はだめよ
③逆の証明をすれば合否通知に「氏ね」と送ります。
④証明できた数をnとするとき、この設問における配点はa_1=1,a_2=1のフィボナッチ数列に依るa_nで与える。
0498１３２人目の素数さん
2006/02/06(月) 00:37:17一瞬、意図が分からなくなる問題だな。
よーは、たくさんのやり方で三平方の定理を示せって言うことか。
何を持って「亜種」とするのかの解釈が分かれそうだが……
0499497です
2006/02/06(月) 01:00:34そーいえば
円周率なんたらって問題も、俺が消防の頃の教科書にのってた記憶がある
0500１３２人目の素数さん
2006/02/06(月) 04:13:08http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1138008996
0501１３２人目の素数さん
2006/02/06(月) 17:09:20大した事はない。
0502１３２人目の素数さん
2006/02/06(月) 20:19:56半径√2の球Cがあり、Cは以下の条件を満たしながら動く。
条件：一辺の長さ√2の正方形をある空間内に固定して、Cは常にこの正方形を内部に含む。
このときCの中心Oの動く領域の体積を求めよ。
これは高校範囲で解答可能か検証頼む
0503１３２人目の素数さん
2006/02/06(月) 20:55:200504１３２人目の素数さん
2006/02/06(月) 22:49:00リトルチンチンって知ってる？
0505１３２人目の素数さん
2006/02/06(月) 23:29:170506１３２人目の素数さん
2006/02/07(火) 00:12:440507１３２人目の素数さん
2006/02/07(火) 03:56:48表または裏が少なくとも3枚連続する確率p_nを求めよ
0508１３２人目の素数さん
2006/02/07(火) 07:25:561-(4/√5)[{(1+√5)/4}^(n+1)-{(1-√5)/4}^(n+1)]
0509１３２人目の素数さん
2006/02/07(火) 23:52:12同じ大きさのスイカが5つあります。これを6人で分けて食べることになりました。
普通なら１個を1/6してそれを5個とって食べればいいのですが、あんまりかさばる
ようにはしたくない。最低1/4で分けるとした時、どのような分け方がベストか。
0510１３２人目の素数さん
2006/02/08(水) 00:04:23一人分は1/3+1/2
0511１３２人目の素数さん
2006/02/08(水) 00:06:09正解！
0512１３２人目の素数さん
2006/02/08(水) 00:07:320513１３２人目の素数さん
2006/02/08(水) 00:14:04うせろ、おちこぼれ！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
0514１３２人目の素数さん
2006/02/10(金) 05:29:37OA↑・OB↑+OB↑・OC↑+OC↑・OA↑の最小値を求めよ。
0515１３２人目の素数さん
2006/02/10(金) 23:44:46その正方形の各頂点に１基ずつミサイルＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄがあります。
今、これらのミサイルが同時に同じ速さで発射されました。
ＡはＢ、ＢはＣ、ＣはＤ、ＤはＡを追うとき、ミサイルのたどる経路の距離は何ｋｍですか。
また、どこで、この４基は命中するでしょうか。
0516１３２人目の素数さん
2006/02/11(土) 00:36:48-1/2. (O方向を極とすると、A,B,Cの天頂角:arccos(2/3)、方位角:0,±2π/3）
0517１３２人目の素数さん
2006/02/11(土) 01:38:25ABCDの中心をOとする。
4つのミサイルの速さは、つねに互いに等しいとする。
すると、4つのミサイルはつねにOを中心とする正方形の各頂点にいる。
Oを中心とする極座標(r,θ) をとり、ミサイルの経路を r=f(θ) とすると
f'(θ)/f(θ) = tanα, α=(3/2)π.
f'(θ) = -f(θ).
f(θ) = r_0･e^(-θ), r_0=500/√2 [km]
これは "対数らせん" である。これはオウムガイの殻などに見られ、その道のりは、
L = ∫[0,∞) √{f(θ)^2 +f '(θ)^2} dθ = (√2)r_0∫[0,∞) e^(-θ) dθ = (√2)r_0 = 500 [km].
http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicSpiral.html
｢数学の問題｣ 第③集, 数ｾﾐ･ﾘｰﾃﾞｨﾝｸﾞｽ, 日本評論社 (1988) No.40
G.ガモフ: ｢数は魔術師｣, 白楊社
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/2607/SPR/SprYume.htm
0518１３２人目の素数さん
2006/02/11(土) 21:52:16(1)OA↑・OB↑+OB↑・OC↑+OC↑・OA↑の最小値を求めよ。
(2)OA↑・OB↑+OB↑・OC↑+OC↑・OA↑が(1)で求めた値となるときの|OA↑|の最大値を求めよ。
0519１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 19:48:39三角形ABCにおいて、BC=a,CA=b,AB=c,唯AC=Aとおくとき
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
が成り立つことを証明せよ
0520１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 19:53:16図法に依らず？
0521１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 19:56:250522１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 21:58:110523１３２人目の素数さん
2006/02/12(日) 23:15:13また、xを、0＜x≦128を満たす整数とするとき、
この関数の最大値とそのときのｘの値を求めよ
0524１３２人目の素数さん
2006/02/13(月) 01:51:23e^(-t)>1-t, log(1-t)<-t.
{log|f(x)|} '= {x･log(1 -1/x)} '= log(1 -1/x) +1/(x-1) = -log{1 +1/(x-1)} +1/(x-1) >0.
∴ f(x) は x>1 で単調増加。
0525１３２人目の素数さん
2006/02/13(月) 11:11:49宿題は質問スレに書け！ (ﾟДﾟ)≡ﾟдﾟ)、ｶｧｰ ﾍﾟｯ!!
0526１３２人目の素数さん
2006/02/14(火) 08:30:03微積を使わない直感的な説明も可能。
0527１３２人目の素数さん
2006/02/14(火) 16:30:310528１３２人目の素数さん
2006/02/14(火) 16:49:16素朴にやればいいのでは？
この2次方程式の判別式をDとすると，D=(5-p^2)^2+12p^2=p^4+2p^2+25．
2次方程式が整数解を持つとき，判別式の値が平方数となることが必要なので，
mを非負整数として，
p^4+2p^2+25=m^2 ⇔ (p^2+1)^2-m^2=-24 ⇔ (p^2+1+m)(p^2+1-m)=-24
とおける．よって，p^2+1+m≧2^2+1+0=5 を考えて，
(p^2+1-m，p^2+1+m)=(-1，24)，(-2，12)，(-3，8)，(-4，6)．
このうち，条件に適するものは，(p，m)=(2，7)．
逆に，p=2 のとき，(x+2)(2x-3)=0 となり，整数解 x=-2 を解に持つので十分．
∴ p=2・・・答
0529１３２人目の素数さん
2006/02/14(火) 18:15:55必要条件から得られた数値が命題をみたすか実験するのですね。もし実験が命題を満たさなかったら、答えはなしですね。答えがあることを前提にして解くのは背理法の逆なのかなあ。
0530１３２人目の素数さん
2006/02/15(水) 00:37:15今年受けるとしたら偏差値50では100％落ちるし1年や2年でその成績なら青チャートでもやってた方がいい
ここはあくまで遊びの場だと思うよ
0531１３２人目の素数さん
2006/02/15(水) 00:48:48同意なんだが、今更言うことでもないし
高校生がこんなところ来て、遊んでるんだったら
そいつが悪いとしか言いようが無い。
0532１３２人目の素数さん
2006/02/15(水) 00:48:52模試とかじゃないからあまり似てなくても入試には出なさそうでも
適当に難問を集めてるのが大半かと
0533１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 11:36:30もっと難しい問題希望
0534１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 17:32:11http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1139580462
0535１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 20:51:26このとき、点A(t)=(t,0)、 B(t) = (f(t),1＋{f(t)}^2)を考え、
0≦t≦1の時に、線分ABが通過する領域を考える。
この領域の面積の最小値を求めよ。
また、そのときの関数f(t)をひとつ求めよ。
0536１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 20:56:24類題を見たことがあるな。
0537１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 21:25:290538１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 21:38:19又、あるべきnについて解が無い時そのいかなる倍数のべきについても解が無いことを示せ
0539１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 22:25:42昔本で証明見たな・・・
XYZが最小になる（X,Y,Z）の組に１でない公約数が存在する背理法だったと
思う。４のときはX＾４＋Y＾４＝Z＾２で証明する。
0540１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 22:28:160541１３２人目の素数さん
2006/02/18(土) 23:24:06n=4の場合
http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/fermat_th4.pdf
n=3の場合
http://www1.ocn.ne.jp/~yoshiiz/pdf/fermat_th3.pdf
少なくてもn=3の場合は高校の範囲外だと思う。
0542１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 00:40:430543１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 01:31:40一橋の過去問
0544１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 03:33:17又その時の四面体の体積を求めよ
0545１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 09:43:46それに似ていて、より難しい問題が過去問で出てた。
0546１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 16:28:01なぜ。
0547１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 17:49:21細かい証明は他の誰かに頼んでくれ。 俺はイヤダ。
線分A(0)B(0)とA(1)B(1)が端点以外で交わらないケース。
線分A(0)B(0)とA(1)B(1)が端点以外で交わるケース。
の二つに分けて考える。
前者はほぼ明らかに最小値が求まる。
後者は交点をCとおいて、△A(0)CA(1)と三角形っぽいB(0)CB(1)の面積について考察する。
0548１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 17:54:260549１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 21:52:020550１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 22:23:17はみだしけずり
0551１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 22:44:31どんな問題？
単位球に内接する正四面体の体積はそれなりに知られてるけど
体積が最大になるとき正四面体になることを証明って結構発想力使うと思うが
0552１３２人目の素数さん
2006/02/19(日) 22:52:48http://hw001.gate01.com/akiyoshi/t_pdf/88s.pdf
問6
四面体の場合と同じ発想で解けるけど、若干・・・本当に微妙に若干だけ難易度が上がってる気がする。
0553１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 01:20:1188年度東大理系
第 ６ 問
空間内の点Ｏに対して，4点Ａ, Ｂ, Ｃ, Ｄを
ＯＡ＝１, ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ＝４
をみたすようにとるとき, 四面体ＡＢＣＤの体積を最大値を求めよ.
0554１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 01:28:343点B,C,D は平面 z=z0 上にあるとする。B,C,Dは半径 R=√(4^2 -z0^2) の「外接円」上を動く。
△BCDの面積をSとおくと、相加相乗平均、凸性、B+C+D=π から
S = 2(R^2)sin(B)sin(C)sin(D) ≦ 2(R^2){[sin(B)+sin(C)+sin(D)]/3}^3
≦ 2(R^2){sin((B+C+D)/3)}^3 = 2(R^2){sin(π/3)}^3 = {(3√3)/4}(R^2) = {(3√3)/4}(4^2 -z0^2).
等号成立はB=C=D=π/3、△BCDが正三角形のとき。
Aから△BCDまでの垂線の高さをhとおくと、OA=1 より
h = |z(A) - z0| ≦ 1 + |z0|.
体積V = (1/3)Sh ≦ {(√3)/4}(4^2 -z0^2)(1+z0) = 9√3 - {(√3)/4}(5+z0)(2-z0)^2 ≦ 9√3.
等号成立は z0=2, z(A)=-1, h=3, R=2√3 のとき。(終)
0555１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 01:37:414面体のある面が正3角形でないなら、それより大きい4面体を作ることが可能。
0556１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 01:49:49たとえば、どんな四面体で体積はいくつになるの？
0557１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 10:42:270558１３２人目の素数さん
2006/02/20(月) 12:53:11■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています