>>429
√x, √(x+1), √(x+2)が全て有理数であるような実数xがあったとする。
仮定より、互いに素な自然数a,bを使って　√(x+1)=b/a　と書ける
x=(b^2-a^2)/a^2　x+2=(b^2+a^2)/a^2　についても、仮定より
b^2-a^2=c^2　b^2+a^2=d^2　となる自然数c,dがある。
a,bが互いに素なことから、aとc,aとdも互い素になる。
b^2-a^2=c^2からb^2=a^2+c^2となるので、a,cが互い素なことから
4を法とした合同式で考えるとbは奇数であることがわかる。
b^2+a^2=d^2について同じように考えるとdも奇数。
bが奇数なのでaは偶数となり、cは奇数とわかる。

また(b^2-a^2)*(b^2+a^2)=b^4-a^4=(cd)^2とでき
cdは奇数であるので、このことから
√x, √(x+1), √(x+2)が全て有理数であるような実数xがあったとすると
X^4-Y^4=Z^2という方程式はZが奇数であるような自然数解を持つことがわかる。