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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 09:00:00
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0404１３２人目の素数さん2006/01/16(月) 02:20:00
>>403
わかりません。
0405１３２人目の素数さん2006/01/16(月) 20:24:57
x²＋y³＝17を満たす正整数x，yの組を全て求めよ
04064052006/01/16(月) 20:25:55
ごめん。間違った。訂正。

x²＝y³＋17を満たす正整数x，yの組を全て求めよ
0407１３２人目の素数さん2006/01/16(月) 20:27:15
>>404
漏れ作成者ですが解けませんでしたｗ
0408１３２人目の素数さん2006/01/16(月) 23:31:33
>406
　(5,2) (9,4) (23,8) (282,43) (375,52) (378661,5234)
0409１３２人目の素数さん2006/01/17(火) 06:29:58
>>408
解き方教えてくれー
0410１３２人目の素数さん2006/01/18(水) 04:56:58
平面上に定点Oと△ABCがあり、OA↑・OB↑= OB↑・OC↑= OC↑・OA↑= 1 をみたすとき、
OA、OB、OCのうち、少なくとも１つは長さが１以下であることを示せ。
0411１３２人目の素数さん2006/01/18(水) 20:40:01
>>410
Z会の広告問題じゃん
0412１３２人目の素数さん2006/01/18(水) 20:58:07
四面体ABCDの辺AB、辺BC、辺CD、辺DAを2:1に外分する点をそれぞれE,F,G,Hとする。
四面体ABCDと四面体EFGHの体積の比を求めよ。
0413１３２人目の素数さん2006/01/18(水) 22:01:10
>>410
これどうやって解くん？
0414１３２人目の素数さん2006/01/18(水) 22:14:37
>>413
とりあえずabcと置いてみたら
0415１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 02:46:25
>410,413
Oから見ると、OA↑,OB↑,OC↑ は90°の範囲内にある。
OB↑ は ∠AOCの中にあるとする。
∴ 0 < ∠AOB + ∠BOC = ∠AOC < 90°
cos(∠AOC) < cos(∠AOB)･cos(∠BOC)　　（← cosの加法定理）.
∴ 1/(ac) < 1/(bc)･1/(ab)
∴ b^2 <1.
0416１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 03:23:12
>>411
誘導ついてなかった？
0417１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 03:23:52
>>412
宿題は質問スレに行け！
0418１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 04:10:57
>>410
どっかの類問
0419１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 11:50:18
>>415
＞ Oから見ると、OA↑,OB↑,OC↑ は90°の範囲内にある。

解説希望。
特に点Oが△ABCの内部にある場合について、教えてくれ。
0420１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 12:04:51
ごめん、ぼけてた。
0421１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 13:37:10
誰か>>406教えて
0422１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 18:55:27
>>417
根拠のない決め付けは愚かしさを露呈するだけだよ
0423１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 21:05:06
質問スレより

[4]曲面Kの面積を求めよ
K{(x,y,z)|x^2+y^2=x,x^2+y^2+z^2≦1}
0424数魔2006/01/19(木) 21:24:46
>>423
知るか！
ちなみに、０／０は０で割る計算の中でもさらに例外で、
0/0=xとして、掛け算に直すと、
0=0xより、xはすべての数である。
よって０／０はすべての数である。

0425１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 21:53:12
>>412
正四面体としてよいのでEF=√7AB
よって体積比は1:7√7
0426１３２人目の素数さん2006/01/20(金) 00:12:44
GEGE=5
0427１３２人目の素数さん2006/01/21(土) 00:17:55
ｘｙ平面内の曲線　ax^2+by^2+cxy+d=0 は放物線を表せない事を示せ。
0428１３２人目の素数さん2006/01/21(土) 00:29:24
>427
　(0,0)に 対称心をもつ。
0429１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 00:29:22
√x, √(x+1), √(x+2)が全て有理数であるような実数xは存在するか？
0430１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 05:07:24
>419
OA↑・OB↑>0だから，∠AOBは正の鋭角としてよい。
同じく∠AOC，∠BOCも正の鋭角としてよい。
よって，Oが三角形ABC内にあることはない。
また，∠AOCの中にBがあるとして☆よい。
(∠AOB内にCがあるときは，BとCの名前を交換することで☆に帰着される)
0431１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 08:29:24
>>429
ある。フィボナッチの問題、或いは合同数の応用。
入試レベルの解答は未だ思いつかない。
天下りに一つ見つけて全部有理数だと言うだけなら簡単だが。
勿論それでも正解。
0432１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 09:10:00
しない。
0433１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 09:20:33
何で。
0434１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 10:09:52
存在しない
0435１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 12:24:57
>>429
√x が有理数なので、 x=(m/n)^2となる互い素な自然数m,nが存在する。
また、x+1 = (m^2 + n^2)/n^2が有理数なので m^2 + n^2 = k^2となる自然数kが存在する。
従って、自然数m,n,kは他の自然数a,b,cを用いて
m = 2abc
n = c( a^2 - b^2 )
k = c(a^2 + b^2)　　　　　--[1]
または
m = c( a^2 - b^2 )
n = 2abc
k = c(a^2 + b^2)　　　---[2]
と表現できる。さらに、m,nは互いに素なので、c=1となる。

x+2が有理数になるということから、[1]の場合
(2ab)^2 + 2(a^2 - b^2)^2
が平方数になる。


なんとなく、存在シナイっぽい。けど、わかんね
0436１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 16:12:57
>>429
√x, √(x+1), √(x+2)が全て有理数であるような実数xがあったとする。
仮定より、互いに素な自然数a,bを使って　√(x+1)=b/a　と書ける
x=(b^2-a^2)/a^2　x+2=(b^2+a^2)/a^2　についても、仮定より
b^2-a^2=c^2　b^2+a^2=d^2　となる自然数c,dがある。
a,bが互いに素なことから、aとc,aとdも互い素になる。
b^2-a^2=c^2からb^2=a^2+c^2となるので、a,cが互い素なことから
4を法とした合同式で考えるとbは奇数であることがわかる。
b^2+a^2=d^2について同じように考えるとdも奇数。
bが奇数なのでaは偶数となり、cは奇数とわかる。

また(b^2-a^2)*(b^2+a^2)=b^4-a^4=(cd)^2とでき
cdは奇数であるので、このことから
√x, √(x+1), √(x+2)が全て有理数であるような実数xがあったとすると
X^4-Y^4=Z^2という方程式はZが奇数であるような自然数解を持つことがわかる。
0437１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 16:13:35
>>436の続き
方程式X^4-Y^4=Z^2ついて、X,Y,Zを、
Zが奇数でこの方程式を満たす(即ちX^4-Y^4=Z^2を満たす）
自然数解の中でXが最小なものであるとする。
X^4=Y^4+Z^2でZは奇数なので、互い素な自然数e,fを用いて
Y^2=2ef　Z=e^2-f^2　X^2=e^2+f^2　と書ける。
e,fはどちらか一方のみが奇数となるのでeを奇数と仮定する。
(fが奇数の場合は以下の議論のeとfを入れ替えればよい)
Y^2=2efでeとfが互いに素、eが奇数であることから自然数g,hによって
e=g^2　f=2h^2と書ける。このときeが奇数なのでgも奇数となる。
またX^2=e^2+f^2についてe,fが互いに素、eが奇数、fが偶数なので
互い素な自然数i,jがあってe=i^2-j^2　f=2ij　X=i^2+j^2と書ける。
f=2ijより2h^2=2ijなので、i,jが互いに素なことから
i,jはともに平方数。よって自然数k,lによってi=k^2,j=l^2と書ける。
このこととe=i^2-j^2,e=g^2よりk^4-l^4=g^2となる。またgは奇数。
X=i^2+j^2＞i^2=k^4　であり、kが自然数な事からX＞k
これはXの最小性に反する。
よって方程式x^4-x^4=z^2はzが奇数であるような自然数解をもたず、
このことから√x, √(x+1), √(x+2)が全て有理数であるような実数xは存在しない。
04384312006/01/22(日) 16:19:49
うっかりした、ごめん。フィボナッチの問題は√x, √(x+5), √(x+10) だった。
0439１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 16:59:16
>438
√x = 31/12, √(x+5) = 41/12,　√(x+10) = 49/12.
0440１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 23:45:46
なんで公差が１だと解ナシで、5だとヒボナッチ数列が関与してるん？
(どう関与してるのか不明だけど)なんか理由あるの？
0441１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 23:47:49
>>440
フィボナッチ数列じゃなくて、フィボナッチ数列を考えたおっさんが解いた問題。
じゃなかったっけ？
0442１３２人目の素数さん2006/01/23(月) 00:11:42
>>440
大いにある。
0443１３２人目の素数さん2006/01/23(月) 00:53:30
11兆7,343億ドルの５％は日本円でいくらか求めよ
0444１３２人目の素数さん2006/01/23(月) 01:10:10
ｎを自然数, Ｐ(ｘ)をｎ次の多項式とする。
Ｐ(０), Ｐ(１),Ｐ(２),・・・, Ｐ(ｎ)が整数ならば、
全ての整数ｋに対してＰ(ｋ)は整数であることを証明せよ。
0445１３２人目の素数さん2006/01/23(月) 03:15:25
>>444
n>0, 0≦i,j≦n とする。
f_i(x) = x(x-1)…(x-i+1)･(x-i-1)…(x-n)/{i(i-1)…1･(-1)(-2)…(i-n)}
とおくと、
f_i(j) = δ(i,j) ゆえ,
Ｐ(x) = 納i=0,n] Ｐ(i)･f_i(x)　と表わせる。
補題↓により、k∈Z　⇒　Ｐ(k)∈Z.

〔補題〕k∈Z　⇒　f_i(k) ∈Z.
(略証)
f_i(x) = { x(x-1)…(x-i+1)/(i!) }･{ (x-i-1)…(x-n)/(n-i)! ･(-1)^(n-i)}.
0≦j≦n のとき
　f_i(j) = δ(i,j) ∈ Z.
k>n のとき
　f_i(k) = Ｃ[k,i]・Ｃ[k-i-1,n-i](-1)^(n-i) ∈ Z.
k<0 のとき
　f_i(k) = Ｃ[i-1+(-k),i](-1)^i・Ｃ[n+(-k),n-i] ∈ Z.
0446１３２人目の素数さん2006/01/23(月) 03:31:24
〔補題〕
　連続するi個の整数の積 k(k+1)(k+2)…(k+i-1) は i! で割り切れる。

(略証)
iに関する帰納法による。
i=1 のときは明らか。
i-1に対して成り立つとする。
　kに関する帰納法による。
　k=1 のときは明らか。
　k を1増やすと、(k+1)(k+2)…(k+i) - k(k+1)(k+2)…(k+i-1) = {(k+1)(k+2)…(k+i-1)}ｉゆえ、i!の倍数。
　k を1減らすと、(k-1)k(k+1)…(k+i-2) - k(k+1)…(k+i-1) = -{k(k+1)…(k+i-2)}ｉゆえ、i!の倍数。
よって iに対しても成り立つ。(終)
0447１３２人目の素数さん2006/01/25(水) 02:39:04
5辺の長さが1で残り1辺の長さがaの四面体ABCDがあり、AB=aである。
四面体ABCDの内部に2球C1,C2を
C1は3平面ABC,ACD,ADBに接するように、
C2は3平面CAB,CBD,CDAに接するように、
さらにC1とC2は外接しており、2球の半径は等しくなるようにとる。
aが0<a<√3の範囲を動くとき、C1の半径の最大値を求めよ。
0448１３２人目の素数さん2006/01/25(水) 05:50:09
>>410
で、これの完璧な解答は誰が出すの？
お願いします。
0449１３２人目の素数さん2006/01/25(水) 10:35:41
既に正解出てるだろ
それ見て考えろ、無能
0450１３２人目の素数さん2006/01/25(水) 11:01:00
>>449
そこを何とか。
0451１３２人目の素数さん2006/01/25(水) 23:25:37
空間内に半径a(a>0)の球Cがあり、Cの球面上に異なる2点A.Bを、線分AB上に点Pをとる。
A,BがCの球面上を動くとき、Cの中心Oに対して、AP・BPがOP^2以下になるような点P全体からなる立体の体積を求めよ。
0452１３２人目の素数さん2006/01/26(木) 00:10:33
>>451
修正。
空間内に半径a(a>0)の球Cがあり、Cの球面上に異なる2点A.Bを、線分AB上に点Pをとる。
A,BがCの球面上を動くとき、Cの中心Oに対して、AP・BPがOP^2以上になるような点P全体からなる立体の体積を求めよ。
0453１３２人目の素数さん2006/01/26(木) 01:13:34
>>452
半径(1/√2)aの球なので体積は((√2)/3)πa^3
04544522006/01/26(木) 01:41:43
>>453
正解。簡単すぎですね。
0455１３２人目の素数さん2006/01/26(木) 01:53:28
半径1の円に対しn本の平行線を引き、その面積をn+1等分する。
n本の平行線のうち隣り合った2本の間隔が最大となる2直線の距離をK、
n本の平行線のうち隣り合った2本の間隔が最小となる2直線の距離をLとするとき、
lim[n→∞](K^3)/(L^2)を求めよ。
0456１３２人目の素数さん2006/01/26(木) 04:36:03
入試問題史上最難問とされている､東大の必要十分条件を求める問題知ってる人いる?
0457１３２人目の素数さん2006/01/26(木) 06:29:51
お前以外みんな知ってるよ。
0458１３２人目の素数さん2006/01/26(木) 14:45:37

辺の長さが、それぞれa、b、cの三角形の面積を求めよ。
a<c、b<cである。


サインコサインタンジェントー
なんて使わなくても解けるよー∩(・ω・)∩ばんじゃーい。
0459１３２人目の素数さん2006/01/26(木) 14:47:05
>>458
暇だったから学校で作った。
中学数学だけで十分だお。
0460１３２人目の素数さん2006/01/26(木) 14:52:00
なんか
過去レス見てるとかなり間隔があいてる・・
どうしよう。
0461１３２人目の素数さん2006/01/26(木) 22:28:08
考えたのでうｐするべ。

【問題】
0でない相異なる実数a,b,cについて，
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=bx^2+cx+a
h(x)=cx^2+ax+b
とする．
(1)y=f(x)，y=g(x)，y=h(x)は全て異なる2点で交わることを示せ．
　以下，y=f(x)とy=g(x)との交点のx座標をα[1]，α[2]，y=g(x)と
y=h(x)との交点のx座標をβ[1]，β[2]，y=h(x)とy=f(x)との交点
のx座標をγ[1]，γ[2]とする（ただし，α[1]<α[2]，β[1]<β[2]，
γ[1]<γ[2]）．
(2)α[1]=β[1]=γ[1]かつα[2]=β[2]=γ[2]とはならないことを示せ．
(3)α[1]=β[1]=γ[1]またはα[2]=β[2]=γ[2]となるための必要十分
条件を求めよ．
0462 ◆xeS.CIM.Jk 2006/01/27(金) 01:18:28
任意の自然数nに対してf(n)が素数値をとるような整数係数多項式f(n)は存在しないことを示せ。


簡単？
0463１３２人目の素数さん2006/01/27(金) 01:46:56
>>461
(a,b,c)=(2,1,3)でf(x)とg(x)は接する。
0464１３２人目の素数さん2006/01/27(金) 02:00:49
>>462
多項式の次数を1以上としないと自明な反例（定数関数）があるよ。

ということで、次数は1以上としておく。

f(1)＝p（素数）とすると、f(1＋kp)はpの倍数なので、
k＝1,2,3,...のときf(1＋kp)が素数だとしたら、pでなければならない。
つまり、f(1)=f(1＋p)=f(1＋2p)=f(1＋3p)=･･･=pでないとダメ。
しかしこれは1次以上の多項式では成立しえない。
（なぜなら、代数方程式の解の個数は有限！）
0465１３２人目の素数さん2006/01/27(金) 04:18:57
ふむふむ
0466１３２人目の素数さん2006/01/27(金) 04:48:10
>>464
> f(1)＝p（素数）とすると、f(1＋kp)はpの倍数なので、

もっと詳しく！
0467１３２人目の素数さん2006/01/27(金) 04:52:59
>>466
2項定理によって
(1+kp)^m＝1＋(pの倍数)
したがって多項式の場合
f(1＋kp)＝f(1)＋(pの倍数)＝(pの倍数)
となる。（f(1)＝pという仮定に注意）
0468１３２人目の素数さん2006/01/27(金) 06:04:19
なるほど
0469 ◆xeS.CIM.Jk 2006/01/27(金) 12:52:15
467解いてくれてありがとおう
また暇なとき投下します
0470 ◆xeS.CIM.Jk 2006/01/27(金) 12:59:57
斜辺が1の直角二等辺三角形を5つ、重ならないように平面上に配置する。
これら5つの三角形がその内部(周上を含む)にあるような円の半径の最小値を求めよ。
0471１３２人目の素数さん2006/01/27(金) 13:49:01
p,q,rを定数として,3次関数 y= x^3 +px^2 + qx + r のグラフをCとおく。
Cが,互いに直交する2本の接線をもつための,p,q,rの満たすべき条件を求めよ。
0472１３２人目の素数さん2006/01/27(金) 18:36:51
スマソ
(1)は取り消ししてくれ。
【問題・訂】


0でない相異なる実数a,b,cについて，
f(x)=ax^2+bx+c
g(x)=bx^2+cx+a
h(x)=cx^2+ax+b
とする．
y=f(x)，y=g(x)，y=h(x)は全て異なる2点で交わることとし，
以下，y=f(x)とy=g(x)との交点のx座標をα[1]，α[2]，y=g(x)と
y=h(x)との交点のx座標をβ[1]，β[2]，y=h(x)とy=f(x)との交点
のx座標をγ[1]，γ[2]とする（ただし，α[1]<α[2]，β[1]<β[2]，
γ[1]<γ[2]）．
(1)α[1]=β[1]=γ[1]かつα[2]=β[2]=γ[2]とはならないことを示せ．
(2)α[1]=β[1]=γ[1]またはα[2]=β[2]=γ[2]となるための必要十分
条件を求めよ．

これならいける希ガス
0473１３２人目の素数さん2006/01/28(土) 00:55:40
>471
　導函数 y = 3x^2 +2px +q が負の値をもつ。
0474１３２人目の素数さん2006/01/28(土) 05:24:55
>471
　導函数 y = 3{x +(1/3)p}^2 -(1/3)p^2 +q が負の値をもつ。
0475１３２人目の素数さん2006/01/28(土) 18:07:43
>471
　最小値 -(1/3)p^2 +q が負の値をもつ。
0476１３２人目の素数さん2006/01/28(土) 21:54:46
>>458
　a<c, b<c だから ∠A と∠B は鋭角である。
　Cから対辺ABに垂線CHを下ろしその長さ（つまり高さ）を h としよう。
　√(a^2-h^2) + √(b^2-h^2) = AH + HB = AB = c
　両辺を2乗すると色んな項が出てくる。
　√のない項は右辺に移項して、もう一度2乗しよう。
　これで √ は無くなった。めでたいな。
　整理するとh^4 の項は相殺するから h^2 の1次式になる。あとはこれを解くだけ。
　△ABC = ch/2 = (1/4)√{(a^2+b^2-c^2)^2 - (2ab)^2}
　= (1/4)√{(a^2 +b^2 +2ab -c^2)(a^2 +b^2 -2ab -c^2)}
　= (1/4)√{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}.
　∩(・ω・)∩ばんじゃーい。

[参考文献]
M.Baker: Ann.Math.,１, p.134-138 (1884).
　"A collection of formula for the area of a plane triangle."
0477１３２人目の素数さん2006/01/29(日) 00:17:17
>>455
　L > π/(n+1) ≧ ∫[x=0,L] 2√(1-x^2)dx = [ L√(1-L^2) + arcsin(L) ] = 2L + O(L^3).
　L = π/(2(n+1)) + O(1/n^3)

　√(1-x^2) = √(2(1-x)) + O((1-x)^(3/2))
　S(d) = ∫[x=1-d,1] √(1-x^2) dx = ∫[x=1-d,1] { √(2(1-x)) +O((1-x)^(3/2)) } dx
　= (1/3)(2d)^(3/2) + O(d^(5/2)).

　S(d1)=π/(n+1) とすると d1 = (1/2){3π/(n+1)}^(2/3) + O(1/n^(4/3)),
　S(d2)=2π/(n+1) とすると d2 = (1/2){6π/(n+1)}^(2/3) + O(1/n^(4/3)).
　K = d2 -d1 = (1/2){3π/(n+1)}^(2/3){2^(2/3) -1} + O(1/n^(4/3)),
よって
　(K^3)/(L^2) → (9/2){2^(2/3) -1}^3　(n→∞)
かな？
0478１３２人目の素数さん2006/01/29(日) 12:02:30
a＞0　及び　p、q　は正の整数とする。

教科書において　a^(p/q)＝[q] √(a^p)　と定義した理由を述べよ。
（ただし右辺は通常の教科書の定義とする）
また、教科書が　a＜0　の場合には触れていない理由を考察せよ
04794772006/01/29(日) 21:50:42
訂正、ｽﾏｿ.
S(d) = 2∫[x=1-d,1] √(1-x^2) dx = 2∫[x=1-d,1] { √(2(1-x)) +O((1-x)^(3/2)) } dx
　= (2/3)(2d)^(3/2) + O(d^(5/2)).

　S(d1)=π/(n+1) とすると d1 = (1/2){3π/2(n+1)}^(2/3) + O(1/n^(4/3)),
　S(d2)=2π/(n+1) とすると d2 = (1/2){3π/(n+1)}^(2/3) + O(1/n^(4/3)).
　K = d2 -d1 = (1/2){3π/2(n+1)}^(2/3){2^(2/3) -1} + O(1/n^(4/3)),
よって
　(K^3)/(L^2) → (9/8){2^(2/3) -1}^3 = 0.228011463602279…　(n→∞)
だったな
0480１３２人目の素数さん2006/01/30(月) 00:28:51
乙です
0481１３２人目の素数さん2006/01/30(月) 18:08:06
数列a[n]を次のようなものを満たす．
[i]nが奇数のとき，a[n] a[n+1] a[n+2]は等差数列となる
[ii]nが偶数のとき，a[n] a[n+1] a[n+2]は等比数列となる
[iii]a[1]=1
このようなもので，lim[n→∞]a[k]が収束するためのa[2]の条件を求めよ．
0482１３２人目の素数さん2006/01/30(月) 18:09:05
ｽﾏｿ
訂正。

数列a[n]を次のようなものを満たす．
[i]nが奇数のとき，a[n] a[n+1] a[n+2]は等差数列となる
[ii]nが偶数のとき，a[n] a[n+1] a[n+2]は等比数列となる
[iii]a[1]=1
このようなもので，lim[n→∞]a[n]が収束するためのa[2]の条件を求めよ．


の間違いですた。
0483１３２人目の素数さん2006/01/30(月) 18:10:12
あ、いちおう念のためにいっておくが、条件[i][ii]はその順に等差数列、等比数列になるので。
0484１３２人目の素数さん2006/01/30(月) 19:12:23
念のためのようで念を押せてない
0485１３２人目の素数さん2006/01/30(月) 19:17:44
nが奇数ならば、2a[n+1]=a[n]+a[n+2]
nが偶数ならば、(a[n+1])^2=a[n]a[n+2]
0486１３２人目の素数さん2006/01/30(月) 20:14:24
(1)３辺の長さが全て自然数の直角三角形において、
内接円の半径も自然数であることを示せ
(2)a^2+b^2=c^2を満たす自然数a,b,c(a<b)の組は、自然数ｎを用いて、
a=p+2n,b=q+2n,c=p+q+2nの形で書き尽くされることを示せ
ただし、p,qは2n^2=pq,p<qを満たす自然数であるものとする
0487１３２人目の素数さん2006/01/30(月) 22:29:51
>>485
それそれ、その条件であってます。
0488１３２人目の素数さん2006/01/30(月) 23:51:19
>486
(1) 直辺を a,b 斜辺を c とすると、内接円の半径r = 2(面積)/(周長) = ab/(a+b+c)
　これに(2) を代入する。 pq=2n^2 から
　r = (p+2n)(q+2n)/(2p+2q+6n) = n.
0489１３２人目の素数さん2006/01/31(火) 00:03:55
a≠0,b^2-4ac≧0のとき（後半は不要だろうね）
a[{-b-(b^2-4ac)^(1/2)}/2]^2+b[{-b-(b^2-4ac)^(1/2)}/2}]+c
の値を求めよ。センター向きかな。。。
0490488 2006/01/31(火) 00:11:35
>486
(2)　補題↓で、d(v-u)^2 =p, d(2u^2) =q, du(v-u)=n とおけば得られる。

〔補題〕(Diophantus)
　題意のとき、(a,b,c) = (d(v^2-u^2), 2duv, d(v^2+u^2)) と表わせる。ここに d,u<v は自然数。
(略証)
　a,b,c の2つが公約数をもてば他の1つもそれを約数にもつ。
　a/d=a', b/d=b', c/d=c' (dはa,b,cの最大公約数) とおけば a',b',c'は互いに素である。
　x^2≡0,1 (mod 4) より、c' は奇数である。a',b'の一方は奇数、他方は偶数である。
　いま、a'を奇数、b'を偶数としてもよい。
　(b')^2 = (c')^2 -(a')^2 = (c'+a')(c'-a')　……　(*).
　(c'+a')/2 と (c'-a')/2 が1以外の公約数をもてば a',c' もそれを公約数にもつ（矛盾).
　(*) の左辺は平方数であるので、c'+a'=2v^2 ,c'-a'=2u^2 (v>u:自然数) とおける。
　(a',b',c') = (v^2-u^2, 2uv, v^2+u^2)　　　　　　　　　　　　　　　(終)

http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html
04914862006/01/31(火) 18:26:11
>488,>490

解いてくれてありがとうございます。
プラスαもつけていただき、かなり参考になりましたm(_ _)m
自分が知らないことがたくさんありました‥
0492１３２人目の素数さん2006/02/05(日) 08:31:12
879
0493１３２人目の素数さん2006/02/05(日) 23:15:24
xy平面上に、中心(a, b)、半径r(r<a, r<b)の円がある。
両端が第一象限上にある長さLの線分が、この円と共有点を持たないように動きながら
円のまわりを一周する。このようなことが可能なa,b,r,Lの満たすべき条件を求めよ。
0494１３２人目の素数さん2006/02/05(日) 23:15:51
分数関数を基本形に直すのがどうしてもわかりません。
2(x+2)-1/x+2がどうやって、-1+2/x+2になるんでしょうか？

教えてください～
0495１３２人目の素数さん2006/02/05(日) 23:21:25
>>494
括弧使って。
さらに多分そうはならない。
0496１３２人目の素数さん2006/02/05(日) 23:25:21
>>494
マルチ
0497１３２人目の素数さん2006/02/06(月) 00:35:34
三平方の定理を証明せよ。
但し、
①部分点はあまり考慮しない。
②亜種の証明はだめよ
③逆の証明をすれば合否通知に「氏ね」と送ります。
④証明できた数をnとするとき、この設問における配点はa_1=1,a_2=1のフィボナッチ数列に依るa_nで与える。
0498１３２人目の素数さん2006/02/06(月) 00:37:17
>>497
一瞬、意図が分からなくなる問題だな。

よーは、たくさんのやり方で三平方の定理を示せって言うことか。
何を持って「亜種」とするのかの解釈が分かれそうだが……
0499497です2006/02/06(月) 01:00:34
いやね、最近の工房に聞いたら、結構知らないし解けないのですよ。
そーいえば
円周率なんたらって問題も、俺が消防の頃の教科書にのってた記憶がある
0500１３２人目の素数さん2006/02/06(月) 04:13:08
東大志望者達が難問を囲んで超ハイレベルトークしているスレ発見！
http://etc4.2ch.net/test/read.cgi/kouri/1138008996
0501１３２人目の素数さん2006/02/06(月) 17:09:20
型にはまった問題しか解けない馴れ合いｽﾚ。
大した事はない。
0502１３２人目の素数さん2006/02/06(月) 20:19:56
>>501
半径√2の球Cがあり、Cは以下の条件を満たしながら動く。
条件：一辺の長さ√2の正方形をある空間内に固定して、Cは常にこの正方形を内部に含む。
このときCの中心Oの動く領域の体積を求めよ。

これは高校範囲で解答可能か検証頼む
0503１３２人目の素数さん2006/02/06(月) 20:55:20
㍉
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