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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 09:00:00
理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0352１３２人目の素数さん2006/01/05(木) 17:21:11
motomemashita
0353１３２人目の素数さん2006/01/05(木) 17:59:32
n=0，2
0354１３２人目の素数さん2006/01/05(木) 18:05:26
>>346
私、胸、Ｅカップなんだけど
教えてくださらない？
0355１３２人目の素数さん2006/01/06(金) 00:55:37
lim[n→∞]∫[0,1] (cos(x^2))^n dx を求めよ。
0356GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2006/01/06(金) 12:16:57
talk:>>355 0になるのだろうが、大学入試でどうやって証明するのだ？
0357１３２人目の素数さん2006/01/06(金) 16:58:20
>355
　求めますた。
　0<x<1 のとき sin(x^2) > sin(1)x^2 = (ax)^2.
　∴ cos(x^2)^2 = 1 - sin(x^2)^2 < 1 - (ax)^4 < exp{-(ax)^4}.
　∫[0,1] cos(x^2)^n dx < ∫[0,1] exp{-(n/2)(ax)^4} dx < ∫[0,∞) exp{-(n/2)(ax)^4} dx
　= (1/a)･(2/n)^(1/4)･(1/4)∫[0,∞) y^(-3/4)･exp(-y) dy = (1/a)Γ(5/4)･(2/n)^(1/4)
　= 1.1750…･(1/n)^(1/4) → 0　(n→∞)
　ここで (n/2)(ax)^4 = y とおいた。dx =(1/a)･ (2/n)^(1/4)･(1/4)y^(-3/4)･dy,
　sin(1)= 0.84147…,　1/a = 1.0901…,　Γ(5/4) = 0.90640…

>356
　頭を少し使う....
0358１３２人目の素数さん2006/01/06(金) 17:09:48
わざわざ面倒くせえことやってんな
0359１３２人目の素数さん2006/01/06(金) 17:43:42
>>358
ビシッと見本を見せてやってください
0360１３２人目の素数さん2006/01/07(土) 13:52:41
gmj
0361１３２人目の素数さん2006/01/07(土) 16:16:36
あげまん
0362１３２人目の素数さん2006/01/07(土) 16:21:31
>>355
マルチ
0363１３２人目の素数さん2006/01/08(日) 01:51:00
>353
違う。
0364１３２人目の素数さん2006/01/08(日) 05:41:54
円周率3.14の続きを小数第百位まで自分で考えなさい
0365１３２人目の素数さん2006/01/08(日) 10:28:06
計算しちゃ駄目なんか
0366１３２人目の素数さん2006/01/08(日) 11:03:29
良スレage
0367１３２人目の素数さん2006/01/08(日) 12:38:18
>>346
分った！！！
0368１３２人目の素数さん2006/01/08(日) 19:41:58
>>335の解答は？
0369１３２人目の素数さん2006/01/08(日) 21:23:24
>>351 の解答？
　0,1,2,4
0370１３２人目の素数さん2006/01/08(日) 23:28:40
n = 1, 2, ... に対し、2乗してちょうどn桁の数となる
正の整数全体の個数を f(n) とする。このとき、
f(n+1) > f(n) であることを証明せよ。
0371１３２人目の素数さん2006/01/08(日) 23:29:33
>>346
　(左辺) = 納k=0〜n] (-1)^k Ｃ[n,k] Ｔ/(2k+1)
　= Ｔ納k=0〜n] (-1)^k Ｃ[n,k] ∫[x=0,1] x^(2k) dx
　= Ｔ∫[x=0,1] 納k=0〜n] Ｃ[n,k] (-x^2)^k dx
　= Ｔ∫[x=0,1] (1-x^2)^n dx
　= Ｔ･I_n.
　ここに I_n = ∫[x=0,1] (1-x^)^n dx とおいた。I_0=1.

　∫(1-x^2)^n dx = ∫(1-x^2)^(n-1) dx - ∫(x^2)(1-x^2)^(n-1) dx
　= {2n/(2n+1)}∫(1-x^2)^(n-1) dx + (1/2n)x(1-x^2)^n　だから,
　I_n = {2n/(2n+1)}I_(n-1) = …… = {(2n)!!/Ｔ}I_0 = (2n)!!/Ｔ　　……　(*).

　∴ (左辺) = (2n)!! = (右辺).

*) 森口･宇田川･一松: ｢数学公式I｣, 岩波全書221, p.220 (1956.9)
　　第V編, 第1章, §46 (i)
0372略解2006/01/09(月) 00:11:09
>>351

n≧1のとき

nはn=2^a*b(aは0以上の整数、bは奇数)と書ける。
3^n-1={3^(2^a)-1}*[{3^(2^a)}^(b-1)+{3^(2^a)}^(b-1)+･･･+1]
{3^(2^a)}^(b-1)+{3^(2^a)}^(b-1)+･･･+1は奇数がb(=奇数)個あるので、当然奇数。
したがって、3^{(2^a)*b}-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる⇔3^(2^a)-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる

3^(2^a)-1=(3^2-1)(3^2+1)*･･･*[(3^2)^{2^(a-2)}+1]
3^2=4*2+1だから
(3^2)^s+1=(1+4*2)^s=2+4*2*Σ_[i=1,n]C(n,i)(4*2)^(i-1)だから
3^2+1、･･･、(3^2)^{2^(a-2)}+1を4で割った余りは2
したがって、3^2+1、･･･、(3^2)^{2^(a-2)}+1は偶数だが4で割り切れない
(3^2+1)*･･･*[(3^2)^{2^(a-2)}+1]は2^(a-1)で割り切れるが、2^aで割り切れない。
したがって
3^(2^a)-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる⇔2^a*b≦a-1+3=a+2

b≧3のとき
2^a*b≧3*(1+1)^a≧3(1+a)=3a+3＞a+2だから不適
b=1のとき
a=0,1,2のとき、確かに2^a≦a+2となる。
a≧3のとき
2^a=(1+1)^a≧1+a+a(a-1)/2＞a+2となって不適

n＝0のとき
3^0-1=0は当然2^0=1で割り切れる。

よって条件に合うのはn=0、1、2、4である。
0373１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 02:03:34
>>370
　2乗して 2n-1桁になる自然数を [10^(n-1), M] とすると、3･10^(n-1) ≦ M < 4･10^(n-1)
　　　2･10^(n-1) < f(2n-1) ≦ 3･10^(n-1).
　2乗して 2n桁になる自然数を [m, (10^n)-1] とすると、3･10^(n-1) < m ≦ 4･10^(n-1)
　　　6･10^(n-1) ≦ f(2n) < 7･10^(n-1).
　より明らか。
0374１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 02:38:46
直径５の円Aがある。この円を直径２の円９個を使って埋め尽くす（９個をうまく配置して、
任意のA内の点が直径２の円内に必ず含まれているようにする）ことができることを示せ。
0375１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 04:07:03
１から６までのさいころを１つ使い（出目は同様に確からしいとする）
次のようなゲームを考える。
N回まで振ることができ、途中でいつでもやめてよいとする。
このとき途中でやめたときは、最後に出た目が得点。
N回目まで振ったときはN回目の目が得点。
以上のようなルールのとき、得点が最大になる戦略とその期待値を
求めよ。
0376１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 04:26:04
>>375
大体分かった。

戦略：n以上の目が出たときにやめる。
期待値En
nは少なくとも4以上。
で、あとは期待値Enを計算して、
Enが一番大きくなる時がベストな戦略。
計算で注意すべきなのは等比級数の計算とN回目の部分。

計算してないけど、予想だとたぶんn=5かな。
0377１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 08:26:28
>>376

Nの関数になると思うけど…
0378小牧愛佳 ◆u/3FmANAKA 2006/01/09(月) 09:42:55
>>376
ブラックジャック理論
0379１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 11:41:15
多分前半は、できるだけ大きい数狙いで振りつづけて
後半にさしかかっても思うような目が出てこない場合は
比較的小さな値でも妥協するという戦略が>>376より
マシになると思う。

結婚相手を探す問題に類似性を感じるんだが
さくっと解く方法はしらんなぁ。
0380１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 11:49:49
N回振れるときに、一回目の戦略を「f(N) 以下なら振りなおす」とすると
E(N) = f(N)/n E(n-1) + (7+f(N))(6-f(N))/(2n)
がもとめる期待値で、f(N)をどうするかっていう問題だな。

f(1) = 0, E(1) = 21 から始めて再帰的に f(N) と E(N) を計算していけばいいかな。
0381１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 12:10:02
簡単な問題いきます。

面積1の三角形の三辺の長さをx,y,zとする。
1/(x+y-z) + 1/(y+z-x) + 1/(z+x-y)
の最小値を求めよ。
0382１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 13:50:16
X = y+z-x > 0, Y = x+z-y > 0, Z = x+y-z > 0 とすると
x = (Y+Z)/2, y = (X+Z)/2, z = (X+Y)/2, x+y+z = X+Y+Z
s = (x+y+z)/2 = (X+Y+Z)/2

三角形の面積が1なので、
√s(s-x)(s-y)(x-z) = √((X+Y+Z)/2)(X/2)(Y/2)(Z/2) = 1
∴ √((X+Y+Z)XYZ) = 4 <=> XYZ(X+Y+Z) = 16 -- (1)

ところで相加相乗調和平均の不等式から
3/(1/X+1/Y+1/Z) <= (XYZ)^(1/3) <= (X+Y+Z)/3
∴ 3/(XYZ) <= (1/X+1/Y+1/Z)^3, 9/(X+Y+Z) <= 1/X+1/Y+1/Z
二式を辺辺掛け合わせて
27/(XYZ(X+Y+Z)) <= (1/X+1/Y+1/Z)^4
(1) より、(27/16)^(1/4) = 3^(3/4)/2 <= 1/X+1/Y+1/Z
等号成立は X=Y=Z、即ち x=y=z=2*3^(-1/3)
0383１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 14:12:09
>382

ところで 相加･相乗･調和平均の不等式から
3/(1/X+1/Y+1/Z) <= (XYZ)^(1/3) <= (X+Y+Z)/3
∴ 27/(XYZ) ≦ (1/X+1/Y+1/Z)^3, 9/(X+Y+Z) ≦ 1/X+1/Y+1/Z
二式を辺々掛け合わせて
(27･9)/(XYZ(X+Y+Z)) ≦ (1/X+1/Y+1/Z)^4
(1) より、(27･9/16)^(1/4) = 3^(1/4)･(3/2) ≦ 1/X+1/Y+1/Z
等号成立は X=Y=Z、即ち x=y=z=2*3^(-1/4) のとき。
0384１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 15:56:20
瞬殺されてしまった。
0385１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 16:00:41
>>384
いやいや、これからも楽しい問題をお願いします。
03863842006/01/09(月) 16:19:31
>>382
>>383
>>385
別にお前に言ってない
0387１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 16:53:02
2005個の合同な小三角形に分割できる三角形が存在することを示せ。
0388１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 17:44:14
凸六角形を、いくつかの小さな凸六角形に分割せよ。
0389１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 17:50:36
>>388
訂正

凸六角形を、２つ以上の小さな凸六角形に分割せよ。



答えは、不可能なんだけど・・・それを敢えて教えないで出してみるという意図。
03903822006/01/09(月) 18:16:12
>>386
おれは何も言ってない。
0391１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 18:17:49
分かっていると思うが
384≠386
0392１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 19:33:08
>387
　2005 = 18^2 + 41^2 = 22^2 + 39^2.

　直角三角形ABCをとる。　A(-18^2,0), B(0,18x41), C(41^2,0)
　　相似比 △AOB：△BOC：△ABC = 18：41：√(2005)
　　△AOB を 18^2 等分し、△BOC を41^2 等分する。

　直角三角形ABCをとる。　A(-22^2,0), B(0,22x39), C(39^2,0)
　　相似比 △AOB：△BOC：△ABC = 22：39：√(2005)
　　△AOB を 22^2 等分し、△BOC を39^2 等分する。
0393１３２人目の素数さん2006/01/09(月) 19:58:33
>>392
おま、天才？
0394１３２人目の素数さん2006/01/10(火) 11:49:39
自演乙
0395１３２人目の素数さん2006/01/10(火) 22:41:21
n個(n>=2)のさいころを同時に振った時に、
最も出る確率の高いサイの目の総和をN(n)とする。
N(n_1+n_2)とN(n_1)+N(n_2)の大小関係を比較せよ。
0396１３２人目の素数さん2006/01/10(火) 23:05:25
>>386
なんだとおら！
鉄入り作業靴で蹴り頃すぞ！
0397１３２人目の素数さん2006/01/11(水) 00:04:40
関数x(t)、y(t)はx:[0,1]→R、y:[0,1]→Rの連続関数であり、
x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=1を満たす。

この時、次の二つの問いに答えよ。
(1)
任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが無理数である。
という条件を満たすx(t)、y(t)の例を一つ求めよ。

(2)
任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが有理数である。
という条件を満たすx(t)、y(t)は存在するか。
0398１３２人目の素数さん2006/01/12(木) 01:24:32
>397
(1) x(t)=t,
y(t) = √(1/2)･t　　　（0≦t≦2-√2)
　　y(t) = 1-(√2)･(1-t)　　（2-√2≦t≦1)

(2) x(t)=2x,　y(t)=0　(0≦t≦1/2)
　　x(t)=1,　y(t)=2t-1　(1/2≦t≦1)
0399１３２人目の素数さん2006/01/12(木) 11:00:07
空間内に4点O,A,B,Cがあり∠OAB=∠OBC=∠OCA=3π/5である。
3点O,A,Bを頂点とする正五角形の中心を通り、三角形OABを含む平面に垂直な直線をLとし、
正五角形OBDECの頂点D,EからLに下ろした垂線の足をそれぞれH,Kとする。
このときDH=EKを証明せよ。
0400399訂正2006/01/12(木) 11:00:52
空間内に4点O,A,B,Cがあり∠AOB=∠BOC=∠COA=3π/5である。
3点O,A,Bを頂点とする正五角形の中心を通り、三角形OABを含む平面に垂直な直線をLとし、
正五角形OBDECの頂点D,EからLに下ろした垂線の足をそれぞれH,Kとする。
このときDH=EKを証明せよ。
0401１３２人目の素数さん2006/01/13(金) 09:02:42
X とY がn 次元Euclid空間を動くとき、不等式

＜X＋Y＞_h　≦　＜X＞_h　・　＜Y＞_h

が 成り立つような最小の非負の実数h を求めなさい。
ここで、記号＜X＞_h は h ＋｜X｜＾２ の平方根を表します。
但し、｜X｜ はX のn 次元Euclidノルムで ｜X｜＾２ は｜X｜ の２乗を示します。
0402１３２人目の素数さん2006/01/13(金) 09:22:59
昨日テレビでシャンパンタワーを見て思いついた
数学っていうより物理っぽいけど・・・

積み方は、上からk段目がk*kの正方形になるように並べるとして
n段目の上からl(ｴﾙ)行目、左からm列目のグラスにかかる力を求めよ
ただしグラスの形状は均一で質量はすべてM、重力加速度はgとし
あるグラスにかかる力は下のグラス４つに等しく伝わるものとする

問題文に穴あったらｺﾞﾏﾝﾅｻｲ
脳内補完していただけると幸いです
挙句どう見ても東大レベルじゃないっていうｗｗｗ
0403１３２人目の素数さん2006/01/14(土) 12:13:26
>>402
物理で分類すれば演習問題、数学で分類すれば二項定理あたり。
どちらにしろ教科書の基礎レベルだけど、こういうのは面白いよ。
そんなことばかり考えていると、いつの間にか脳内構造が東大レベルに上がっているという。
0404１３２人目の素数さん2006/01/16(月) 02:20:00
>>403
わかりません。
0405１３２人目の素数さん2006/01/16(月) 20:24:57
x²＋y³＝17を満たす正整数x，yの組を全て求めよ
04064052006/01/16(月) 20:25:55
ごめん。間違った。訂正。

x²＝y³＋17を満たす正整数x，yの組を全て求めよ
0407１３２人目の素数さん2006/01/16(月) 20:27:15
>>404
漏れ作成者ですが解けませんでしたｗ
0408１３２人目の素数さん2006/01/16(月) 23:31:33
>406
　(5,2) (9,4) (23,8) (282,43) (375,52) (378661,5234)
0409１３２人目の素数さん2006/01/17(火) 06:29:58
>>408
解き方教えてくれー
0410１３２人目の素数さん2006/01/18(水) 04:56:58
平面上に定点Oと△ABCがあり、OA↑・OB↑= OB↑・OC↑= OC↑・OA↑= 1 をみたすとき、
OA、OB、OCのうち、少なくとも１つは長さが１以下であることを示せ。
0411１３２人目の素数さん2006/01/18(水) 20:40:01
>>410
Z会の広告問題じゃん
0412１３２人目の素数さん2006/01/18(水) 20:58:07
四面体ABCDの辺AB、辺BC、辺CD、辺DAを2:1に外分する点をそれぞれE,F,G,Hとする。
四面体ABCDと四面体EFGHの体積の比を求めよ。
0413１３２人目の素数さん2006/01/18(水) 22:01:10
>>410
これどうやって解くん？
0414１３２人目の素数さん2006/01/18(水) 22:14:37
>>413
とりあえずabcと置いてみたら
0415１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 02:46:25
>410,413
Oから見ると、OA↑,OB↑,OC↑ は90°の範囲内にある。
OB↑ は ∠AOCの中にあるとする。
∴ 0 < ∠AOB + ∠BOC = ∠AOC < 90°
cos(∠AOC) < cos(∠AOB)･cos(∠BOC)　　（← cosの加法定理）.
∴ 1/(ac) < 1/(bc)･1/(ab)
∴ b^2 <1.
0416１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 03:23:12
>>411
誘導ついてなかった？
0417１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 03:23:52
>>412
宿題は質問スレに行け！
0418１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 04:10:57
>>410
どっかの類問
0419１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 11:50:18
>>415
＞ Oから見ると、OA↑,OB↑,OC↑ は90°の範囲内にある。

解説希望。
特に点Oが△ABCの内部にある場合について、教えてくれ。
0420１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 12:04:51
ごめん、ぼけてた。
0421１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 13:37:10
誰か>>406教えて
0422１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 18:55:27
>>417
根拠のない決め付けは愚かしさを露呈するだけだよ
0423１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 21:05:06
質問スレより

[4]曲面Kの面積を求めよ
K{(x,y,z)|x^2+y^2=x,x^2+y^2+z^2≦1}
0424数魔2006/01/19(木) 21:24:46
>>423
知るか！
ちなみに、０／０は０で割る計算の中でもさらに例外で、
0/0=xとして、掛け算に直すと、
0=0xより、xはすべての数である。
よって０／０はすべての数である。

0425１３２人目の素数さん2006/01/19(木) 21:53:12
>>412
正四面体としてよいのでEF=√7AB
よって体積比は1:7√7
0426１３２人目の素数さん2006/01/20(金) 00:12:44
GEGE=5
0427１３２人目の素数さん2006/01/21(土) 00:17:55
ｘｙ平面内の曲線　ax^2+by^2+cxy+d=0 は放物線を表せない事を示せ。
0428１３２人目の素数さん2006/01/21(土) 00:29:24
>427
　(0,0)に 対称心をもつ。
0429１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 00:29:22
√x, √(x+1), √(x+2)が全て有理数であるような実数xは存在するか？
0430１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 05:07:24
>419
OA↑・OB↑>0だから，∠AOBは正の鋭角としてよい。
同じく∠AOC，∠BOCも正の鋭角としてよい。
よって，Oが三角形ABC内にあることはない。
また，∠AOCの中にBがあるとして☆よい。
(∠AOB内にCがあるときは，BとCの名前を交換することで☆に帰着される)
0431１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 08:29:24
>>429
ある。フィボナッチの問題、或いは合同数の応用。
入試レベルの解答は未だ思いつかない。
天下りに一つ見つけて全部有理数だと言うだけなら簡単だが。
勿論それでも正解。
0432１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 09:10:00
しない。
0433１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 09:20:33
何で。
0434１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 10:09:52
存在しない
0435１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 12:24:57
>>429
√x が有理数なので、 x=(m/n)^2となる互い素な自然数m,nが存在する。
また、x+1 = (m^2 + n^2)/n^2が有理数なので m^2 + n^2 = k^2となる自然数kが存在する。
従って、自然数m,n,kは他の自然数a,b,cを用いて
m = 2abc
n = c( a^2 - b^2 )
k = c(a^2 + b^2)　　　　　--[1]
または
m = c( a^2 - b^2 )
n = 2abc
k = c(a^2 + b^2)　　　---[2]
と表現できる。さらに、m,nは互いに素なので、c=1となる。

x+2が有理数になるということから、[1]の場合
(2ab)^2 + 2(a^2 - b^2)^2
が平方数になる。


なんとなく、存在シナイっぽい。けど、わかんね
0436１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 16:12:57
>>429
√x, √(x+1), √(x+2)が全て有理数であるような実数xがあったとする。
仮定より、互いに素な自然数a,bを使って　√(x+1)=b/a　と書ける
x=(b^2-a^2)/a^2　x+2=(b^2+a^2)/a^2　についても、仮定より
b^2-a^2=c^2　b^2+a^2=d^2　となる自然数c,dがある。
a,bが互いに素なことから、aとc,aとdも互い素になる。
b^2-a^2=c^2からb^2=a^2+c^2となるので、a,cが互い素なことから
4を法とした合同式で考えるとbは奇数であることがわかる。
b^2+a^2=d^2について同じように考えるとdも奇数。
bが奇数なのでaは偶数となり、cは奇数とわかる。

また(b^2-a^2)*(b^2+a^2)=b^4-a^4=(cd)^2とでき
cdは奇数であるので、このことから
√x, √(x+1), √(x+2)が全て有理数であるような実数xがあったとすると
X^4-Y^4=Z^2という方程式はZが奇数であるような自然数解を持つことがわかる。
0437１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 16:13:35
>>436の続き
方程式X^4-Y^4=Z^2ついて、X,Y,Zを、
Zが奇数でこの方程式を満たす(即ちX^4-Y^4=Z^2を満たす）
自然数解の中でXが最小なものであるとする。
X^4=Y^4+Z^2でZは奇数なので、互い素な自然数e,fを用いて
Y^2=2ef　Z=e^2-f^2　X^2=e^2+f^2　と書ける。
e,fはどちらか一方のみが奇数となるのでeを奇数と仮定する。
(fが奇数の場合は以下の議論のeとfを入れ替えればよい)
Y^2=2efでeとfが互いに素、eが奇数であることから自然数g,hによって
e=g^2　f=2h^2と書ける。このときeが奇数なのでgも奇数となる。
またX^2=e^2+f^2についてe,fが互いに素、eが奇数、fが偶数なので
互い素な自然数i,jがあってe=i^2-j^2　f=2ij　X=i^2+j^2と書ける。
f=2ijより2h^2=2ijなので、i,jが互いに素なことから
i,jはともに平方数。よって自然数k,lによってi=k^2,j=l^2と書ける。
このこととe=i^2-j^2,e=g^2よりk^4-l^4=g^2となる。またgは奇数。
X=i^2+j^2＞i^2=k^4　であり、kが自然数な事からX＞k
これはXの最小性に反する。
よって方程式x^4-x^4=z^2はzが奇数であるような自然数解をもたず、
このことから√x, √(x+1), √(x+2)が全て有理数であるような実数xは存在しない。
04384312006/01/22(日) 16:19:49
うっかりした、ごめん。フィボナッチの問題は√x, √(x+5), √(x+10) だった。
0439１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 16:59:16
>438
√x = 31/12, √(x+5) = 41/12,　√(x+10) = 49/12.
0440１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 23:45:46
なんで公差が１だと解ナシで、5だとヒボナッチ数列が関与してるん？
(どう関与してるのか不明だけど)なんか理由あるの？
0441１３２人目の素数さん2006/01/22(日) 23:47:49
>>440
フィボナッチ数列じゃなくて、フィボナッチ数列を考えたおっさんが解いた問題。
じゃなかったっけ？
0442１３２人目の素数さん2006/01/23(月) 00:11:42
>>440
大いにある。
0443１３２人目の素数さん2006/01/23(月) 00:53:30
11兆7,343億ドルの５％は日本円でいくらか求めよ
0444１３２人目の素数さん2006/01/23(月) 01:10:10
ｎを自然数, Ｐ(ｘ)をｎ次の多項式とする。
Ｐ(０), Ｐ(１),Ｐ(２),・・・, Ｐ(ｎ)が整数ならば、
全ての整数ｋに対してＰ(ｋ)は整数であることを証明せよ。
0445１３２人目の素数さん2006/01/23(月) 03:15:25
>>444
n>0, 0≦i,j≦n とする。
f_i(x) = x(x-1)…(x-i+1)･(x-i-1)…(x-n)/{i(i-1)…1･(-1)(-2)…(i-n)}
とおくと、
f_i(j) = δ(i,j) ゆえ,
Ｐ(x) = 納i=0,n] Ｐ(i)･f_i(x)　と表わせる。
補題↓により、k∈Z　⇒　Ｐ(k)∈Z.

〔補題〕k∈Z　⇒　f_i(k) ∈Z.
(略証)
f_i(x) = { x(x-1)…(x-i+1)/(i!) }･{ (x-i-1)…(x-n)/(n-i)! ･(-1)^(n-i)}.
0≦j≦n のとき
　f_i(j) = δ(i,j) ∈ Z.
k>n のとき
　f_i(k) = Ｃ[k,i]・Ｃ[k-i-1,n-i](-1)^(n-i) ∈ Z.
k<0 のとき
　f_i(k) = Ｃ[i-1+(-k),i](-1)^i・Ｃ[n+(-k),n-i] ∈ Z.
0446１３２人目の素数さん2006/01/23(月) 03:31:24
〔補題〕
　連続するi個の整数の積 k(k+1)(k+2)…(k+i-1) は i! で割り切れる。

(略証)
iに関する帰納法による。
i=1 のときは明らか。
i-1に対して成り立つとする。
　kに関する帰納法による。
　k=1 のときは明らか。
　k を1増やすと、(k+1)(k+2)…(k+i) - k(k+1)(k+2)…(k+i-1) = {(k+1)(k+2)…(k+i-1)}ｉゆえ、i!の倍数。
　k を1減らすと、(k-1)k(k+1)…(k+i-2) - k(k+1)…(k+i-1) = -{k(k+1)…(k+i-2)}ｉゆえ、i!の倍数。
よって iに対しても成り立つ。(終)
0447１３２人目の素数さん2006/01/25(水) 02:39:04
5辺の長さが1で残り1辺の長さがaの四面体ABCDがあり、AB=aである。
四面体ABCDの内部に2球C1,C2を
C1は3平面ABC,ACD,ADBに接するように、
C2は3平面CAB,CBD,CDAに接するように、
さらにC1とC2は外接しており、2球の半径は等しくなるようにとる。
aが0<a<√3の範囲を動くとき、C1の半径の最大値を求めよ。
0448１３２人目の素数さん2006/01/25(水) 05:50:09
>>410
で、これの完璧な解答は誰が出すの？
お願いします。
0449１３２人目の素数さん2006/01/25(水) 10:35:41
既に正解出てるだろ
それ見て考えろ、無能
0450１３２人目の素数さん2006/01/25(水) 11:01:00
>>449
そこを何とか。
0451１３２人目の素数さん2006/01/25(水) 23:25:37
空間内に半径a(a>0)の球Cがあり、Cの球面上に異なる2点A.Bを、線分AB上に点Pをとる。
A,BがCの球面上を動くとき、Cの中心Oに対して、AP・BPがOP^2以下になるような点P全体からなる立体の体積を求めよ。
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