★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
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0001１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 09:00:00解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
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0322１３２人目の素数さん
2005/12/30(金) 16:12:15題意を満たすn両編成で
最後尾の車両が赤なのををr(n)通り
最後尾の車両が赤でないのをa(n)通りとすると
r(2)=3 、a(n)=2
r(n+1)=r(n)+a(n)
a(n+1)=2*r(n) あとはこの漸化式をとく。
0323良問戦士 ◆ozOtJW9BFA
2005/12/30(金) 16:26:200324１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 02:54:13（問題）
x^(2/3)+y^(2/3)≦1、t≦x≦1、y≧0であらわされる領域をDtとしDtをx軸を中心に回転させて
できる領域の体積をVtとする。lim[t→1-0]Vt(1-t)^rが0でない有限の値に収束する
実数rの値をもとめよ。またそのときの極限値を求めよ。
0325１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 05:04:15ときますた。
r(n) = (2/3){2^n +(1/2)(-1)^n}
a(n) = (2/3){2^n -(-1)^n}
0326１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 16:09:080327１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 16:11:150328１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 03:40:36点対称な凸2n角形もどうよ？
0329１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 04:33:360330１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 04:35:080331１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 04:49:07点対称な凸2n角形もどうよう。
0332１３２人目の素数さん
2006/01/02(月) 05:51:180333１３２人目の素数さん
2006/01/02(月) 05:54:120334１３２人目の素数さん
2006/01/02(月) 12:45:21Ｄt: t≦x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ {1-x^(2/3)}^(3/2)
x≒1 のとき 1-x^(2/3) = (2/3)(1-x) + O((1-x)^2),
{1-x^(2/3)}^3 = (8/27)(1-x)^3 +O((1-x)^4) より
Ｖt = π∫[t,1] (y^2)dx = π∫[t,1] {1-x^(2/3)}^3 dx
= π∫[t,1] {(8/27)(1-x)^3 +O((1-x)^4)} dx
= π[ -(2/27)(1-x)^4 + O((1-x)^5) ](x=t,1)
= (2/27)π(1-t)^4 + O((1-t)^5).
r=-4, 極限値は (2/27)π.
0335１３２人目の素数さん
2006/01/03(火) 12:24:40bcをaで割ったあまりが1
caをbで割ったあまりが2
abをcで割ったあまりが3
の時、a,b,cを求めよ。
0336１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 00:21:08どうやって解くんだ？
0337１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 02:33:42とりあえず↓を代入して･･･
(a,b,c) = (7,23,158) (7,25,86) (7,27,62) (7,29,50) (7,33,38) (8,13,101) (9,11,32)
0338１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 09:45:23(ca-2)がbで割り切れ、
(ab-3)がcで割り切れる。
したがって、
(bc-1)(ca-2)(ab-3)がabcで割り切れる。このことから、
2ab+6bc+3ca-6がabcで割り切れる。
急用入ったから、ここで失礼。
多分、解けそうじゃね？
0339１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 10:00:080340１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 10:34:136 * 13 ≡ 1 (mod 7)
0341１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 12:28:06ﾌﾟｹﾞﾗ
0342１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 14:01:441＜a<b<cより、
2ab+6bc+3ca-6≧2*2*3 + 6*3*4 + 3*4*2 - 6 ＞0が成立する。
このため、2ab+6bc+3ca＞2ab+6bc+3ca-6≧abcが成立する。
したがって
2/c + 6/a + 3/b ＞ 1
が成立する。
また、bcをaで割ったあまりが1であることから、a,bの最大公約数は1、a,cの最大公約数は1
caをbで割ったあまりが2であることから、b,cの最大公約数は1または2。
1＜a＜b＜cなので、6/a＞3/b＞2/cが成立する。
従って、18/a ＞1が成立する。このことから、a=2,3,4,…,17となる。・・・場合わけ16パターンか・・・やるきしないなぁ。
abをcで割ったあまりが3なので、 ab=nc+3
acをbで割ったあまりが2なので、 ac=mb+2が成立する。 (m,nは自然数)
b=(3a+2n)/(a^2 - mn)なので、 a^2＞mnとなる。
また、m≦nであるとすると、mb+2=ac＞ab=nc+3＞nc+2＞mb+2となって矛盾するため、m＞nが成立する。
a=2の時、
4＞mn、m＞nなので、m=3,n=1、m=2,n=1となる。条件を満たすa,b,cは存在しない。
a=3の時
9＞mn、m＞nなので・・・・できるかﾎﾞｹ
誰か頼む
0343１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 14:59:53>>338の続き
1＜a<b<cより、
2ab+6bc+3ca-6≧2*2*3 + 6*3*4 + 3*4*2 - 6 ＞0が成立する。
このため、2ab+6bc+3ca＞2ab+6bc+3ca-6≧abcが成立する。
したがって
2/c + 6/a + 3/b ＞ 1
が成立する。
1＜a＜b＜cなので、6/a＞3/b＞2/cが成立する。
従って、18/a ＞1が成立する。このことから、a=2,3,4,…,17となる。
abをcで割ったあまりが3なので、 ab=nc+3
acをbで割ったあまりが2なので、 ac=mb+2が成立する。 (m,nは自然数)
b=(3a+2n)/(a^2 - mn)なので、 a^2＞mnとなる。
また、mb≦ncであるとすると、mb+2=ac＞ab=nc+3＞nc+2≧mb+2となって矛盾するため、mb＞ncが成立する。
ab=nc+3＜mb+3 b(a-m)＜3 となる。仮に、a＞mとするとb=1,2となって、矛盾。
a=mとすると、ac=ab+2なので、a(c-b)=2 a=m=2, c=b+1が成立する。
2b = n(b+1) + 3 なので、 b=(n+3)/(2-n)となり、n=1が成立する。b=4、c=5。これは条件を満たさない。
以上より、a＜mが成立する。
さらに、a,nの最大公約数はab=nc+3より、1または3、 a,mの最大公約数は1,または2。
これらの事を利用して場合わけを行う。
a=2の時。
4＞mn、 2＜mなので、 m=3,n=1が成立して、2b=c+3、2c=3b+2 これを満たすa,b,cは存在しない。
a=3の時。
9＞mn、3＜mなので、m=4,n=1・・・やっぱ駄目だ。誰かお願い。
0344１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 19:05:220345１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 11:22:570346１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 11:30:362n+1以下の奇数の総積をTとし、T/(2k+1)=T[k](k=0,1,…n)とする。
このとき、納0〜n](-1)^k*T[k]*[n]C[k]=(2n)!!を示せ。
0347１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 12:57:32模範解答をキボンネ！
0348１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 13:27:070349１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 13:44:080350１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 13:55:24確かに出すが・・・
今はまだその時は指定していない・・・
0351１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 17:15:430352１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 17:21:110353１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 17:59:320354１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 18:05:26私、胸、Ｅカップなんだけど
教えてくださらない？
0355１３２人目の素数さん
2006/01/06(金) 00:55:370356GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/01/06(金) 12:16:570357１３２人目の素数さん
2006/01/06(金) 16:58:20求めますた。
0<x<1 のとき sin(x^2) > sin(1)x^2 = (ax)^2.
∴ cos(x^2)^2 = 1 - sin(x^2)^2 < 1 - (ax)^4 < exp{-(ax)^4}.
∫[0,1] cos(x^2)^n dx < ∫[0,1] exp{-(n/2)(ax)^4} dx < ∫[0,∞) exp{-(n/2)(ax)^4} dx
= (1/a)･(2/n)^(1/4)･(1/4)∫[0,∞) y^(-3/4)･exp(-y) dy = (1/a)Γ(5/4)･(2/n)^(1/4)
= 1.1750…･(1/n)^(1/4) → 0 (n→∞)
ここで (n/2)(ax)^4 = y とおいた。dx =(1/a)･ (2/n)^(1/4)･(1/4)y^(-3/4)･dy,
sin(1)= 0.84147…, 1/a = 1.0901…, Γ(5/4) = 0.90640…
>356
頭を少し使う....
0358１３２人目の素数さん
2006/01/06(金) 17:09:480359１３２人目の素数さん
2006/01/06(金) 17:43:42ビシッと見本を見せてやってください
0360１３２人目の素数さん
2006/01/07(土) 13:52:410361１３２人目の素数さん
2006/01/07(土) 16:16:360362１３２人目の素数さん
2006/01/07(土) 16:21:31マルチ
0363１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 01:51:00違う。
0364１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 05:41:540365１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 10:28:060366１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 11:03:290367１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 12:38:18分った！！！
0368１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 19:41:580369１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 21:23:240,1,2,4
0370１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 23:28:40正の整数全体の個数を f(n) とする。このとき、
f(n+1) > f(n) であることを証明せよ。
0371１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 23:29:33(左辺) = 納k=0〜n] (-1)^k Ｃ[n,k] Ｔ/(2k+1)
= Ｔ納k=0〜n] (-1)^k Ｃ[n,k] ∫[x=0,1] x^(2k) dx
= Ｔ∫[x=0,1] 納k=0〜n] Ｃ[n,k] (-x^2)^k dx
= Ｔ∫[x=0,1] (1-x^2)^n dx
= Ｔ･I_n.
ここに I_n = ∫[x=0,1] (1-x^)^n dx とおいた。I_0=1.
∫(1-x^2)^n dx = ∫(1-x^2)^(n-1) dx - ∫(x^2)(1-x^2)^(n-1) dx
= {2n/(2n+1)}∫(1-x^2)^(n-1) dx + (1/2n)x(1-x^2)^n だから,
I_n = {2n/(2n+1)}I_(n-1) = …… = {(2n)!!/Ｔ}I_0 = (2n)!!/Ｔ …… (*).
∴ (左辺) = (2n)!! = (右辺).
*) 森口･宇田川･一松: ｢数学公式I｣, 岩波全書221, p.220 (1956.9)
第V編, 第1章, §46 (i)
0372略解
2006/01/09(月) 00:11:09n≧1のとき
nはn=2^a*b(aは0以上の整数、bは奇数)と書ける。
3^n-1={3^(2^a)-1}*[{3^(2^a)}^(b-1)+{3^(2^a)}^(b-1)+･･･+1]
{3^(2^a)}^(b-1)+{3^(2^a)}^(b-1)+･･･+1は奇数がb(=奇数)個あるので、当然奇数。
したがって、3^{(2^a)*b}-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる⇔3^(2^a)-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる
3^(2^a)-1=(3^2-1)(3^2+1)*･･･*[(3^2)^{2^(a-2)}+1]
3^2=4*2+1だから
(3^2)^s+1=(1+4*2)^s=2+4*2*Σ_[i=1,n]C(n,i)(4*2)^(i-1)だから
3^2+1、･･･、(3^2)^{2^(a-2)}+1を4で割った余りは2
したがって、3^2+1、･･･、(3^2)^{2^(a-2)}+1は偶数だが4で割り切れない
(3^2+1)*･･･*[(3^2)^{2^(a-2)}+1]は2^(a-1)で割り切れるが、2^aで割り切れない。
したがって
3^(2^a)-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる⇔2^a*b≦a-1+3=a+2
b≧3のとき
2^a*b≧3*(1+1)^a≧3(1+a)=3a+3＞a+2だから不適
b=1のとき
a=0,1,2のとき、確かに2^a≦a+2となる。
a≧3のとき
2^a=(1+1)^a≧1+a+a(a-1)/2＞a+2となって不適
n＝0のとき
3^0-1=0は当然2^0=1で割り切れる。
よって条件に合うのはn=0、1、2、4である。
0373１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 02:03:342乗して 2n-1桁になる自然数を [10^(n-1), M] とすると、3･10^(n-1) ≦ M < 4･10^(n-1)
2･10^(n-1) < f(2n-1) ≦ 3･10^(n-1).
2乗して 2n桁になる自然数を [m, (10^n)-1] とすると、3･10^(n-1) < m ≦ 4･10^(n-1)
6･10^(n-1) ≦ f(2n) < 7･10^(n-1).
より明らか。
0374１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 02:38:46任意のA内の点が直径２の円内に必ず含まれているようにする）ことができることを示せ。
0375１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 04:07:03次のようなゲームを考える。
N回まで振ることができ、途中でいつでもやめてよいとする。
このとき途中でやめたときは、最後に出た目が得点。
N回目まで振ったときはN回目の目が得点。
以上のようなルールのとき、得点が最大になる戦略とその期待値を
求めよ。
0376１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 04:26:04大体分かった。
戦略：n以上の目が出たときにやめる。
期待値En
nは少なくとも4以上。
で、あとは期待値Enを計算して、
Enが一番大きくなる時がベストな戦略。
計算で注意すべきなのは等比級数の計算とN回目の部分。
計算してないけど、予想だとたぶんn=5かな。
0377１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 08:26:28Nの関数になると思うけど…
0379１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 11:41:15後半にさしかかっても思うような目が出てこない場合は
比較的小さな値でも妥協するという戦略が>>376より
マシになると思う。
結婚相手を探す問題に類似性を感じるんだが
さくっと解く方法はしらんなぁ。
0380１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 11:49:49E(N) = f(N)/n E(n-1) + (7+f(N))(6-f(N))/(2n)
がもとめる期待値で、f(N)をどうするかっていう問題だな。
f(1) = 0, E(1) = 21 から始めて再帰的に f(N) と E(N) を計算していけばいいかな。
0381１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 12:10:02面積1の三角形の三辺の長さをx,y,zとする。
1/(x+y-z) + 1/(y+z-x) + 1/(z+x-y)
の最小値を求めよ。
0382１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 13:50:16x = (Y+Z)/2, y = (X+Z)/2, z = (X+Y)/2, x+y+z = X+Y+Z
s = (x+y+z)/2 = (X+Y+Z)/2
三角形の面積が1なので、
√s(s-x)(s-y)(x-z) = √((X+Y+Z)/2)(X/2)(Y/2)(Z/2) = 1
∴ √((X+Y+Z)XYZ) = 4 <=> XYZ(X+Y+Z) = 16 -- (1)
ところで相加相乗調和平均の不等式から
3/(1/X+1/Y+1/Z) <= (XYZ)^(1/3) <= (X+Y+Z)/3
∴ 3/(XYZ) <= (1/X+1/Y+1/Z)^3, 9/(X+Y+Z) <= 1/X+1/Y+1/Z
二式を辺辺掛け合わせて
27/(XYZ(X+Y+Z)) <= (1/X+1/Y+1/Z)^4
(1) より、(27/16)^(1/4) = 3^(3/4)/2 <= 1/X+1/Y+1/Z
等号成立は X=Y=Z、即ち x=y=z=2*3^(-1/3)
0383１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 14:12:09ところで 相加･相乗･調和平均の不等式から
3/(1/X+1/Y+1/Z) <= (XYZ)^(1/3) <= (X+Y+Z)/3
∴ 27/(XYZ) ≦ (1/X+1/Y+1/Z)^3, 9/(X+Y+Z) ≦ 1/X+1/Y+1/Z
二式を辺々掛け合わせて
(27･9)/(XYZ(X+Y+Z)) ≦ (1/X+1/Y+1/Z)^4
(1) より、(27･9/16)^(1/4) = 3^(1/4)･(3/2) ≦ 1/X+1/Y+1/Z
等号成立は X=Y=Z、即ち x=y=z=2*3^(-1/4) のとき。
0384１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 15:56:200385１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 16:00:41いやいや、これからも楽しい問題をお願いします。
0387１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 16:53:020388１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 17:44:140389１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 17:50:36訂正
凸六角形を、２つ以上の小さな凸六角形に分割せよ。
答えは、不可能なんだけど・・・それを敢えて教えないで出してみるという意図。
0391１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 18:17:49384≠386
0392１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 19:33:082005 = 18^2 + 41^2 = 22^2 + 39^2.
直角三角形ABCをとる。 A(-18^2,0), B(0,18x41), C(41^2,0)
相似比 △AOB：△BOC：△ABC = 18：41：√(2005)
△AOB を 18^2 等分し、△BOC を41^2 等分する。
直角三角形ABCをとる。 A(-22^2,0), B(0,22x39), C(39^2,0)
相似比 △AOB：△BOC：△ABC = 22：39：√(2005)
△AOB を 22^2 等分し、△BOC を39^2 等分する。
0393１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 19:58:33おま、天才？
0394１３２人目の素数さん
2006/01/10(火) 11:49:390395１３２人目の素数さん
2006/01/10(火) 22:41:21最も出る確率の高いサイの目の総和をN(n)とする。
N(n_1+n_2)とN(n_1)+N(n_2)の大小関係を比較せよ。
0396１３２人目の素数さん
2006/01/10(火) 23:05:25なんだとおら！
鉄入り作業靴で蹴り頃すぞ！
0397１３２人目の素数さん
2006/01/11(水) 00:04:40x(0)=y(0)=0、x(1)=y(1)=1を満たす。
この時、次の二つの問いに答えよ。
(1)
任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが無理数である。
という条件を満たすx(t)、y(t)の例を一つ求めよ。
(2)
任意の実数t∈(0,1)に対し、x(t)、y(t)のうち少なくとも一つが有理数である。
という条件を満たすx(t)、y(t)は存在するか。
0398１３２人目の素数さん
2006/01/12(木) 01:24:32(1) x(t)=t,
y(t) = √(1/2)･t （0≦t≦2-√2)
y(t) = 1-(√2)･(1-t) （2-√2≦t≦1)
(2) x(t)=2x, y(t)=0 (0≦t≦1/2)
x(t)=1, y(t)=2t-1 (1/2≦t≦1)
0399１３２人目の素数さん
2006/01/12(木) 11:00:073点O,A,Bを頂点とする正五角形の中心を通り、三角形OABを含む平面に垂直な直線をLとし、
正五角形OBDECの頂点D,EからLに下ろした垂線の足をそれぞれH,Kとする。
このときDH=EKを証明せよ。
0400399訂正
2006/01/12(木) 11:00:523点O,A,Bを頂点とする正五角形の中心を通り、三角形OABを含む平面に垂直な直線をLとし、
正五角形OBDECの頂点D,EからLに下ろした垂線の足をそれぞれH,Kとする。
このときDH=EKを証明せよ。
0401１３２人目の素数さん
2006/01/13(金) 09:02:42＜X＋Y＞_h ≦ ＜X＞_h ・ ＜Y＞_h
が 成り立つような最小の非負の実数h を求めなさい。
ここで、記号＜X＞_h は h ＋｜X｜＾２ の平方根を表します。
但し、｜X｜ はX のn 次元Euclidノルムで ｜X｜＾２ は｜X｜ の２乗を示します。
0402１３２人目の素数さん
2006/01/13(金) 09:22:59数学っていうより物理っぽいけど・・・
積み方は、上からk段目がk*kの正方形になるように並べるとして
n段目の上からl(ｴﾙ)行目、左からm列目のグラスにかかる力を求めよ
ただしグラスの形状は均一で質量はすべてM、重力加速度はgとし
あるグラスにかかる力は下のグラス４つに等しく伝わるものとする
問題文に穴あったらｺﾞﾏﾝﾅｻｲ
脳内補完していただけると幸いです
挙句どう見ても東大レベルじゃないっていうｗｗｗ
0403１３２人目の素数さん
2006/01/14(土) 12:13:26物理で分類すれば演習問題、数学で分類すれば二項定理あたり。
どちらにしろ教科書の基礎レベルだけど、こういうのは面白いよ。
そんなことばかり考えていると、いつの間にか脳内構造が東大レベルに上がっているという。
0404１３２人目の素数さん
2006/01/16(月) 02:20:00わかりません。
0405１３２人目の素数さん
2006/01/16(月) 20:24:570406405
2006/01/16(月) 20:25:55x²＝y³＋17を満たす正整数x，yの組を全て求めよ
0407１３２人目の素数さん
2006/01/16(月) 20:27:15漏れ作成者ですが解けませんでしたｗ
0408１３２人目の素数さん
2006/01/16(月) 23:31:33(5,2) (9,4) (23,8) (282,43) (375,52) (378661,5234)
0409１３２人目の素数さん
2006/01/17(火) 06:29:58解き方教えてくれー
0410１３２人目の素数さん
2006/01/18(水) 04:56:58OA、OB、OCのうち、少なくとも１つは長さが１以下であることを示せ。
0411１３２人目の素数さん
2006/01/18(水) 20:40:01Z会の広告問題じゃん
0412１３２人目の素数さん
2006/01/18(水) 20:58:07四面体ABCDと四面体EFGHの体積の比を求めよ。
0413１３２人目の素数さん
2006/01/18(水) 22:01:10これどうやって解くん？
0414１３２人目の素数さん
2006/01/18(水) 22:14:37とりあえずabcと置いてみたら
0415１３２人目の素数さん
2006/01/19(木) 02:46:25Oから見ると、OA↑,OB↑,OC↑ は90°の範囲内にある。
OB↑ は ∠AOCの中にあるとする。
∴ 0 < ∠AOB + ∠BOC = ∠AOC < 90°
cos(∠AOC) < cos(∠AOB)･cos(∠BOC) （← cosの加法定理）.
∴ 1/(ac) < 1/(bc)･1/(ab)
∴ b^2 <1.
0416１３２人目の素数さん
2006/01/19(木) 03:23:12誘導ついてなかった？
0417１３２人目の素数さん
2006/01/19(木) 03:23:52宿題は質問スレに行け！
0418１３２人目の素数さん
2006/01/19(木) 04:10:57どっかの類問
0419１３２人目の素数さん
2006/01/19(木) 11:50:18＞ Oから見ると、OA↑,OB↑,OC↑ は90°の範囲内にある。
解説希望。
特に点Oが△ABCの内部にある場合について、教えてくれ。
0420１３２人目の素数さん
2006/01/19(木) 12:04:510421１３２人目の素数さん
2006/01/19(木) 13:37:10■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています