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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています

0001１３２人目の素数さん

2005/12/08(木) 09:00:00

理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/

0283１３２人目の素数さん

2005/12/25(日) 23:29:03

>>282
ありがとう。もういいよ。問題文理解するために努力することはしない主義なんだ。
出題者によると>>264があってるらしいから>>264をがんぱってよめば理解できるのかも
しれないけど問題文理解するために解答よむって努力はする気になれん。
理解した瞬間答えわかってしまうんだから。

0284１３２人目の素数さん

2005/12/25(日) 23:29:04

馬鹿は放置でよろ

0285１３２人目の素数さん

2005/12/25(日) 23:31:26

どう見ても釣りです。
本当にありがとうございました。

0286１３２人目の素数さん

2005/12/25(日) 23:53:55

今更だが、このスレ朝9時ジャストに立ったんだな
入試っぽくていいね

0287１３２人目の素数さん

2005/12/26(月) 00:38:01

f(x)=Σ[k=0, 2n]|x-2n| （nは自然数）　とする。
(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。

0288287

2005/12/26(月) 00:41:25

訂正ﾇﾏﾇ

f(x)=Σ[k=0, 2n]|x-2k| （nは自然数）　とする。
(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。

0289287

2005/12/26(月) 00:52:18

あれ、まだ間違えてる。まじでごめん。

f(x)=Σ[k=0, 2n]|x-k| （nは自然数）　とする。
(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。

0290１３２人目の素数さん

2005/12/26(月) 01:13:16

[]

0291簡単かなぁ

2005/12/26(月) 20:26:43

コインをn回投げる時、表が2回続けて現れる確率は？

0292１３２人目の素数さん

2005/12/26(月) 20:33:38

題意不明瞭の揚足鳥問題ですか。
試験にはなるでしょうがｗ

0293ぐっちゃん ◆C6qWh73Y.g

2005/12/26(月) 20:37:57

5/6
(1/2)

すいません・・これどうやって解いたらいいですか？　お願いします。

0294ぐっちゃん ◆C6qWh73Y.g

2005/12/26(月) 20:41:08

あぁ、改行しちゃってすみません。
（２分の１）の６分の５乗です

0295１３２人目の素数さん

2005/12/26(月) 21:01:10

>>291
n = 1 の時 0

0296１３２人目の素数さん

2005/12/26(月) 21:58:40

>>291
こう？
　
{表,裏}の２文字をならべて表が２つつづかないながさnの文字列の数をAnとおく。
A1=＃{表、裏}=2、A2=＃{表裏、裏表、裏裏}=3。
長さn+2のそのような文字列は最後の文字が裏であるか
最後の２文字が裏表であるかにわけられて前者の個数はA[n+1]、後者の個数は
A[n]に等しいので漸化式A[n+2]=A[n+1]+A[n]をえる。これをといて
A[n]=(α^(n+2)-β^(n+2)}/(α-β) (ただしα=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2)
よってn回ふって表が２回つづく確率は
1-4(((1+√5)/4)^(n+2)-((1-√5)/4)^(n+2)}/√5。

0297１３２人目の素数さん

2005/12/27(火) 00:24:12

>>291
こう？

　　1 - A[n]/(2^n) = 1 - F_(n+2)/(2^n).

関連スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/

0298１３２人目の素数さん

2005/12/27(火) 02:11:41

>>289
(1) f(x) = (2n+1)(n-x) 　　(x<0)
　　= (2[x]-2n+1)x -[x]([x]+1) +n(2n+1)　　(0≦x<2n)
　　= (2n+1)(x-n)　　(x≧2n)
　　x<n では単調減少、x>n で単調増加だから f(x) ≧ f(n) = n(n+1).

(2) f(j) = n(n+1) -(j-n)^2　　　(0≦j≦2n)
f(j) ≦ y ≦ 2n^2 を満たす格子点の数は 2n^2 -f(j) +1 = n(n-1) +1 -(j-n)^2
　　S(n) = 納j=1,2n-1] {n(n-1) +1 -(j-n)^2 } = ……
　　lim[n→∞] S(n)/(n^3) = 4/3.

0299１３２人目の素数さん

2005/12/27(火) 02:30:59

１円硬貨、５円硬貨、１０円硬貨、５０円硬貨、１００円硬貨、５００円硬貨、１０００円札、２０００円札、５０００円札、１００００札を
つかってｎ円を支払うときのくみあわせの数をA[n]とする。たとえば１１円は１円硬貨１１枚、１円硬貨１枚１０円硬貨１枚、
１円硬貨１枚、５円硬貨２枚、１円硬貨６枚５円硬貨１枚、の計５通りの支払い方ができるのでA[11]=5である。
　
lim[n→∞]A[n]/n^rが０でない有限値に収束するrをもとめよ。またそのときの極限値をもとめよ。

0300１３２人目の素数さん

2005/12/27(火) 02:57:18

rは与えて極限だけを答えさせる形式でないと
ブラフ出題かと勘ぐってしまう。

0301１３２人目の素数さん

2005/12/27(火) 03:15:23

＞S(n) = 納j=1,2n-1] {n(n-1) +1 -(j-n)^2 }

0302１３２人目の素数さん

2005/12/27(火) 03:38:31

>>299
求めるオーダーは
(n/10000)・(1/2!)(n/5000)・(1/3!)(n/2000)・(1/4!)(n/1000)・(1/5!)(n/500)・(1/6!)(n/100)・(1/7!)(n/50)・(1/8!)(n/10)・(1/9!)(n/5)

0303299

2005/12/27(火) 19:53:09

>>302
ちがう･･･ハズ

0304１３２人目の素数さん

2005/12/28(水) 00:24:26

平面上に凸４角形ABCDが与えられている。動点Pが平面上をうごくとき
PA+PB+PC+PDが最小になるのはPがABCDの対角線の交点にあるときであることを示せ。

0305１３２人目の素数さん

2005/12/28(水) 01:12:31

>304
　三角不等式を使う。
　PA+PC≧AC,　等号はPが線分AC上にあるとき。
　PB+PD≧BD,　等号はPが線分BD上にあるとき。
　辺々たす。
　凸性により、対角線AC,BDの交点が存在する。(終)

0306１３２人目の素数さん

2005/12/28(水) 01:37:07

>>305
すばらしい。もひとつ。
平面上の鋭角三角形ABCが与えられている。動点Pが平面上をうごくとき
3PA+4PB+5PCが最小となる点OをとるとOはABCの外心となり
PA=PB=PC=1となった。△ABCの面積をもとめよ。

0307１３２人目の素数さん

2005/12/28(水) 01:38:41

しかし･･･想定外にあっさりとかれた。オレは結構なやんだんだけど。

0308水島寒月

2005/12/28(水) 01:38:51

>289
http://www.d4.dion.ne.jp/~zen/kubikukuri/

0309１３２人目の素数さん

2005/12/28(水) 02:00:36

>266
asteroid の面積について
a={1-(1/2)^(2/3)}^(3/2) として、
S/4 = (1/2)a + ∫[a,1/2] {1-x^(2/3)}^(3/2) dx,
x^(1/3)=s とおいて、 x=s^3, dx=3(s^2)ds
∫{1-x^(2/3)}^(3/2) dx = 3∫(1-s^2)^(3/2)･(s^2)ds
　= (3/16){arcsin(s)-s√(1-s^2)} +(1/2)(7/4 -s^2)(s^3)√(1-s^2) +c
以下ry)

0310１３２人目の素数さん

2005/12/28(水) 23:08:16

0311309

2005/12/29(木) 15:15:28

>>266
a = {1-(1/2)^(2/3)}^(3/2) = 0.225098232187283…
S/4 = (1/2)a + ∫[a,1/2] {1-x^(2/3)}^(3/2) dx
　= 0.112549116093641… +0.251717461029020… -0.155355966338664… = 0.208910610783997…
S = 0.83564244313599…

0312１３２人目の素数さん

2005/12/29(木) 20:32:03

難し過ぎたかな。

数列｛a_n ｝は任意のｎ≧１に対して
Σ（ｋ＝１→ｎ）（a_n）＾3　＝　（Σ（ｋ＝１→ｎ）a_n　）＾2
を満たすとする。
このとき、a_1・a_2・・・a_n　の最小値を求めよ。

0313１３２人目の素数さん

2005/12/29(木) 20:50:00

０。

0314１３２人目の素数さん

2005/12/29(木) 21:30:21

>>312
-(n-1) (n-1)! かな。
難しいって言うほどは難しくないけど、面白い問題かもね。

0315１３２人目の素数さん

2005/12/29(木) 21:43:23

＞Σ（ｋ＝１→ｎ）（a_n）＾3　＝　（Σ（ｋ＝１→ｎ）a_n　）＾2
　
これ当然a_nってa_kのまちがいだよね。
負の項がゆるされるならn≡2(mod 4)のとき実数Aにたいして
a_kn=A(-1)^kとおけば(a_k)^3=0、(蚤_k)^2=0でΠa_k=-A^nになって
最小値なしになる気がする。他の場合も最小値ないような気がする。　

0316１３２人目の素数さん

2005/12/30(金) 02:02:07

>312
　a_k =k　(k=1→n-1),
　a_n = -(n-1).
のとき。

0317１３２人目の素数さん

2005/12/30(金) 11:12:23

>>316
>>315はまちがってる？たとえばn=6のとき
A^3+(-A)^3+A^3+(-A)^3+A^3+(-A)^3=0=(A+(-A)+A+(-A)+A+(-A))^2
かつA(-A)A(-A)A(-A)=-A^6だから最小値ないと思うんだけど。

0318１３２人目の素数さん

2005/12/30(金) 11:34:38

問題文もまともに読めないカス

0319１３２人目の素数さん

2005/12/30(金) 13:09:00

問題文がおかしい

0320１３２人目の素数さん

2005/12/30(金) 13:57:37

>>312の問題文そのまま解釈すれば
左辺=n(a_n)^3、右辺=(n^2)(a_n)^2でとけばa_n=0 or n (∀n)
だからa_1・a_2・・・a_n　の最小値は0で>>313が正解だな。

0321良問戦士 ◆ozOtJW9BFA

2005/12/30(金) 16:05:02

先頭車両から順に1からｎまで番号のついたｎ両編成の列車がある。ただしｎ≧2とする。各車両を赤色、青色、黄色のいずれか1色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか？

0322１３２人目の素数さん

2005/12/30(金) 16:12:15

>>321
題意を満たすn両編成で
最後尾の車両が赤なのををr(n)通り
最後尾の車両が赤でないのをa(n)通りとすると
r(2)=3 、a(n)=2
r(n+1)=r(n)+a(n)
a(n+1)=2*r(n) あとはこの漸化式をとく。

0323良問戦士 ◆ozOtJW9BFA

2005/12/30(金) 16:26:20

>>322　御名答。

0324１３２人目の素数さん

2005/12/31(土) 02:54:13

実際の東大の過去問の改題みたいな感じで。
（問題）
x^(2/3)+y^(2/3)≦1、t≦x≦1、y≧0であらわされる領域をDtとしDtをx軸を中心に回転させて
できる領域の体積をVtとする。lim[t→1-0]Vt(1-t)^rが0でない有限の値に収束する
実数rの値をもとめよ。またそのときの極限値を求めよ。

0325１３２人目の素数さん

2005/12/31(土) 05:04:15

>322
　ときますた。
　r(n) = (2/3){2^n +(1/2)(-1)^n}
　a(n) = (2/3){2^n -(-1)^n}

0326１３２人目の素数さん

2005/12/31(土) 16:09:08

ごく最近の京大の問題をそのまんま載せてなんか意味あるの？

0327１３２人目の素数さん

2005/12/31(土) 16:11:15

冬休みだからな。

0328１３２人目の素数さん

2006/01/01(日) 03:40:36

>304,307　　　　　　　　　、
　点対称な凸2n角形もどうよ？

0329１３２人目の素数さん

2006/01/01(日) 04:33:36

要は中点が等しい２つ組いくつかに分けられるときはいつでもつかえるんだな。

0330１３２人目の素数さん

2006/01/01(日) 04:35:08

いや、中点である必要もないのか･･･

0331１３２人目の素数さん

2006/01/01(日) 04:49:07

>304, 307
　点対称な凸2n角形もどうよう。

0332１３２人目の素数さん

2006/01/02(月) 05:51:18

333

0333１３２人目の素数さん

2006/01/02(月) 05:54:12

age

0334１３２人目の素数さん

2006/01/02(月) 12:45:21

>324
　Ｄt:　t≦x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ {1-x^(2/3)}^(3/2)
　x≒1 のとき 1-x^(2/3) = (2/3)(1-x) + O((1-x)^2),
　　　{1-x^(2/3)}^3 = (8/27)(1-x)^3 +O((1-x)^4) より
　Ｖt = π∫[t,1] (y^2)dx = π∫[t,1] {1-x^(2/3)}^3 dx
　　= π∫[t,1] {(8/27)(1-x)^3 +O((1-x)^4)} dx
　　= π[ -(2/27)(1-x)^4 + O((1-x)^5) ](x=t,1)
　　= (2/27)π(1-t)^4 + O((1-t)^5).
　　r=-4,　極限値は (2/27)π.

0335１３２人目の素数さん

2006/01/03(火) 12:24:40

a,b,cを1＜a＜b＜cを満たす自然数とする。
bcをaで割ったあまりが1
caをbで割ったあまりが2
abをcで割ったあまりが3
の時、a,b,cを求めよ。

0336１３２人目の素数さん

2006/01/04(水) 00:21:08

>>335
どうやって解くんだ？

0337１３２人目の素数さん

2006/01/04(水) 02:33:42

>336
　とりあえず↓を代入して･･･

(a,b,c) = (7,23,158) (7,25,86) (7,27,62) (7,29,50) (7,33,38) (8,13,101) (9,11,32)

0338１３２人目の素数さん

2006/01/04(水) 09:45:23

(bc-1)がaで割り切れ、
(ca-2)がbで割り切れ、
(ab-3)がcで割り切れる。
したがって、

(bc-1)(ca-2)(ab-3)がabcで割り切れる。このことから、
2ab+6bc+3ca-6がabcで割り切れる。

急用入ったから、ここで失礼。
多分、解けそうじゃね？

0339１３２人目の素数さん

2006/01/04(水) 10:00:08

ｂｃがａで割って１余る→ｂとｃは、ともにａで割って１余る数

0340１３２人目の素数さん

2006/01/04(水) 10:34:13

>>339
6 * 13 ≡ 1 (mod 7)

0341１３２人目の素数さん

2006/01/04(水) 12:28:06

>>339
ﾌﾟｹﾞﾗ

0342１３２人目の素数さん

2006/01/04(水) 14:01:44

>>338の続き
1＜a<b<cより、
2ab+6bc+3ca-6≧2*2*3 + 6*3*4 + 3*4*2 - 6 ＞0が成立する。
このため、2ab+6bc+3ca＞2ab+6bc+3ca-6≧abcが成立する。
したがって
2/c + 6/a + 3/b ＞ 1
が成立する。
また、bcをaで割ったあまりが1であることから、a,bの最大公約数は1、a,cの最大公約数は1
caをbで割ったあまりが2であることから、b,cの最大公約数は1または2。

1＜a＜b＜cなので、6/a＞3/b＞2/cが成立する。
従って、18/a ＞1が成立する。このことから、a=2,3,4,…,17となる。・・・場合わけ16パターンか・・・やるきしないなぁ。

abをcで割ったあまりが3なので、　ab=nc+3
acをbで割ったあまりが2なので、　ac=mb+2が成立する。　(m,nは自然数)
b=(3a+2n)/(a^2 - mn)なので、　a^2＞mnとなる。
また、m≦nであるとすると、mb+2=ac＞ab=nc+3＞nc+2＞mb+2となって矛盾するため、m＞nが成立する。

a=2の時、
4＞mn、m＞nなので、m=3,n=1、m=2,n=1となる。条件を満たすa,b,cは存在しない。
a=3の時
9＞mn、m＞nなので・・・・できるかﾎﾞｹ

誰か頼む

0343１３２人目の素数さん

2006/01/04(水) 14:59:53

>>342訂正

>>338の続き
1＜a<b<cより、
2ab+6bc+3ca-6≧2*2*3 + 6*3*4 + 3*4*2 - 6 ＞0が成立する。
このため、2ab+6bc+3ca＞2ab+6bc+3ca-6≧abcが成立する。
したがって
2/c + 6/a + 3/b ＞ 1
が成立する。

1＜a＜b＜cなので、6/a＞3/b＞2/cが成立する。
従って、18/a ＞1が成立する。このことから、a=2,3,4,…,17となる。

abをcで割ったあまりが3なので、　ab=nc+3
acをbで割ったあまりが2なので、　ac=mb+2が成立する。　(m,nは自然数)
b=(3a+2n)/(a^2 - mn)なので、　a^2＞mnとなる。
また、mb≦ncであるとすると、mb+2=ac＞ab=nc+3＞nc+2≧mb+2となって矛盾するため、mb＞ncが成立する。

ab=nc+3＜mb+3　b(a-m)＜3　となる。仮に、a＞mとするとb=1,2となって、矛盾。
a=mとすると、ac=ab+2なので、a(c-b)=2　　a=m=2,　c=b+1が成立する。
2b = n(b+1) + 3　なので、　b=(n+3)/(2-n)となり、n=1が成立する。b=4、c=5。これは条件を満たさない。
以上より、a＜mが成立する。

さらに、a,nの最大公約数はab=nc+3より、1または3、　a,mの最大公約数は1,または2。

これらの事を利用して場合わけを行う。
a=2の時。
4＞mn、　2＜mなので、　m=3,n=1が成立して、2b=c+3、2c=3b+2　これを満たすa,b,cは存在しない。
a=3の時。
9＞mn、3＜mなので、m=4,n=1・・・やっぱ駄目だ。誰かお願い。

0344１３２人目の素数さん

2006/01/04(水) 19:05:22

整数問題は解く気がしない。

0345１３２人目の素数さん

2006/01/05(木) 11:22:57

>>296 >>297大正解だヨン様

0346１３２人目の素数さん

2006/01/05(木) 11:30:36

易しめで。

2n+1以下の奇数の総積をTとし、T/(2k+1)=T[k](k=0,1,…n)とする。
このとき、納0～n](-1)^k*T[k]*[n]C[k]=(2n)!!を示せ。

0347１３２人目の素数さん

2006/01/05(木) 12:57:32

>>346
模範解答をキボンネ！

0348１３２人目の素数さん

2006/01/05(木) 13:27:07

え・・・もう、ｷﾎﾞﾝﾇ？

0349１３２人目の素数さん

2006/01/05(木) 13:44:08

後で

0350１３２人目の素数さん

2006/01/05(木) 13:55:24

模範解答は出す・・・
確かに出すが・・・
今はまだその時は指定していない・・・

0351１３２人目の素数さん

2006/01/05(木) 17:15:43

(3^n-1)/2^nが整数となるようなnをすべて求めなさい。

0352１３２人目の素数さん

2006/01/05(木) 17:21:11

motomemashita

0353１３２人目の素数さん

2006/01/05(木) 17:59:32

n=0，2

0354１３２人目の素数さん

2006/01/05(木) 18:05:26

>>346
私、胸、Ｅカップなんだけど
教えてくださらない？

0355１３２人目の素数さん

2006/01/06(金) 00:55:37

lim[n→∞]∫[0,1] (cos(x^2))^n dx を求めよ。

0356GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w

2006/01/06(金) 12:16:57

talk:>>355 0になるのだろうが、大学入試でどうやって証明するのだ？

0357１３２人目の素数さん

2006/01/06(金) 16:58:20

>355
　求めますた。
　0<x<1 のとき sin(x^2) > sin(1)x^2 = (ax)^2.
　∴ cos(x^2)^2 = 1 - sin(x^2)^2 < 1 - (ax)^4 < exp{-(ax)^4}.
　∫[0,1] cos(x^2)^n dx < ∫[0,1] exp{-(n/2)(ax)^4} dx < ∫[0,∞) exp{-(n/2)(ax)^4} dx
　= (1/a)･(2/n)^(1/4)･(1/4)∫[0,∞) y^(-3/4)･exp(-y) dy = (1/a)Γ(5/4)･(2/n)^(1/4)
　= 1.1750…･(1/n)^(1/4) → 0　(n→∞)
　ここで (n/2)(ax)^4 = y とおいた。dx =(1/a)･ (2/n)^(1/4)･(1/4)y^(-3/4)･dy,
　sin(1)= 0.84147…,　1/a = 1.0901…,　Γ(5/4) = 0.90640…

>356
　頭を少し使う....

0358１３２人目の素数さん

2006/01/06(金) 17:09:48

わざわざ面倒くせえことやってんな

0359１３２人目の素数さん

2006/01/06(金) 17:43:42

>>358
ビシッと見本を見せてやってください

0360１３２人目の素数さん

2006/01/07(土) 13:52:41

gmj

0361１３２人目の素数さん

2006/01/07(土) 16:16:36

あげまん

0362１３２人目の素数さん

2006/01/07(土) 16:21:31

>>355
マルチ

0363１３２人目の素数さん

2006/01/08(日) 01:51:00

>353
違う。

0364１３２人目の素数さん

2006/01/08(日) 05:41:54

円周率3.14の続きを小数第百位まで自分で考えなさい

0365１３２人目の素数さん

2006/01/08(日) 10:28:06

計算しちゃ駄目なんか

0366１３２人目の素数さん

2006/01/08(日) 11:03:29

良スレage

0367１３２人目の素数さん

2006/01/08(日) 12:38:18

>>346
分った！！！

0368１３２人目の素数さん

2006/01/08(日) 19:41:58

>>335の解答は？

0369１３２人目の素数さん

2006/01/08(日) 21:23:24

>>351 の解答？
　0,1,2,4

0370１３２人目の素数さん

2006/01/08(日) 23:28:40

n = 1, 2, ... に対し、2乗してちょうどn桁の数となる
正の整数全体の個数を f(n) とする。このとき、
f(n+1) > f(n) であることを証明せよ。

0371１３２人目の素数さん

2006/01/08(日) 23:29:33

>>346
　(左辺) = 納k=0～n] (-1)^k Ｃ[n,k] Ｔ/(2k+1)
　= Ｔ納k=0～n] (-1)^k Ｃ[n,k] ∫[x=0,1] x^(2k) dx
　= Ｔ∫[x=0,1] 納k=0～n] Ｃ[n,k] (-x^2)^k dx
　= Ｔ∫[x=0,1] (1-x^2)^n dx
　= Ｔ･I_n.
　ここに I_n = ∫[x=0,1] (1-x^)^n dx とおいた。I_0=1.

　∫(1-x^2)^n dx = ∫(1-x^2)^(n-1) dx - ∫(x^2)(1-x^2)^(n-1) dx
　= {2n/(2n+1)}∫(1-x^2)^(n-1) dx + (1/2n)x(1-x^2)^n　だから,
　I_n = {2n/(2n+1)}I_(n-1) = …… = {(2n)!!/Ｔ}I_0 = (2n)!!/Ｔ　　……　(*).

　∴ (左辺) = (2n)!! = (右辺).

*) 森口･宇田川･一松: ｢数学公式I｣, 岩波全書221, p.220 (1956.9)
　　第V編, 第1章, §46 (i)

0372略解

2006/01/09(月) 00:11:09

>>351

n≧1のとき

nはn=2^a*b(aは0以上の整数、bは奇数)と書ける。
3^n-1={3^(2^a)-1}*[{3^(2^a)}^(b-1)+{3^(2^a)}^(b-1)+･･･+1]
{3^(2^a)}^(b-1)+{3^(2^a)}^(b-1)+･･･+1は奇数がb(=奇数)個あるので、当然奇数。
したがって、3^{(2^a)*b}-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる⇔3^(2^a)-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる

3^(2^a)-1=(3^2-1)(3^2+1)*･･･*[(3^2)^{2^(a-2)}+1]
3^2=4*2+1だから
(3^2)^s+1=(1+4*2)^s=2+4*2*Σ_[i=1,n]C(n,i)(4*2)^(i-1)だから
3^2+1、･･･、(3^2)^{2^(a-2)}+1を4で割った余りは2
したがって、3^2+1、･･･、(3^2)^{2^(a-2)}+1は偶数だが4で割り切れない
(3^2+1)*･･･*[(3^2)^{2^(a-2)}+1]は2^(a-1)で割り切れるが、2^aで割り切れない。
したがって
3^(2^a)-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる⇔2^a*b≦a-1+3=a+2

b≧3のとき
2^a*b≧3*(1+1)^a≧3(1+a)=3a+3＞a+2だから不適
b=1のとき
a=0,1,2のとき、確かに2^a≦a+2となる。
a≧3のとき
2^a=(1+1)^a≧1+a+a(a-1)/2＞a+2となって不適

n＝0のとき
3^0-1=0は当然2^0=1で割り切れる。

よって条件に合うのはn=0、1、2、4である。

0373１３２人目の素数さん

2006/01/09(月) 02:03:34

>>370
　2乗して 2n-1桁になる自然数を [10^(n-1), M] とすると、3･10^(n-1) ≦ M < 4･10^(n-1)
　　　2･10^(n-1) < f(2n-1) ≦ 3･10^(n-1).
　2乗して 2n桁になる自然数を [m, (10^n)-1] とすると、3･10^(n-1) < m ≦ 4･10^(n-1)
　　　6･10^(n-1) ≦ f(2n) < 7･10^(n-1).
　より明らか。

0374１３２人目の素数さん

2006/01/09(月) 02:38:46

直径５の円Aがある。この円を直径２の円９個を使って埋め尽くす（９個をうまく配置して、
任意のA内の点が直径２の円内に必ず含まれているようにする）ことができることを示せ。

0375１３２人目の素数さん

2006/01/09(月) 04:07:03

１から６までのさいころを１つ使い（出目は同様に確からしいとする）
次のようなゲームを考える。
N回まで振ることができ、途中でいつでもやめてよいとする。
このとき途中でやめたときは、最後に出た目が得点。
N回目まで振ったときはN回目の目が得点。
以上のようなルールのとき、得点が最大になる戦略とその期待値を
求めよ。

0376１３２人目の素数さん

2006/01/09(月) 04:26:04

>>375
大体分かった。

戦略：n以上の目が出たときにやめる。
期待値En
nは少なくとも4以上。
で、あとは期待値Enを計算して、
Enが一番大きくなる時がベストな戦略。
計算で注意すべきなのは等比級数の計算とN回目の部分。

計算してないけど、予想だとたぶんn=5かな。

0377１３２人目の素数さん

2006/01/09(月) 08:26:28

>>376

Nの関数になると思うけど…

0378小牧愛佳 ◆u/3FmANAKA

2006/01/09(月) 09:42:55

>>376
ブラックジャック理論

0379１３２人目の素数さん

2006/01/09(月) 11:41:15

多分前半は、できるだけ大きい数狙いで振りつづけて
後半にさしかかっても思うような目が出てこない場合は
比較的小さな値でも妥協するという戦略が>>376より
マシになると思う。

結婚相手を探す問題に類似性を感じるんだが
さくっと解く方法はしらんなぁ。

0380１３２人目の素数さん

2006/01/09(月) 11:49:49

N回振れるときに、一回目の戦略を「f(N) 以下なら振りなおす」とすると
E(N) = f(N)/n E(n-1) + (7+f(N))(6-f(N))/(2n)
がもとめる期待値で、f(N)をどうするかっていう問題だな。

f(1) = 0, E(1) = 21 から始めて再帰的に f(N) と E(N) を計算していけばいいかな。

0381１３２人目の素数さん

2006/01/09(月) 12:10:02

簡単な問題いきます。

面積1の三角形の三辺の長さをx,y,zとする。
1/(x+y-z) + 1/(y+z-x) + 1/(z+x-y)
の最小値を求めよ。

0382１３２人目の素数さん

2006/01/09(月) 13:50:16

X = y+z-x > 0, Y = x+z-y > 0, Z = x+y-z > 0 とすると
x = (Y+Z)/2, y = (X+Z)/2, z = (X+Y)/2, x+y+z = X+Y+Z
s = (x+y+z)/2 = (X+Y+Z)/2

三角形の面積が1なので、
√s(s-x)(s-y)(x-z) = √((X+Y+Z)/2)(X/2)(Y/2)(Z/2) = 1
∴ √((X+Y+Z)XYZ) = 4 <=> XYZ(X+Y+Z) = 16 -- (1)

ところで相加相乗調和平均の不等式から
3/(1/X+1/Y+1/Z) <= (XYZ)^(1/3) <= (X+Y+Z)/3
∴ 3/(XYZ) <= (1/X+1/Y+1/Z)^3, 9/(X+Y+Z) <= 1/X+1/Y+1/Z
二式を辺辺掛け合わせて
27/(XYZ(X+Y+Z)) <= (1/X+1/Y+1/Z)^4
(1) より、(27/16)^(1/4) = 3^(3/4)/2 <= 1/X+1/Y+1/Z
等号成立は X=Y=Z、即ち x=y=z=2*3^(-1/3)

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