★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
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0001１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 09:00:00解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
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0282１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 23:21:58問題文に難ありだが
まだ理解できない君もすごい。
0283１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 23:29:03ありがとう。もういいよ。問題文理解するために努力することはしない主義なんだ。
出題者によると>>264があってるらしいから>>264をがんぱってよめば理解できるのかも
しれないけど問題文理解するために解答よむって努力はする気になれん。
理解した瞬間答えわかってしまうんだから。
0284１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 23:29:040285１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 23:31:26本当にありがとうございました。
0286１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 23:53:55入試っぽくていいね
0287１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 00:38:01(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。
0288287
2005/12/26(月) 00:41:25f(x)=Σ[k=0, 2n]|x-2k| （nは自然数） とする。
(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。
0289287
2005/12/26(月) 00:52:18f(x)=Σ[k=0, 2n]|x-k| （nは自然数） とする。
(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。
0290１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 01:13:160291簡単かなぁ
2005/12/26(月) 20:26:430292１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 20:33:38試験にはなるでしょうがｗ
0293ぐっちゃん ◆C6qWh73Y.g
2005/12/26(月) 20:37:57(1/2)
すいません・・これどうやって解いたらいいですか？ お願いします。
0294ぐっちゃん ◆C6qWh73Y.g
2005/12/26(月) 20:41:08（２分の１）の６分の５乗です
0295１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 21:01:10n = 1 の時 0
0296１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 21:58:40こう？
{表,裏}の２文字をならべて表が２つつづかないながさnの文字列の数をAnとおく。
A1=＃{表、裏}=2、A2=＃{表裏、裏表、裏裏}=3。
長さn+2のそのような文字列は最後の文字が裏であるか
最後の２文字が裏表であるかにわけられて前者の個数はA[n+1]、後者の個数は
A[n]に等しいので漸化式A[n+2]=A[n+1]+A[n]をえる。これをといて
A[n]=(α^(n+2)-β^(n+2)}/(α-β) (ただしα=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2)
よってn回ふって表が２回つづく確率は
1-4(((1+√5)/4)^(n+2)-((1-√5)/4)^(n+2)}/√5。
0297１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 00:24:12こう？
1 - A[n]/(2^n) = 1 - F_(n+2)/(2^n).
関連スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/
0298１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 02:11:41(1) f(x) = (2n+1)(n-x) (x<0)
= (2[x]-2n+1)x -[x]([x]+1) +n(2n+1) (0≦x<2n)
= (2n+1)(x-n) (x≧2n)
x<n では単調減少、x>n で単調増加 だから f(x) ≧ f(n) = n(n+1).
(2) f(j) = n(n+1) -(j-n)^2 (0≦j≦2n)
f(j) ≦ y ≦ 2n^2 を満たす格子点の数は 2n^2 -f(j) +1 = n(n-1) +1 -(j-n)^2
S(n) = 納j=1,2n-1] {n(n-1) +1 -(j-n)^2 } = ……
lim[n→∞] S(n)/(n^3) = 4/3.
0299１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 02:30:59つかってｎ円を支払うときのくみあわせの数をA[n]とする。たとえば１１円は１円硬貨１１枚、１円硬貨１枚１０円硬貨１枚、
１円硬貨１枚、５円硬貨２枚、１円硬貨６枚５円硬貨１枚、の計５通りの支払い方ができるのでA[11]=5である。
lim[n→∞]A[n]/n^rが０でない有限値に収束するrをもとめよ。またそのときの極限値をもとめよ。
0300１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 02:57:18ブラフ出題かと勘ぐってしまう。
0301１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 03:15:230302１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 03:38:31求めるオーダーは
(n/10000)・(1/2!)(n/5000)・(1/3!)(n/2000)・(1/4!)(n/1000)・(1/5!)(n/500)・(1/6!)(n/100)・(1/7!)(n/50)・(1/8!)(n/10)・(1/9!)(n/5)
0304１３２人目の素数さん
2005/12/28(水) 00:24:26PA+PB+PC+PDが最小になるのはPがABCDの対角線の交点にあるときであることを示せ。
0305１３２人目の素数さん
2005/12/28(水) 01:12:31三角不等式を使う。
PA+PC≧AC, 等号はPが線分AC上にあるとき。
PB+PD≧BD, 等号はPが線分BD上にあるとき。
辺々たす。
凸性により、対角線AC,BDの交点が存在する。(終)
0306１３２人目の素数さん
2005/12/28(水) 01:37:07すばらしい。もひとつ。
平面上の鋭角三角形ABCが与えられている。動点Pが平面上をうごくとき
3PA+4PB+5PCが最小となる点OをとるとOはABCの外心となり
PA=PB=PC=1となった。△ABCの面積をもとめよ。
0307１３２人目の素数さん
2005/12/28(水) 01:38:410308水島寒月
2005/12/28(水) 01:38:51http://www.d4.dion.ne.jp/~zen/kubikukuri/
0309１３２人目の素数さん
2005/12/28(水) 02:00:36asteroid の面積について
a={1-(1/2)^(2/3)}^(3/2) として、
S/4 = (1/2)a + ∫[a,1/2] {1-x^(2/3)}^(3/2) dx,
x^(1/3)=s とおいて、 x=s^3, dx=3(s^2)ds
∫{1-x^(2/3)}^(3/2) dx = 3∫(1-s^2)^(3/2)･(s^2)ds
= (3/16){arcsin(s)-s√(1-s^2)} +(1/2)(7/4 -s^2)(s^3)√(1-s^2) +c
以下ry)
0310１３２人目の素数さん
2005/12/28(水) 23:08:160311309
2005/12/29(木) 15:15:28a = {1-(1/2)^(2/3)}^(3/2) = 0.225098232187283…
S/4 = (1/2)a + ∫[a,1/2] {1-x^(2/3)}^(3/2) dx
= 0.112549116093641… +0.251717461029020… -0.155355966338664… = 0.208910610783997…
S = 0.83564244313599…
0312１３２人目の素数さん
2005/12/29(木) 20:32:03数列｛a_n ｝は任意のｎ≧１に対して
Σ（ｋ＝１→ｎ）（a_n）＾3 ＝ （Σ（ｋ＝１→ｎ）a_n ）＾2
を満たすとする。
このとき、a_1・a_2・・・a_n の最小値を求めよ。
0313１３２人目の素数さん
2005/12/29(木) 20:50:000314１３２人目の素数さん
2005/12/29(木) 21:30:21-(n-1) (n-1)! かな。
難しいって言うほどは難しくないけど、面白い問題かもね。
0315１３２人目の素数さん
2005/12/29(木) 21:43:23これ当然a_nってa_kのまちがいだよね。
負の項がゆるされるならn≡2(mod 4)のとき実数Aにたいして
a_kn=A(-1)^kとおけば(a_k)^3=0、(蚤_k)^2=0でΠa_k=-A^nになって
最小値なしになる気がする。他の場合も最小値ないような気がする。
0316１３２人目の素数さん
2005/12/30(金) 02:02:07a_k =k (k=1→n-1),
a_n = -(n-1).
のとき。
0317１３２人目の素数さん
2005/12/30(金) 11:12:23>>315はまちがってる？たとえばn=6のとき
A^3+(-A)^3+A^3+(-A)^3+A^3+(-A)^3=0=(A+(-A)+A+(-A)+A+(-A))^2
かつA(-A)A(-A)A(-A)=-A^6だから最小値ないと思うんだけど。
0318１３２人目の素数さん
2005/12/30(金) 11:34:380319１３２人目の素数さん
2005/12/30(金) 13:09:000320１３２人目の素数さん
2005/12/30(金) 13:57:37左辺=n(a_n)^3、右辺=(n^2)(a_n)^2でとけばa_n=0 or n (∀n)
だからa_1・a_2・・・a_n の最小値は0で>>313が正解だな。
0321良問戦士 ◆ozOtJW9BFA
2005/12/30(金) 16:05:020322１３２人目の素数さん
2005/12/30(金) 16:12:15題意を満たすn両編成で
最後尾の車両が赤なのををr(n)通り
最後尾の車両が赤でないのをa(n)通りとすると
r(2)=3 、a(n)=2
r(n+1)=r(n)+a(n)
a(n+1)=2*r(n) あとはこの漸化式をとく。
0323良問戦士 ◆ozOtJW9BFA
2005/12/30(金) 16:26:200324１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 02:54:13（問題）
x^(2/3)+y^(2/3)≦1、t≦x≦1、y≧0であらわされる領域をDtとしDtをx軸を中心に回転させて
できる領域の体積をVtとする。lim[t→1-0]Vt(1-t)^rが0でない有限の値に収束する
実数rの値をもとめよ。またそのときの極限値を求めよ。
0325１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 05:04:15ときますた。
r(n) = (2/3){2^n +(1/2)(-1)^n}
a(n) = (2/3){2^n -(-1)^n}
0326１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 16:09:080327１３２人目の素数さん
2005/12/31(土) 16:11:150328１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 03:40:36点対称な凸2n角形もどうよ？
0329１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 04:33:360330１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 04:35:080331１３２人目の素数さん
2006/01/01(日) 04:49:07点対称な凸2n角形もどうよう。
0332１３２人目の素数さん
2006/01/02(月) 05:51:180333１３２人目の素数さん
2006/01/02(月) 05:54:120334１３２人目の素数さん
2006/01/02(月) 12:45:21Ｄt: t≦x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ {1-x^(2/3)}^(3/2)
x≒1 のとき 1-x^(2/3) = (2/3)(1-x) + O((1-x)^2),
{1-x^(2/3)}^3 = (8/27)(1-x)^3 +O((1-x)^4) より
Ｖt = π∫[t,1] (y^2)dx = π∫[t,1] {1-x^(2/3)}^3 dx
= π∫[t,1] {(8/27)(1-x)^3 +O((1-x)^4)} dx
= π[ -(2/27)(1-x)^4 + O((1-x)^5) ](x=t,1)
= (2/27)π(1-t)^4 + O((1-t)^5).
r=-4, 極限値は (2/27)π.
0335１３２人目の素数さん
2006/01/03(火) 12:24:40bcをaで割ったあまりが1
caをbで割ったあまりが2
abをcで割ったあまりが3
の時、a,b,cを求めよ。
0336１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 00:21:08どうやって解くんだ？
0337１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 02:33:42とりあえず↓を代入して･･･
(a,b,c) = (7,23,158) (7,25,86) (7,27,62) (7,29,50) (7,33,38) (8,13,101) (9,11,32)
0338１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 09:45:23(ca-2)がbで割り切れ、
(ab-3)がcで割り切れる。
したがって、
(bc-1)(ca-2)(ab-3)がabcで割り切れる。このことから、
2ab+6bc+3ca-6がabcで割り切れる。
急用入ったから、ここで失礼。
多分、解けそうじゃね？
0339１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 10:00:080340１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 10:34:136 * 13 ≡ 1 (mod 7)
0341１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 12:28:06ﾌﾟｹﾞﾗ
0342１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 14:01:441＜a<b<cより、
2ab+6bc+3ca-6≧2*2*3 + 6*3*4 + 3*4*2 - 6 ＞0が成立する。
このため、2ab+6bc+3ca＞2ab+6bc+3ca-6≧abcが成立する。
したがって
2/c + 6/a + 3/b ＞ 1
が成立する。
また、bcをaで割ったあまりが1であることから、a,bの最大公約数は1、a,cの最大公約数は1
caをbで割ったあまりが2であることから、b,cの最大公約数は1または2。
1＜a＜b＜cなので、6/a＞3/b＞2/cが成立する。
従って、18/a ＞1が成立する。このことから、a=2,3,4,…,17となる。・・・場合わけ16パターンか・・・やるきしないなぁ。
abをcで割ったあまりが3なので、 ab=nc+3
acをbで割ったあまりが2なので、 ac=mb+2が成立する。 (m,nは自然数)
b=(3a+2n)/(a^2 - mn)なので、 a^2＞mnとなる。
また、m≦nであるとすると、mb+2=ac＞ab=nc+3＞nc+2＞mb+2となって矛盾するため、m＞nが成立する。
a=2の時、
4＞mn、m＞nなので、m=3,n=1、m=2,n=1となる。条件を満たすa,b,cは存在しない。
a=3の時
9＞mn、m＞nなので・・・・できるかﾎﾞｹ
誰か頼む
0343１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 14:59:53>>338の続き
1＜a<b<cより、
2ab+6bc+3ca-6≧2*2*3 + 6*3*4 + 3*4*2 - 6 ＞0が成立する。
このため、2ab+6bc+3ca＞2ab+6bc+3ca-6≧abcが成立する。
したがって
2/c + 6/a + 3/b ＞ 1
が成立する。
1＜a＜b＜cなので、6/a＞3/b＞2/cが成立する。
従って、18/a ＞1が成立する。このことから、a=2,3,4,…,17となる。
abをcで割ったあまりが3なので、 ab=nc+3
acをbで割ったあまりが2なので、 ac=mb+2が成立する。 (m,nは自然数)
b=(3a+2n)/(a^2 - mn)なので、 a^2＞mnとなる。
また、mb≦ncであるとすると、mb+2=ac＞ab=nc+3＞nc+2≧mb+2となって矛盾するため、mb＞ncが成立する。
ab=nc+3＜mb+3 b(a-m)＜3 となる。仮に、a＞mとするとb=1,2となって、矛盾。
a=mとすると、ac=ab+2なので、a(c-b)=2 a=m=2, c=b+1が成立する。
2b = n(b+1) + 3 なので、 b=(n+3)/(2-n)となり、n=1が成立する。b=4、c=5。これは条件を満たさない。
以上より、a＜mが成立する。
さらに、a,nの最大公約数はab=nc+3より、1または3、 a,mの最大公約数は1,または2。
これらの事を利用して場合わけを行う。
a=2の時。
4＞mn、 2＜mなので、 m=3,n=1が成立して、2b=c+3、2c=3b+2 これを満たすa,b,cは存在しない。
a=3の時。
9＞mn、3＜mなので、m=4,n=1・・・やっぱ駄目だ。誰かお願い。
0344１３２人目の素数さん
2006/01/04(水) 19:05:220345１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 11:22:570346１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 11:30:362n+1以下の奇数の総積をTとし、T/(2k+1)=T[k](k=0,1,…n)とする。
このとき、納0〜n](-1)^k*T[k]*[n]C[k]=(2n)!!を示せ。
0347１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 12:57:32模範解答をキボンネ！
0348１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 13:27:070349１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 13:44:080350１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 13:55:24確かに出すが・・・
今はまだその時は指定していない・・・
0351１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 17:15:430352１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 17:21:110353１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 17:59:320354１３２人目の素数さん
2006/01/05(木) 18:05:26私、胸、Ｅカップなんだけど
教えてくださらない？
0355１３２人目の素数さん
2006/01/06(金) 00:55:370356GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2006/01/06(金) 12:16:570357１３２人目の素数さん
2006/01/06(金) 16:58:20求めますた。
0<x<1 のとき sin(x^2) > sin(1)x^2 = (ax)^2.
∴ cos(x^2)^2 = 1 - sin(x^2)^2 < 1 - (ax)^4 < exp{-(ax)^4}.
∫[0,1] cos(x^2)^n dx < ∫[0,1] exp{-(n/2)(ax)^4} dx < ∫[0,∞) exp{-(n/2)(ax)^4} dx
= (1/a)･(2/n)^(1/4)･(1/4)∫[0,∞) y^(-3/4)･exp(-y) dy = (1/a)Γ(5/4)･(2/n)^(1/4)
= 1.1750…･(1/n)^(1/4) → 0 (n→∞)
ここで (n/2)(ax)^4 = y とおいた。dx =(1/a)･ (2/n)^(1/4)･(1/4)y^(-3/4)･dy,
sin(1)= 0.84147…, 1/a = 1.0901…, Γ(5/4) = 0.90640…
>356
頭を少し使う....
0358１３２人目の素数さん
2006/01/06(金) 17:09:480359１３２人目の素数さん
2006/01/06(金) 17:43:42ビシッと見本を見せてやってください
0360１３２人目の素数さん
2006/01/07(土) 13:52:410361１３２人目の素数さん
2006/01/07(土) 16:16:360362１３２人目の素数さん
2006/01/07(土) 16:21:31マルチ
0363１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 01:51:00違う。
0364１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 05:41:540365１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 10:28:060366１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 11:03:290367１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 12:38:18分った！！！
0368１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 19:41:580369１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 21:23:240,1,2,4
0370１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 23:28:40正の整数全体の個数を f(n) とする。このとき、
f(n+1) > f(n) であることを証明せよ。
0371１３２人目の素数さん
2006/01/08(日) 23:29:33(左辺) = 納k=0〜n] (-1)^k Ｃ[n,k] Ｔ/(2k+1)
= Ｔ納k=0〜n] (-1)^k Ｃ[n,k] ∫[x=0,1] x^(2k) dx
= Ｔ∫[x=0,1] 納k=0〜n] Ｃ[n,k] (-x^2)^k dx
= Ｔ∫[x=0,1] (1-x^2)^n dx
= Ｔ･I_n.
ここに I_n = ∫[x=0,1] (1-x^)^n dx とおいた。I_0=1.
∫(1-x^2)^n dx = ∫(1-x^2)^(n-1) dx - ∫(x^2)(1-x^2)^(n-1) dx
= {2n/(2n+1)}∫(1-x^2)^(n-1) dx + (1/2n)x(1-x^2)^n だから,
I_n = {2n/(2n+1)}I_(n-1) = …… = {(2n)!!/Ｔ}I_0 = (2n)!!/Ｔ …… (*).
∴ (左辺) = (2n)!! = (右辺).
*) 森口･宇田川･一松: ｢数学公式I｣, 岩波全書221, p.220 (1956.9)
第V編, 第1章, §46 (i)
0372略解
2006/01/09(月) 00:11:09n≧1のとき
nはn=2^a*b(aは0以上の整数、bは奇数)と書ける。
3^n-1={3^(2^a)-1}*[{3^(2^a)}^(b-1)+{3^(2^a)}^(b-1)+･･･+1]
{3^(2^a)}^(b-1)+{3^(2^a)}^(b-1)+･･･+1は奇数がb(=奇数)個あるので、当然奇数。
したがって、3^{(2^a)*b}-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる⇔3^(2^a)-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる
3^(2^a)-1=(3^2-1)(3^2+1)*･･･*[(3^2)^{2^(a-2)}+1]
3^2=4*2+1だから
(3^2)^s+1=(1+4*2)^s=2+4*2*Σ_[i=1,n]C(n,i)(4*2)^(i-1)だから
3^2+1、･･･、(3^2)^{2^(a-2)}+1を4で割った余りは2
したがって、3^2+1、･･･、(3^2)^{2^(a-2)}+1は偶数だが4で割り切れない
(3^2+1)*･･･*[(3^2)^{2^(a-2)}+1]は2^(a-1)で割り切れるが、2^aで割り切れない。
したがって
3^(2^a)-1が2^{(2^a)*b}で割り切れる⇔2^a*b≦a-1+3=a+2
b≧3のとき
2^a*b≧3*(1+1)^a≧3(1+a)=3a+3＞a+2だから不適
b=1のとき
a=0,1,2のとき、確かに2^a≦a+2となる。
a≧3のとき
2^a=(1+1)^a≧1+a+a(a-1)/2＞a+2となって不適
n＝0のとき
3^0-1=0は当然2^0=1で割り切れる。
よって条件に合うのはn=0、1、2、4である。
0373１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 02:03:342乗して 2n-1桁になる自然数を [10^(n-1), M] とすると、3･10^(n-1) ≦ M < 4･10^(n-1)
2･10^(n-1) < f(2n-1) ≦ 3･10^(n-1).
2乗して 2n桁になる自然数を [m, (10^n)-1] とすると、3･10^(n-1) < m ≦ 4･10^(n-1)
6･10^(n-1) ≦ f(2n) < 7･10^(n-1).
より明らか。
0374１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 02:38:46任意のA内の点が直径２の円内に必ず含まれているようにする）ことができることを示せ。
0375１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 04:07:03次のようなゲームを考える。
N回まで振ることができ、途中でいつでもやめてよいとする。
このとき途中でやめたときは、最後に出た目が得点。
N回目まで振ったときはN回目の目が得点。
以上のようなルールのとき、得点が最大になる戦略とその期待値を
求めよ。
0376１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 04:26:04大体分かった。
戦略：n以上の目が出たときにやめる。
期待値En
nは少なくとも4以上。
で、あとは期待値Enを計算して、
Enが一番大きくなる時がベストな戦略。
計算で注意すべきなのは等比級数の計算とN回目の部分。
計算してないけど、予想だとたぶんn=5かな。
0377１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 08:26:28Nの関数になると思うけど…
0379１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 11:41:15後半にさしかかっても思うような目が出てこない場合は
比較的小さな値でも妥協するという戦略が>>376より
マシになると思う。
結婚相手を探す問題に類似性を感じるんだが
さくっと解く方法はしらんなぁ。
0380１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 11:49:49E(N) = f(N)/n E(n-1) + (7+f(N))(6-f(N))/(2n)
がもとめる期待値で、f(N)をどうするかっていう問題だな。
f(1) = 0, E(1) = 21 から始めて再帰的に f(N) と E(N) を計算していけばいいかな。
0381１３２人目の素数さん
2006/01/09(月) 12:10:02面積1の三角形の三辺の長さをx,y,zとする。
1/(x+y-z) + 1/(y+z-x) + 1/(z+x-y)
の最小値を求めよ。
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