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4直線 x=0,x=1,y=0,y=1 で囲まれた正方形を考え、P(a,0), Q(0,1-a) とする。(0<a<1)
線分PQ: y=(1-a)(1-x/a) は点A(a^2, (1-a)^2)を通り、傾きが -(1-a)/a である。
0<a<1 なるすべてのaについて点A(a^2, (1-a)^2) を通る曲線は √x +√y =1.
また、Aでの傾きも線分PQの傾きと一致するから、曲線 √x +√y =1 はPQたちの包絡線である。
4頂点に対応して4本の曲線があり、互いに交わっている。境界となるのは
　(1/2,(3/2)-√2) 〜 ((3/2)-√2,1/2)
の部分である。軸を45°回転して、
　u=(x-y)/√2,　v=(x+y)/√2.
とおくと、上記の曲線は
　v = (u^2 +1/2)/√2,　|u|≦ 1-√(1/2).
(放物線の一部)である。

I = 2∫[0,1-√(1/2)] {(u^2 +1/2)/√2}du = (√2)∫[0,1-√(1/2)] (u^2 +1/2)du
　= (√2)[(1/3)u^3 +(1/2)u ](u:0→1-√(1/2)) = (4√2 -5)/3.
S/4 = I + {(3/2)-√2}^2 - {1-√(1/2)}^2 = I + {(3/2)-√2}^2 - {(3/2)-√2}
　　= I + {(3/2)-√2}{(1/2)-√2} = (4√2 -5)/3 - (2√2 -11/4) = (13-8√2)/12
S = (13-8√2)/3 = 0.5620971670050…….