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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 09:00:00
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0233１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 02:48:42
xyz空間に次の条件を満たすような長さ2の線分ABがある。

条件
点Aはxy平面上にある。
線分ABは点(0,0,1)を含む。

このとき線分ABの存在しうる領域の体積を求めよ。
0234１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 02:55:53
>>232
bをもとめよってのが問題じゃないの？
0235１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:08:49
>>233
もとめる軌跡をXとおく。
0≦z≦1においてはXは高さ1、底面積4πの円錐にひとしいのでその体積は(4/3)π。
1≦z≦1においてはxy平面においてx=rcosθ、y=rsinθ、r=2-1/cosθ (0≦θ≦π/3)で
あらわされる曲線のかこむ領域をx軸中心に回転させた図形の体積にひとしい。それをVとおけば
V=∫[0,1]πy^2dx
=∫[π/3,0]π(2sinθ-tanθ)^2(-2sinθ)dθ
=･･･
しんどなった。
0236１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:24:12
極座標でやると計算メンドイね。
0237１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:29:54
xyz空間に次の条件を満たすような長さ2の線分ABがある。

条件
点Aはx軸上にある。
線分ABは直線x=y-1=0と共有点を持つ。

このとき線分ABの存在しうる領域の体積を求めよ。
0238１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:50:52
こんなんどうよ。
m^3+1/mn-1が整数となるような正の整数m,nを全て求めよ。
0239１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:52:05
>>237
(x,y,z)がAB上にあるのはA(a,0,0)、ABとx=y-1=0の交点を(0,1,c)とおいて考えれば
(x,y,z)=(a,0,0)+t(-a,1,c)、(x-a)^2+y^2+z^2≦4、0≦t≦2をみたすa,c,tが存在するときで
このときy=t、a=x/(1-t)=x/(1-y)であることから
(y/(1-y))^2･x^2+y^2+z^2≦4、0≦y≦2―(※)であることが必要十分。
よってこの領域の体積をもとめればよい。yを固定したときの(※)を満足する領域の面積は
(π/4)y/(1-y)。よって体積は･･･以下ｒｙ
0240１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:52:27
↑まあ、自作ではないわな。
0241１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:55:01
>>238
ほんとに有限個しかないの？
0242１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:56:52
有限個
0243１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:57:25
３点A(1,0,0),B(0,1,√3),C(0,r,0)を通る平面に原点から下ろした垂線の足が
△ABCの内部にあるときのｒの範囲を求めよ。
0244１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:58:02
>>242
まじっすか。へぇ～。･･･寝よ。
0245１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 04:05:39
>233
[235]の続きを....

高さzでの存在領域の半径をR(z)とおくと、V=∫ πR^2 dz.
原点をOとすると OA≦√(4-1)=√3.

0≦z≦1 においては、Ｘは高さ1、底面積3πの円錐にひとしいのでその体積はπ。
　R(z) = (√3)(1-z)　　(0≦z≦1)　…… 円錐（体積π）

1≦z≦2 においては、 A(r,0,0) ⇔ B(R,0,z) とすると、
　r = √{(4/z^2)-1}, R = (z-1)r = (z-1)･√{(4/z^2)-1}
　R(z) = (z-1)･√{(4/z^2)-1}　　(1≦z≦2)

V = ∫[0,2] πR(z)^2 dz
　= 3π∫[0,1] (1-z)^2 dz + π∫[1,2] (z-1)^2･{(4/z^2)-1} dz
　= 3π∫[0,1] (1-z)^2 dz + π∫[1,2] {4/(z^2) -8/z +3 +2z -z^2} dz
　= π[ -(1-z)^3 ](z=0→1) + π[ -4/z -8log(z) +3z +z^2 -(1/3)z^3 ](z=1→2)
　= π + π｛ 17/3 -8log(2) }
　= 1.121489222187…π
0246１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 04:23:39
>>239
間違いだらけじゃん
0247１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 12:13:12
四平方の定理を知らないものとして・・・

【問題】
n，a，bは自然数とし、nを2進法で表記した時の各位の和を#(n)とする。
このとき n(a^2+b^2)は2#(n)個以下のいくつかの平方数(異なる必要は無い)
で書き表されることを示せ。
0248１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 12:18:27
>>221
真のような気がするが、偽なんだろうな．．．
0249栄光 ◆Lms90zM1k. 2005/12/24(土) 12:23:00
>>238

（m､n）＝（1、2）（1、3）
0250１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 12:45:54
１辺の長さaの正四面体の隣り合う２面の重心を通る直線を軸として一回転させたときの図形の体積を求めよ。
0251１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 14:10:03
>>238
　(m,n) = (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)

　 { (m,n) | m,n∈{1,2,3}, m≠n}
0252１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 14:20:00
（ｍ＾３＋１）／（ｍｎ－１）。

（ｍ，ｎ）＝（１，２），（２，１），（１，３），（３，１）
，（２，２），（２，５），（５，２），（３，５），（５，３）。
02532512005/12/24(土) 14:30:38
>>238
訂正、すまそ
　(m,n) = (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,5), (3,1), (3,5), (5,2), (5,3).
0254１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 14:51:41
困難どうよ？
　(2^n +1)/(n^2) が整数となるような1より大きい整数nをすべて決定せよ．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(芋･1990, Beijing, Q3)

GCD{(2^a)-1,(2^b)-1} = 2^GCD{a,b} -1　　（GCD と f(x)=(2^x)-1 は可換）
0255１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 15:12:37
>>252>>253
まあ、香港大会の問４だからな。
ただ、解法を示さなければ点はない。
>>北京
それは後期用では？
前期には不適切。
0256１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 15:39:06
>>252
>>253

正解！
簡単だった？
確かに解き方は知りたいかな。てか香港大会の問題とは知らなかった。
0257１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 15:45:33
π^eとe^3の大小を比較せよ。
0258栄光 ◆Lms90zM1k. 2005/12/24(土) 16:28:39
>>256
二つしか解を導き出せなかった僕の立場は一体・・・・（涙
0259１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 16:31:53
簡単な問題でスマンが……


nを自然数とし、√nを10進数の小数で表現する。

このとき、小数点以下第2005位の数字が1、2006位の数字が8になるような
nが無数に存在することを示せ。
0260１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 16:47:20
1
一辺が1の正方形ABCDと長さが1のひもPQ(ひもの両端がPQ)がある。
ひもPQが正方形ABCDの辺に沿って(はりついて)動く時、線分PQの
通過する領域の面積を求めよ。

2
一辺が1の正三角形ABCと長さが1のひもPQ(ひもの両端がPQ)がある。
ひもPQが正三角形ABCの辺に沿って(はりついて)動く時、線分PQの
通過する領域の面積を求めよ。
0261１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 18:20:27
>>259
これ一様分布定理つかったら簡単なんだけどな。
　
　√nの小数点以下第2005位の数字が1、2006位の数字が8
　⇔0.18≦(10^2004√n)の小数部＜0.19
　
で一様分布定理によれば0.18≦(10^2004n√2)の小数部＜0.19をみたすnの密度は1/100。
･･･受験数学の範囲でしめせか･･･どうやんだろ？
0262１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 18:39:56
>>238
だれも解答をかかないから一例をば。
(m^3+1)/(mn-1)∈Z⇒(n^3+1)/(mn-1)=(m^3+1)/(mn-1)･n^3-{(mn)^2-mn+1}∈Z
ゆえ(m,n)が解⇔(n,m)が解。よってm≦nなる解のみもとめる。m=nのときは
(m^3+1)/(mn-1)=(m^3+1)/(m^2+1)=m+1/(m-1)ゆえ(m,n)=(2,2)のみが解。
0<m<nなる解をかんがえる。(m^3+1)/(mn-1)=uとおく。mは方程式x^3-unx+u+1=0の解ゆえm|u+1。
そこでn=m+v、u+1=mwとおく。するとこのとき
m^3+1=u(mn-1)=(mw-1)(m^2+vm-1)=wm^3+(vw-1)m^2-(v+w)m+1―(1)。
(i)vw-1>v+wのとき。このときw≧1、m^2≧mにより
wm^3+(vw-1)m^2-(v+w)m+1＞m^3+(v+w)m-(v+w)m+1=m^3+1。これは1に反するゆえこのとき解なし。
(ii)vw-1≦v+wのとき。このとき(v-1)(w-1)≦2より(v,w)=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)。
(1)⇔(w-1)m^2+(vw-1)m-(v+w)=0にこれらの値を代入して正の整数解をもつのは
(v,w)=(2,1)のときm=3、n=m+v=5。
(v,w)=(3,1)のときm=2、n=m+v=5。
(v,w)=(2,2)のときm=1、n=m+v=3。
(v,w)=(1,3)のときm=1、n=m+v=2。
結局m<nである解は(m,n)=(3,5),(2,5),(1,3),(1,2)。
以上よりすべての正の整数解は(m,n)=(3,5),(2,5),(1,3),(1,2),(5,3),(5,2),(3,1),(2,1),(2,2)。
0263１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 19:13:18
芋かあ、、
だと思ったよ
0264１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 00:46:02
>260 (1)
4直線 x=0,x=1,y=0,y=1 で囲まれた正方形を考え、P(a,0), Q(0,1-a) とする。(0<a<1)
線分PQ: y=(1-a)(1-x/a) は点A(a^2, (1-a)^2)を通り、傾きが -(1-a)/a である。
0<a<1 なるすべてのaについて点A(a^2, (1-a)^2) を通る曲線は √x +√y =1.
また、Aでの傾きも線分PQの傾きと一致するから、曲線 √x +√y =1 はPQたちの包絡線である。
4頂点に対応して4本の曲線があり、互いに交わっている。境界となるのは
　(1/2,(3/2)-√2) ～ ((3/2)-√2,1/2)
の部分である。軸を45°回転して、
　u=(x-y)/√2,　v=(x+y)/√2.
とおくと、上記の曲線は
　v = (u^2 +1/2)/√2,　|u|≦ 1-√(1/2).
(放物線の一部)である。

I = 2∫[0,1-√(1/2)] {(u^2 +1/2)/√2}du = (√2)∫[0,1-√(1/2)] (u^2 +1/2)du
　= (√2)[(1/3)u^3 +(1/2)u ](u:0→1-√(1/2)) = (4√2 -5)/3.
S/4 = I + {(3/2)-√2}^2 - {1-√(1/2)}^2 = I + {(3/2)-√2}^2 - {(3/2)-√2}
　　= I + {(3/2)-√2}{(1/2)-√2} = (4√2 -5)/3 - (2√2 -11/4) = (13-8√2)/12
S = (13-8√2)/3 = 0.5620971670050…….
0265１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 01:02:53
>>264
PQ=1だからP(a,0), Q(0,1-a)じゃだめなんじゃね？軌跡はアステロイドになるんじゃねーの？
http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/anime/asteroid.htm
02662642005/12/25(日) 14:14:12
>265
1.
一辺が1の正方形ABCDと長さが1の棒PQ（棒の両端がP,Q）がある。
P,Qが正方形ABCDの辺上を動く時、線分PQの通過する領域の面積を求めよ。
0267１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 14:39:25
PをAB上に QをCD上にとってPQを平行移動させれば、掃く面積は1ですな？
02682472005/12/25(日) 16:53:06
誰も解いてくれてませんな・・・
0269１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 17:30:00
２（ａ＾２＋ｂ＾２）＝（ａ＋ｂ）＾２＋（ａ－ｂ）＾２。
02702602005/12/25(日) 17:33:35
>>264　(1)正解！　解いた感想も教えてください。
あと、S/4 = I + {(3/2)-√2}^2 - {1-√(1/2)}^2
これはどこを計算したのですか？ここだけ俺と違います。

>>265　アステロイドではないです。
02712472005/12/25(日) 17:35:06
>>269
・・・・・・・・・ばれた・・・・
次はもっとまともなの考えてきます。
0272１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 17:41:08
>>237解けた人いる？
0273１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 20:59:06
>>271
１０年ROMってろ！
02742472005/12/25(日) 21:02:09
>>273
氏ね
0275１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 21:05:25
>>260
問題文の意味がやっと分かった。紐を正方形の周に這わせるんだな。
02762642005/12/25(日) 21:44:31
>260,270
わざわざ 45°回さなくても
S/4 = ∫[0,(3/2)-√2] (1/2) dx + ∫[(3/2)-√2,1/2] (1-√x)^2 dx
　　= ∫[0,(3/2)-√2] (1/2) dx + ∫[(3/2)-√2,1/2] (1+x-2√x) dx
　　= (1/2){(3/2)-√2} + [ x +(1/2)x^2 -(4/3)x√x ](x=(3/2)-√2→1/2] = ……
で出るんだった……(反省)。

I は 放物線と u=±{1-√(1/2)}, u軸(v=0) で囲まれた部分の面積 でつ。
これに x軸(y=0), u= {1-√(1/2)}, x=1/2 で囲まれた⊿ および
　　　 y軸(x=0), u=-{1-√(1/2)}, y=1/2 で囲まれた⊿ の面積を加え、 +{(3/2)-√2}^2
さらに x軸(y=0), u= {1-√(1/2)}, u軸(v=0) で囲まれた⊿ および
　　　 y軸(x=0), u=-{1-√(1/2)}, v軸(v=0) で囲まれた⊿ の面積を差引く -{1-√(1/2)}^2
として S/4 を出しますた。
0277１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 22:38:27
>>275
おれはまだ問題の意味わかんないんだけど。どういう意味？
>>260 は問題出題できるレベルじゃないんじゃないの？
0278１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 22:51:29
勘違いしやすい問題文だよな。
チューブを正方形状に折り曲げて、中に紐を通すんだな。
0279１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 22:52:09
すぐに分かった俺は負け組みか・・・・・

さっきソープランドから帰ってきました。
0280１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 22:57:07
>>279s
IQ180乙
0281１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 23:15:12
>>278
ぜんぜんわからん。まあもういいや。問題文短くするためにわかりやすさを犠牲に
してるような問題は気分わるい。たとえ問題文が少々長くなっても題意がすっきり
他人につたわるようにすべきだとおもうけどな。どっちかっていうと問題文はあいまいさなく
すっきりつたわるけどそれでもなかなか解けないってのがオレ様的には好き。
0282１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 23:21:58
>>281
問題文に難ありだが
まだ理解できない君もすごい。
0283１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 23:29:03
>>282
ありがとう。もういいよ。問題文理解するために努力することはしない主義なんだ。
出題者によると>>264があってるらしいから>>264をがんぱってよめば理解できるのかも
しれないけど問題文理解するために解答よむって努力はする気になれん。
理解した瞬間答えわかってしまうんだから。
0284１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 23:29:04
馬鹿は放置でよろ
0285１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 23:31:26
どう見ても釣りです。
本当にありがとうございました。
0286１３２人目の素数さん2005/12/25(日) 23:53:55
今更だが、このスレ朝9時ジャストに立ったんだな
入試っぽくていいね
0287１３２人目の素数さん2005/12/26(月) 00:38:01
f(x)=Σ[k=0, 2n]|x-2n| （nは自然数）　とする。
(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。
02882872005/12/26(月) 00:41:25
訂正ﾇﾏﾇ

f(x)=Σ[k=0, 2n]|x-2k| （nは自然数）　とする。
(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。
02892872005/12/26(月) 00:52:18
あれ、まだ間違えてる。まじでごめん。

f(x)=Σ[k=0, 2n]|x-k| （nは自然数）　とする。
(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。
0290１３２人目の素数さん2005/12/26(月) 01:13:16
[]
0291簡単かなぁ2005/12/26(月) 20:26:43
コインをn回投げる時、表が2回続けて現れる確率は？
0292１３２人目の素数さん2005/12/26(月) 20:33:38
題意不明瞭の揚足鳥問題ですか。
試験にはなるでしょうがｗ
0293ぐっちゃん ◆C6qWh73Y.g 2005/12/26(月) 20:37:57
5/6
(1/2)

すいません・・これどうやって解いたらいいですか？　お願いします。
0294ぐっちゃん ◆C6qWh73Y.g 2005/12/26(月) 20:41:08
あぁ、改行しちゃってすみません。
（２分の１）の６分の５乗です
0295１３２人目の素数さん2005/12/26(月) 21:01:10
>>291
n = 1 の時 0
0296１３２人目の素数さん2005/12/26(月) 21:58:40
>>291
こう？
　
{表,裏}の２文字をならべて表が２つつづかないながさnの文字列の数をAnとおく。
A1=＃{表、裏}=2、A2=＃{表裏、裏表、裏裏}=3。
長さn+2のそのような文字列は最後の文字が裏であるか
最後の２文字が裏表であるかにわけられて前者の個数はA[n+1]、後者の個数は
A[n]に等しいので漸化式A[n+2]=A[n+1]+A[n]をえる。これをといて
A[n]=(α^(n+2)-β^(n+2)}/(α-β) (ただしα=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2)
よってn回ふって表が２回つづく確率は
1-4(((1+√5)/4)^(n+2)-((1-√5)/4)^(n+2)}/√5。
0297１３２人目の素数さん2005/12/27(火) 00:24:12
>>291
こう？

　　1 - A[n]/(2^n) = 1 - F_(n+2)/(2^n).

関連スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/
0298１３２人目の素数さん2005/12/27(火) 02:11:41
>>289
(1) f(x) = (2n+1)(n-x) 　　(x<0)
　　= (2[x]-2n+1)x -[x]([x]+1) +n(2n+1)　　(0≦x<2n)
　　= (2n+1)(x-n)　　(x≧2n)
　　x<n では単調減少、x>n で単調増加 だから f(x) ≧ f(n) = n(n+1).

(2) f(j) = n(n+1) -(j-n)^2　　　(0≦j≦2n)
f(j) ≦ y ≦ 2n^2 を満たす格子点の数は 2n^2 -f(j) +1 = n(n-1) +1 -(j-n)^2
　　S(n) = 納j=1,2n-1] {n(n-1) +1 -(j-n)^2 } = ……
　　lim[n→∞] S(n)/(n^3) = 4/3.
0299１３２人目の素数さん2005/12/27(火) 02:30:59
１円硬貨、５円硬貨、１０円硬貨、５０円硬貨、１００円硬貨、５００円硬貨、１０００円札、２０００円札、５０００円札、１００００札を
つかってｎ円を支払うときのくみあわせの数をA[n]とする。たとえば１１円は１円硬貨１１枚、１円硬貨１枚１０円硬貨１枚、
１円硬貨１枚、５円硬貨２枚、１円硬貨６枚５円硬貨１枚、の計５通りの支払い方ができるのでA[11]=5である。
　
lim[n→∞]A[n]/n^rが０でない有限値に収束するrをもとめよ。またそのときの極限値をもとめよ。
0300１３２人目の素数さん2005/12/27(火) 02:57:18
rは与えて極限だけを答えさせる形式でないと
ブラフ出題かと勘ぐってしまう。
0301１３２人目の素数さん2005/12/27(火) 03:15:23
＞S(n) = 納j=1,2n-1] {n(n-1) +1 -(j-n)^2 }
0302１３２人目の素数さん2005/12/27(火) 03:38:31
>>299
求めるオーダーは
(n/10000)・(1/2!)(n/5000)・(1/3!)(n/2000)・(1/4!)(n/1000)・(1/5!)(n/500)・(1/6!)(n/100)・(1/7!)(n/50)・(1/8!)(n/10)・(1/9!)(n/5)
03032992005/12/27(火) 19:53:09
>>302
ちがう･･･ハズ
0304１３２人目の素数さん2005/12/28(水) 00:24:26
平面上に凸４角形ABCDが与えられている。動点Pが平面上をうごくとき
PA+PB+PC+PDが最小になるのはPがABCDの対角線の交点にあるときであることを示せ。
0305１３２人目の素数さん2005/12/28(水) 01:12:31
>304
　三角不等式を使う。
　PA+PC≧AC,　等号はPが線分AC上にあるとき。
　PB+PD≧BD,　等号はPが線分BD上にあるとき。
　辺々たす。
　凸性により、対角線AC,BDの交点が存在する。(終)
0306１３２人目の素数さん2005/12/28(水) 01:37:07
>>305
すばらしい。もひとつ。
平面上の鋭角三角形ABCが与えられている。動点Pが平面上をうごくとき
3PA+4PB+5PCが最小となる点OをとるとOはABCの外心となり
PA=PB=PC=1となった。△ABCの面積をもとめよ。
0307１３２人目の素数さん2005/12/28(水) 01:38:41
しかし･･･想定外にあっさりとかれた。オレは結構なやんだんだけど。
0308水島寒月2005/12/28(水) 01:38:51
>289
http://www.d4.dion.ne.jp/~zen/kubikukuri/
0309１３２人目の素数さん2005/12/28(水) 02:00:36
>266
asteroid の面積について
a={1-(1/2)^(2/3)}^(3/2) として、
S/4 = (1/2)a + ∫[a,1/2] {1-x^(2/3)}^(3/2) dx,
x^(1/3)=s とおいて、 x=s^3, dx=3(s^2)ds
∫{1-x^(2/3)}^(3/2) dx = 3∫(1-s^2)^(3/2)･(s^2)ds
　= (3/16){arcsin(s)-s√(1-s^2)} +(1/2)(7/4 -s^2)(s^3)√(1-s^2) +c
以下ry)
0310１３２人目の素数さん2005/12/28(水) 23:08:16
hg
03113092005/12/29(木) 15:15:28
>>266
a = {1-(1/2)^(2/3)}^(3/2) = 0.225098232187283…
S/4 = (1/2)a + ∫[a,1/2] {1-x^(2/3)}^(3/2) dx
　= 0.112549116093641… +0.251717461029020… -0.155355966338664… = 0.208910610783997…
S = 0.83564244313599…
0312１３２人目の素数さん2005/12/29(木) 20:32:03
難し過ぎたかな。

数列｛a_n ｝は任意のｎ≧１に対して
Σ（ｋ＝１→ｎ）（a_n）＾3　＝　（Σ（ｋ＝１→ｎ）a_n　）＾2
を満たすとする。
このとき、a_1・a_2・・・a_n　の最小値を求めよ。
0313１３２人目の素数さん2005/12/29(木) 20:50:00
０。
0314１３２人目の素数さん2005/12/29(木) 21:30:21
>>312
-(n-1) (n-1)! かな。
難しいって言うほどは難しくないけど、面白い問題かもね。
0315１３２人目の素数さん2005/12/29(木) 21:43:23
＞Σ（ｋ＝１→ｎ）（a_n）＾3　＝　（Σ（ｋ＝１→ｎ）a_n　）＾2
　
これ当然a_nってa_kのまちがいだよね。
負の項がゆるされるならn≡2(mod 4)のとき実数Aにたいして
a_kn=A(-1)^kとおけば(a_k)^3=0、(蚤_k)^2=0でΠa_k=-A^nになって
最小値なしになる気がする。他の場合も最小値ないような気がする。　
0316１３２人目の素数さん2005/12/30(金) 02:02:07
>312
　a_k =k　(k=1→n-1),
　a_n = -(n-1).
のとき。
0317１３２人目の素数さん2005/12/30(金) 11:12:23
>>316
>>315はまちがってる？たとえばn=6のとき
A^3+(-A)^3+A^3+(-A)^3+A^3+(-A)^3=0=(A+(-A)+A+(-A)+A+(-A))^2
かつA(-A)A(-A)A(-A)=-A^6だから最小値ないと思うんだけど。
0318１３２人目の素数さん2005/12/30(金) 11:34:38
問題文もまともに読めないカス
0319１３２人目の素数さん2005/12/30(金) 13:09:00
問題文がおかしい
0320１３２人目の素数さん2005/12/30(金) 13:57:37
>>312の問題文そのまま解釈すれば
左辺=n(a_n)^3、右辺=(n^2)(a_n)^2でとけばa_n=0 or n (∀n)
だからa_1・a_2・・・a_n　の最小値は0で>>313が正解だな。
0321良問戦士 ◆ozOtJW9BFA 2005/12/30(金) 16:05:02
先頭車両から順に1からｎまで番号のついたｎ両編成の列車がある。ただしｎ≧2とする。各車両を赤色、青色、黄色のいずれか1色で塗るとき、隣り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか？
0322１３２人目の素数さん2005/12/30(金) 16:12:15
>>321
題意を満たすn両編成で
最後尾の車両が赤なのををr(n)通り
最後尾の車両が赤でないのをa(n)通りとすると
r(2)=3 、a(n)=2
r(n+1)=r(n)+a(n)
a(n+1)=2*r(n) あとはこの漸化式をとく。
0323良問戦士 ◆ozOtJW9BFA 2005/12/30(金) 16:26:20
>>322　御名答。
0324１３２人目の素数さん2005/12/31(土) 02:54:13
実際の東大の過去問の改題みたいな感じで。
（問題）
x^(2/3)+y^(2/3)≦1、t≦x≦1、y≧0であらわされる領域をDtとしDtをx軸を中心に回転させて
できる領域の体積をVtとする。lim[t→1-0]Vt(1-t)^rが0でない有限の値に収束する
実数rの値をもとめよ。またそのときの極限値を求めよ。
0325１３２人目の素数さん2005/12/31(土) 05:04:15
>322
　ときますた。
　r(n) = (2/3){2^n +(1/2)(-1)^n}
　a(n) = (2/3){2^n -(-1)^n}
0326１３２人目の素数さん2005/12/31(土) 16:09:08
ごく最近の京大の問題をそのまんま載せてなんか意味あるの？
0327１３２人目の素数さん2005/12/31(土) 16:11:15
冬休みだからな。
0328１３２人目の素数さん2006/01/01(日) 03:40:36
>304,307　　　　　　　　　、
　点対称な凸2n角形もどうよ？
0329１３２人目の素数さん2006/01/01(日) 04:33:36
要は中点が等しい２つ組いくつかに分けられるときはいつでもつかえるんだな。
0330１３２人目の素数さん2006/01/01(日) 04:35:08
いや、中点である必要もないのか･･･
0331１３２人目の素数さん2006/01/01(日) 04:49:07
>304, 307
　点対称な凸2n角形もどうよう。
0332１３２人目の素数さん2006/01/02(月) 05:51:18
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