★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
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0001１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 09:00:00解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ
過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0207１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 22:10:04ﾆﾔﾆﾔ…
0208１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 22:22:220209１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 23:00:18と
中心(-a/2,0)半径aの円が重なり合った部分を
y軸の周りに回転させた回転体の体積を求めよ。
0210１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 10:56:58宿題は此処に書き込んではいけないよ
0211１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 12:35:150212１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 14:23:17ノ⌒ヽ
γ´o ........)
＜ 《 ･д･)ｶﾞｵｰ!!
＜:: ::;;:::つ~~つ
ノ:: :: :: :: :: :(
∠､-‐（_ノ"ヽ_）
0213１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 15:16:55できますたヨン.
「中心(a/2,0)、半径aの円」の左半分： x = √(a^2 -y^2) -(a/2).
「中心(-a/2,0)、半径aの円」の右半分： x = (a/2) -√(a^2 -y^2).
上下左右に対称で、交点は (0,±b), b=((√3)/2)a = (sin(π/3))a.
V = π∫[-b,b] (x^2)dy
= π∫[-b,b] {(a/2) -√(a^2-y^2)}^2 dy
= π∫[0,b] 2{(a/2) -√(a^2-y^2)}^2 dy
= π∫[0,b] {(5/2)a^2 -2y^2 -2a√(a^2 -y^2)} dy
= π∫[0,b] {(5/2)a^2 -2y^2 -a(a^2 -2y^2)/√(a^2 -y^2) -a(a^2)/√(a^2 -y^2)} dy
= π[ (5/2)(a^2)y -(2/3)y^3 -ay√(a^2 -y^2) -(a^3)arcsin(y/a) ](y:0→b)
= π{ (5/2)(a^2)b -(2/3)b^3 -ab√(a^2 -b^2) -(a^3)arcsin(b/a) }
= π{ (3/4)(√3) - (π/3) }(a^3) (← b/a=(√3)/2.)
≒ 0.79118043583053… (a^3).
やっぱり宿題だな...
0214１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 16:22:57長さ10メートルのゴムホースが大量にある。
これらを切り分けて、長さ3メートルのホースと長さ4メートルのホースを
それぞれa本とb本作りたい。
このとき、10メートルのゴムホースは最低何本必要か。
0215１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 16:25:244π∫[0,a/2] x√{a^2-(x+a/2)^2} dx
=4π∫[a/2,a] (x-a/2)√(a^2-x^2) dx
=4π[-(1/3)(a^2-x^2)^(3/2)][a/2,a] - (2πa)∫[a/2,a] √(a^2-x^2) dx
=4π*(1/3)*(3√3/8)a^3 - (2πa){(1/2)a^2*(π/3) - (1/2)*(1/2)*(√3/2)a^2}
=(√3π/2)a^3 - (π^2/3)a^3 + (√3π/4)a^3
=(1/4)(3√3)πa^3 - (π^2/3)a^3
0216１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 17:39:26[213] は、 V = ∫(2πx)dS = ∫(2πx)xdy = …… スライス（カバリエリ風）
[215] は、 V = ∫(2πx)dS = ∫(2πx)ydx = …… 葉巻き、ロールパン
0217１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 19:39:15＞∫(2πx)xdy
これおかしくね？だいたい高校の教科書の体積の定義は
V=∫Sdy
みたいな感じのはず。笠型でもバームクーヘンでも好きなものつかっていいとは思うが
あくまで出発点は∫Sdy系の形から変形すべきだ。受験数学スレでは。それが
教科書の定義なんだから。
0218１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 20:10:57どうやるのか知らないけど
ただ例のバウムクーヘンは、大数とかはつかって良いという考えみたいだけど
バカ！いいわよもう。思考言語切り替え、日本語をベーシックに
0219１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 20:13:120220１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 20:21:35じゃないとおかしいな
0221１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 22:12:31【命題】
{a_n} は 0＜a_n＜1 を満たす数列とする。
0≦x≦1 で定義された連続関数の列 f_n(x) が任意の 0≦x≦1 で
lim(n→∞)f_n(x)＝0 を満たすとする。
このとき、lim(n→∞)f_n(a_n)＝0 である。
0222１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 22:15:11スレ題からの疑問。
なぜ、東大なのか ?
0223１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 23:34:59sin(π/2006)*sin(2π/2006)*…*sin(2004π/2006)*sin(2005π/2006)
0224１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 23:59:37できた。
P=sin(π/2006)*sin(2π/2006)*…*sin(2004π/2006)*sin(2005π/2006)とおく。
ρ=cos(π/2006)+isin(π/2006)とおく。sin(kπ/2006)=(ρ^k-1/ρ^k)/(2i)により
P=Π[k=1,2005]((ρ^k-1/ρ^k)/(2i))=(Π[k=1,2005]ρ^k)(Π[k=1,2005]1-ρ^(-2k))/(2i)^2005
ここで
(Π[k=1,2005]ρ^k)=ρ^(2005･1003)=i^(2005)
(Π[k=1,2005]z-ρ^(-2k))=1+z+z^2+･･･+z^2005。
∴(Π[k=1,2005]1-ρ^(-2k))=2006
∴P=2006/2^2005
0225１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 00:11:05レスありがとうございます。正解です。難易度はどのくらいでしたか？宜しければ教えて下さい。
0226１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 00:19:20いまさらって感じ…。
0227224
2005/12/24(土) 00:23:11受験問題としてはむずいかもしれない･･･かな？
＞理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
＞解ける問題を考えてうぷするスレ。
↑まさにこれくらい？いやちょっと数学得意ってくらいの高校生だと手にあまるか？うーん？
0228１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 01:27:130229１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 01:42:00sin(kπ/n) = {cos((k-1/2)π/n) - cos((k+1/2)π/n)}/{2sin(π/2n)}.
納k=1→n-1] = {cos(π/2n) - cos((n-1/2)π/n)}/{2sin(π/2n)}
= {cos(π/2n) - cos(π-π/2n)}/{2sin(π/2n)}
= 1/tan(π/2n).
に n=2006 を代入。
0230１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 01:47:44正解です。
0231１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:00:04ご回答ありがとうございます。やはり、やり方を知っているかいないかっていうのがカギになってしまいますね…。
純粋に『程よい難しさ』の問題(いわゆる良問)を作るのは難しいです。
0232１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:39:47リアルな別解を....
sin(π/n)sin(2π/n)……sin((n-1)π/n) = f'(0) = n/(2^(n-1)).
に n=2006 を代入。
〔Sinの乗積公式〕
sin(x)sin(x+(π/n))sin(x+(2π/n))……sin(x+(n-1)π/n) = {1/(2^(n-1))}sin(nx).
[略解] 左辺を f(x) とおき、sin(kx), cos(kx) の級数(0≦k≦n)に展開する。
f(x+(π/n))=-f(x) より 周期 2π/n をもつので、k=0,n の項だけが許される：
f(x) = a +b･sin(nx) + c･cos(nx).
また、f(0)=f(π/n)=0 より、a=c=0, 参考書↓より、b= 1/(2^(n-1)).
(終)
高木: ｢解析概論｣ 改訂第三版, 岩波書店 (1961)
265頁、練習問題(5)の(11) Γの乗積公式(Gauss)
252頁の(7)： Γ(s)Γ(1-s) = π/sin(πs).
0233１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:48:42条件
点Aはxy平面上にある。
線分ABは点(0,0,1)を含む。
このとき線分ABの存在しうる領域の体積を求めよ。
0234１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:55:53bをもとめよってのが問題じゃないの？
0235１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:08:49もとめる軌跡をXとおく。
0≦z≦1においてはXは高さ1、底面積4πの円錐にひとしいのでその体積は(4/3)π。
1≦z≦1においてはxy平面においてx=rcosθ、y=rsinθ、r=2-1/cosθ (0≦θ≦π/3)で
あらわされる曲線のかこむ領域をx軸中心に回転させた図形の体積にひとしい。それをVとおけば
V=∫[0,1]πy^2dx
=∫[π/3,0]π(2sinθ-tanθ)^2(-2sinθ)dθ
=･･･
しんどなった。
0236１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:24:120237１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:29:54条件
点Aはx軸上にある。
線分ABは直線x=y-1=0と共有点を持つ。
このとき線分ABの存在しうる領域の体積を求めよ。
0238１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:50:52m^3+1/mn-1が整数となるような正の整数m,nを全て求めよ。
0239１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:52:05(x,y,z)がAB上にあるのはA(a,0,0)、ABとx=y-1=0の交点を(0,1,c)とおいて考えれば
(x,y,z)=(a,0,0)+t(-a,1,c)、(x-a)^2+y^2+z^2≦4、0≦t≦2をみたすa,c,tが存在するときで
このときy=t、a=x/(1-t)=x/(1-y)であることから
(y/(1-y))^2･x^2+y^2+z^2≦4、0≦y≦2―(※)であることが必要十分。
よってこの領域の体積をもとめればよい。yを固定したときの(※)を満足する領域の面積は
(π/4)y/(1-y)。よって体積は･･･以下ｒｙ
0240１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:52:270241１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:55:01ほんとに有限個しかないの？
0242１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:56:520243１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:57:25△ABCの内部にあるときのｒの範囲を求めよ。
0244１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:58:02まじっすか。へぇ～。･･･寝よ。
0245１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 04:05:39[235]の続きを....
高さzでの存在領域の半径をR(z)とおくと、V=∫ πR^2 dz.
原点をOとすると OA≦√(4-1)=√3.
0≦z≦1 においては、Ｘは高さ1、底面積3πの円錐にひとしいのでその体積はπ。
R(z) = (√3)(1-z) (0≦z≦1) …… 円錐（体積π）
1≦z≦2 においては、 A(r,0,0) ⇔ B(R,0,z) とすると、
r = √{(4/z^2)-1}, R = (z-1)r = (z-1)･√{(4/z^2)-1}
R(z) = (z-1)･√{(4/z^2)-1} (1≦z≦2)
V = ∫[0,2] πR(z)^2 dz
= 3π∫[0,1] (1-z)^2 dz + π∫[1,2] (z-1)^2･{(4/z^2)-1} dz
= 3π∫[0,1] (1-z)^2 dz + π∫[1,2] {4/(z^2) -8/z +3 +2z -z^2} dz
= π[ -(1-z)^3 ](z=0→1) + π[ -4/z -8log(z) +3z +z^2 -(1/3)z^3 ](z=1→2)
= π + π｛ 17/3 -8log(2) }
= 1.121489222187…π
0246１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 04:23:39間違いだらけじゃん
0247１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 12:13:12【問題】
n，a，bは自然数とし、nを2進法で表記した時の各位の和を#(n)とする。
このとき n(a^2+b^2)は2#(n)個以下のいくつかの平方数(異なる必要は無い)
で書き表されることを示せ。
0248１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 12:18:27真のような気がするが、偽なんだろうな．．．
0249栄光 ◆Lms90zM1k.
2005/12/24(土) 12:23:00（m､n）＝（1、2）（1、3）
0250１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 12:45:540251１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 14:10:03(m,n) = (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)
{ (m,n) | m,n∈{1,2,3}, m≠n}
0252１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 14:20:00（ｍ，ｎ）＝（１，２），（２，１），（１，３），（３，１）
，（２，２），（２，５），（５，２），（３，５），（５，３）。
0253251
2005/12/24(土) 14:30:38訂正、すまそ
(m,n) = (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,5), (3,1), (3,5), (5,2), (5,3).
0254１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 14:51:41(2^n +1)/(n^2) が整数となるような1より大きい整数nをすべて決定せよ．
(芋･1990, Beijing, Q3)
GCD{(2^a)-1,(2^b)-1} = 2^GCD{a,b} -1 （GCD と f(x)=(2^x)-1 は可換）
0255１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 15:12:37まあ、香港大会の問４だからな。
ただ、解法を示さなければ点はない。
>>北京
それは後期用では？
前期には不適切。
0257１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 15:45:330259１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 16:31:53nを自然数とし、√nを10進数の小数で表現する。
このとき、小数点以下第2005位の数字が1、2006位の数字が8になるような
nが無数に存在することを示せ。
0260１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 16:47:20一辺が1の正方形ABCDと長さが1のひもPQ(ひもの両端がPQ)がある。
ひもPQが正方形ABCDの辺に沿って(はりついて)動く時、線分PQの
通過する領域の面積を求めよ。
2
一辺が1の正三角形ABCと長さが1のひもPQ(ひもの両端がPQ)がある。
ひもPQが正三角形ABCの辺に沿って(はりついて)動く時、線分PQの
通過する領域の面積を求めよ。
0261１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 18:20:27これ一様分布定理つかったら簡単なんだけどな。
√nの小数点以下第2005位の数字が1、2006位の数字が8
⇔0.18≦(10^2004√n)の小数部＜0.19
で一様分布定理によれば0.18≦(10^2004n√2)の小数部＜0.19をみたすnの密度は1/100。
･･･受験数学の範囲でしめせか･･･どうやんだろ？
0262１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 18:39:56だれも解答をかかないから一例をば。
(m^3+1)/(mn-1)∈Z⇒(n^3+1)/(mn-1)=(m^3+1)/(mn-1)･n^3-{(mn)^2-mn+1}∈Z
ゆえ(m,n)が解⇔(n,m)が解。よってm≦nなる解のみもとめる。m=nのときは
(m^3+1)/(mn-1)=(m^3+1)/(m^2+1)=m+1/(m-1)ゆえ(m,n)=(2,2)のみが解。
0<m<nなる解をかんがえる。(m^3+1)/(mn-1)=uとおく。mは方程式x^3-unx+u+1=0の解ゆえm|u+1。
そこでn=m+v、u+1=mwとおく。するとこのとき
m^3+1=u(mn-1)=(mw-1)(m^2+vm-1)=wm^3+(vw-1)m^2-(v+w)m+1―(1)。
(i)vw-1>v+wのとき。このときw≧1、m^2≧mにより
wm^3+(vw-1)m^2-(v+w)m+1＞m^3+(v+w)m-(v+w)m+1=m^3+1。これは1に反するゆえこのとき解なし。
(ii)vw-1≦v+wのとき。このとき(v-1)(w-1)≦2より(v,w)=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2)。
(1)⇔(w-1)m^2+(vw-1)m-(v+w)=0にこれらの値を代入して正の整数解をもつのは
(v,w)=(2,1)のときm=3、n=m+v=5。
(v,w)=(3,1)のときm=2、n=m+v=5。
(v,w)=(2,2)のときm=1、n=m+v=3。
(v,w)=(1,3)のときm=1、n=m+v=2。
結局m<nである解は(m,n)=(3,5),(2,5),(1,3),(1,2)。
以上よりすべての正の整数解は(m,n)=(3,5),(2,5),(1,3),(1,2),(5,3),(5,2),(3,1),(2,1),(2,2)。
0263１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 19:13:18だと思ったよ
0264１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 00:46:024直線 x=0,x=1,y=0,y=1 で囲まれた正方形を考え、P(a,0), Q(0,1-a) とする。(0<a<1)
線分PQ: y=(1-a)(1-x/a) は点A(a^2, (1-a)^2)を通り、傾きが -(1-a)/a である。
0<a<1 なるすべてのaについて点A(a^2, (1-a)^2) を通る曲線は √x +√y =1.
また、Aでの傾きも線分PQの傾きと一致するから、曲線 √x +√y =1 はPQたちの包絡線である。
4頂点に対応して4本の曲線があり、互いに交わっている。境界となるのは
(1/2,(3/2)-√2) ～ ((3/2)-√2,1/2)
の部分である。軸を45°回転して、
u=(x-y)/√2, v=(x+y)/√2.
とおくと、上記の曲線は
v = (u^2 +1/2)/√2, |u|≦ 1-√(1/2).
(放物線の一部)である。
I = 2∫[0,1-√(1/2)] {(u^2 +1/2)/√2}du = (√2)∫[0,1-√(1/2)] (u^2 +1/2)du
= (√2)[(1/3)u^3 +(1/2)u ](u:0→1-√(1/2)) = (4√2 -5)/3.
S/4 = I + {(3/2)-√2}^2 - {1-√(1/2)}^2 = I + {(3/2)-√2}^2 - {(3/2)-√2}
= I + {(3/2)-√2}{(1/2)-√2} = (4√2 -5)/3 - (2√2 -11/4) = (13-8√2)/12
S = (13-8√2)/3 = 0.5620971670050…….
0265１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 01:02:53PQ=1だからP(a,0), Q(0,1-a)じゃだめなんじゃね？軌跡はアステロイドになるんじゃねーの？
http://www.synapse.ne.jp/~dozono/math/anime/asteroid.htm
0266264
2005/12/25(日) 14:14:121.
一辺が1の正方形ABCDと長さが1の棒PQ（棒の両端がP,Q）がある。
P,Qが正方形ABCDの辺上を動く時、線分PQの通過する領域の面積を求めよ。
0267１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 14:39:250268247
2005/12/25(日) 16:53:060269１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 17:30:000270260
2005/12/25(日) 17:33:35あと、S/4 = I + {(3/2)-√2}^2 - {1-√(1/2)}^2
これはどこを計算したのですか？ここだけ俺と違います。
>>265 アステロイドではないです。
0271247
2005/12/25(日) 17:35:06・・・・・・・・・ばれた・・・・
次はもっとまともなの考えてきます。
0272１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 17:41:080273１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 20:59:06１０年ROMってろ！
0274247
2005/12/25(日) 21:02:09氏ね
0275１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 21:05:25問題文の意味がやっと分かった。紐を正方形の周に這わせるんだな。
0276264
2005/12/25(日) 21:44:31わざわざ 45°回さなくても
S/4 = ∫[0,(3/2)-√2] (1/2) dx + ∫[(3/2)-√2,1/2] (1-√x)^2 dx
= ∫[0,(3/2)-√2] (1/2) dx + ∫[(3/2)-√2,1/2] (1+x-2√x) dx
= (1/2){(3/2)-√2} + [ x +(1/2)x^2 -(4/3)x√x ](x=(3/2)-√2→1/2] = ……
で出るんだった……(反省)。
I は 放物線と u=±{1-√(1/2)}, u軸(v=0) で囲まれた部分の面積 でつ。
これに x軸(y=0), u= {1-√(1/2)}, x=1/2 で囲まれた⊿ および
y軸(x=0), u=-{1-√(1/2)}, y=1/2 で囲まれた⊿ の面積を加え、 +{(3/2)-√2}^2
さらに x軸(y=0), u= {1-√(1/2)}, u軸(v=0) で囲まれた⊿ および
y軸(x=0), u=-{1-√(1/2)}, v軸(v=0) で囲まれた⊿ の面積を差引く -{1-√(1/2)}^2
として S/4 を出しますた。
0277１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 22:38:27おれはまだ問題の意味わかんないんだけど。どういう意味？
>>260 は問題出題できるレベルじゃないんじゃないの？
0278１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 22:51:29チューブを正方形状に折り曲げて、中に紐を通すんだな。
0279１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 22:52:09さっきソープランドから帰ってきました。
0280１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 22:57:07IQ180乙
0281１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 23:15:12ぜんぜんわからん。まあもういいや。問題文短くするためにわかりやすさを犠牲に
してるような問題は気分わるい。たとえ問題文が少々長くなっても題意がすっきり
他人につたわるようにすべきだとおもうけどな。どっちかっていうと問題文はあいまいさなく
すっきりつたわるけどそれでもなかなか解けないってのがオレ様的には好き。
0282１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 23:21:58問題文に難ありだが
まだ理解できない君もすごい。
0283１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 23:29:03ありがとう。もういいよ。問題文理解するために努力することはしない主義なんだ。
出題者によると>>264があってるらしいから>>264をがんぱってよめば理解できるのかも
しれないけど問題文理解するために解答よむって努力はする気になれん。
理解した瞬間答えわかってしまうんだから。
0284１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 23:29:040285１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 23:31:26本当にありがとうございました。
0286１３２人目の素数さん
2005/12/25(日) 23:53:55入試っぽくていいね
0287１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 00:38:01(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。
0288287
2005/12/26(月) 00:41:25f(x)=Σ[k=0, 2n]|x-2k| （nは自然数） とする。
(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。
0289287
2005/12/26(月) 00:52:18f(x)=Σ[k=0, 2n]|x-k| （nは自然数） とする。
(1)f(x)の最小値を求めよ。
(2)f(x)≦y≦2n^2を満たす格子点(x,y)の個数をS(n)とする。
lim[n→∞]S(n)/n^3を求めよ。
0290１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 01:13:160291簡単かなぁ
2005/12/26(月) 20:26:430292１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 20:33:38試験にはなるでしょうがｗ
0293ぐっちゃん ◆C6qWh73Y.g
2005/12/26(月) 20:37:57(1/2)
すいません・・これどうやって解いたらいいですか？ お願いします。
0294ぐっちゃん ◆C6qWh73Y.g
2005/12/26(月) 20:41:08（２分の１）の６分の５乗です
0295１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 21:01:10n = 1 の時 0
0296１３２人目の素数さん
2005/12/26(月) 21:58:40こう？
{表,裏}の２文字をならべて表が２つつづかないながさnの文字列の数をAnとおく。
A1=＃{表、裏}=2、A2=＃{表裏、裏表、裏裏}=3。
長さn+2のそのような文字列は最後の文字が裏であるか
最後の２文字が裏表であるかにわけられて前者の個数はA[n+1]、後者の個数は
A[n]に等しいので漸化式A[n+2]=A[n+1]+A[n]をえる。これをといて
A[n]=(α^(n+2)-β^(n+2)}/(α-β) (ただしα=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2)
よってn回ふって表が２回つづく確率は
1-4(((1+√5)/4)^(n+2)-((1-√5)/4)^(n+2)}/√5。
0297１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 00:24:12こう？
1 - A[n]/(2^n) = 1 - F_(n+2)/(2^n).
関連スレ
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1043045905/
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1073918716/
0298１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 02:11:41(1) f(x) = (2n+1)(n-x) (x<0)
= (2[x]-2n+1)x -[x]([x]+1) +n(2n+1) (0≦x<2n)
= (2n+1)(x-n) (x≧2n)
x<n では単調減少、x>n で単調増加 だから f(x) ≧ f(n) = n(n+1).
(2) f(j) = n(n+1) -(j-n)^2 (0≦j≦2n)
f(j) ≦ y ≦ 2n^2 を満たす格子点の数は 2n^2 -f(j) +1 = n(n-1) +1 -(j-n)^2
S(n) = 納j=1,2n-1] {n(n-1) +1 -(j-n)^2 } = ……
lim[n→∞] S(n)/(n^3) = 4/3.
0299１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 02:30:59つかってｎ円を支払うときのくみあわせの数をA[n]とする。たとえば１１円は１円硬貨１１枚、１円硬貨１枚１０円硬貨１枚、
１円硬貨１枚、５円硬貨２枚、１円硬貨６枚５円硬貨１枚、の計５通りの支払い方ができるのでA[11]=5である。
lim[n→∞]A[n]/n^rが０でない有限値に収束するrをもとめよ。またそのときの極限値をもとめよ。
0300１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 02:57:18ブラフ出題かと勘ぐってしまう。
0301１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 03:15:230302１３２人目の素数さん
2005/12/27(火) 03:38:31求めるオーダーは
(n/10000)・(1/2!)(n/5000)・(1/3!)(n/2000)・(1/4!)(n/1000)・(1/5!)(n/500)・(1/6!)(n/100)・(1/7!)(n/50)・(1/8!)(n/10)・(1/9!)(n/5)
0304１３２人目の素数さん
2005/12/28(水) 00:24:26PA+PB+PC+PDが最小になるのはPがABCDの対角線の交点にあるときであることを示せ。
0305１３２人目の素数さん
2005/12/28(水) 01:12:31三角不等式を使う。
PA+PC≧AC, 等号はPが線分AC上にあるとき。
PB+PD≧BD, 等号はPが線分BD上にあるとき。
辺々たす。
凸性により、対角線AC,BDの交点が存在する。(終)
0306１３２人目の素数さん
2005/12/28(水) 01:37:07すばらしい。もひとつ。
平面上の鋭角三角形ABCが与えられている。動点Pが平面上をうごくとき
3PA+4PB+5PCが最小となる点OをとるとOはABCの外心となり
PA=PB=PC=1となった。△ABCの面積をもとめよ。
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