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もしもｅが有理数で、ｅ=p/q (p,qは自然数)だったなら、(q!)ｅは自然数のはず。
ところで、
　ｅ - 納k=0,n] (1/k!) = 納k=n+1,∞) (1/k!) < (1/n!)納k=n+1,∞) 1/(n+1)^(k-n) = 1/(n･n!).
　0 < (n!)ｅ - M < 1/n.
∴　(n!)ｅ は自然数でない。
これがすべての自然数nについて成立つから、ｅは有理数でない。(終)