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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 09:00:00
理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0152１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 14:26:50
>>150
p=2
0153中１2005/12/17(土) 14:33:03
関数ｇ(ｘ)が単調増加であることの定義を書け、さらに関数ｇ(ｘ)がその定義を満たす事を(ｂ)を用いて表せ。
0154１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 15:07:50
nを自然数とする。
∫[0,n]log(2^(2^x)+1)dx＜2^(n+1)を証明せよ。
0155１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 16:45:01
>154
log{2^(2^x)+1} = (2^x)log(2) + log{1 + 1/[2^(2^x)]} < (2^x)log(2) + 1/[2^(2^x)].　　(← log(1+y)<y )

I_k ≡ ∫[k-1,k] log{2^(2^x)+1} dx < ∫[k-1,k] { (2^x)log(2) + 1/[2^(2^(k-1))] }dx
　< ∫[k-1,k] { (2^x)log(2) + 1/(2^k) }dx　　　　　　　　　　　　　　(← 2^(k-1)≧k )
　= [ 2^x + x/(2^k) ](x:k→k+1) = 2^(k+1) -2^k + 1/(2^k).
(左辺) = 納k=1,n] I_k < 2^(n+1) - 2 + 1 - 1/(2^n) < 2^(n+1) -1.
0156栄光 ◆Lms90zM1k. 2005/12/17(土) 17:52:27
うわぁ
こういう問題が解けるようにならないと東大へは受からないのか。
大変だな～～～（´・ω・｀）

それにしても面白そうですね。
僕も早く仲間になりたいですよ。
01571552005/12/17(土) 18:07:15
訂正、スマソ。
　= [ 2^x + x/(2^k) ](x:k-1→k) = 2^k -2^(k-1) + 1/(2^k).
(左辺) = 納k=1,n] I_k < 2^n - 1 + 1 - 1/(2^n) < 2^n.

n=1:　　1.317 < 2
n=2:　　3.452 < 2^2
n=3:　　7.476 < 2^3
n=4:　 15.477 < 2^4
n=5:　 31.477 < 2^5
n=6:　 63.477 < 2^6
n=7:　127.477 < 2^7
n=8:　255.477 < 2^8
n=9:　511.477 < 2^9
n=10:1023.477 < 2^10
0158１３２人目の素数さん2005/12/17(土) 20:36:26
また万独裁事を
0159155,1572005/12/17(土) 22:18:58
>158
　改良しますた。。。
　log(1+y)<y,　2^x > e･log(2)x > x/log(2) より
　log{2^(2^x)+1} = (2^x)log(2) + log{1 + 1/[2^(2^x)]} < (2^x)log(2) + 1/[2^(2^x)] < (2^x)log(2) + e^(-x).

(左辺) = ∫[0,n] log{2^(2^x)+1} dx < ∫[0,n] { (2^x)log(2) + e^(-x) }dx
　= [ 2^x - e^(-x) ](x:0→n) = 2^n -e(-n) < 2^n.
∴　(2^n) -1 < (左辺) < 2^n.
0160１３２人目の素数さん2005/12/18(日) 16:15:20
p
0161１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:03:08
f(x、y)=x^2006+y^2005上に有理点はたかだか有限個しか存在しないことを示せ。
0162１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:06:43
z = f(x,y)じゃないよな、、
f(x,y) = 0、、でも無いよな、、
>>161の題意が分からない
0163１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:07:00
意味不明。
0164１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:25:22
=0だとしても(n^2005、-n^2006)は全部有理点だしね。
0165１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:30:25
無作為にふたつの自然数をとったときそれらが互いに素な確率を求めよ
0166１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:32:26
>>165
もうあきたそれ。
0167１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:34:50
eが無理数であることを示せ
0168１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 00:36:45
>>167
それは実際に受験ででたんだっけ？
0169１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 01:12:50
>167
もしもｅが有理数で、ｅ=p/q (p,qは自然数)だったなら、(q!)ｅは自然数のはず。
ところで、
　ｅ - 納k=0,n] (1/k!) = 納k=n+1,∞) (1/k!) < (1/n!)納k=n+1,∞) 1/(n+1)^(k-n) = 1/(n･n!).
　0 < (n!)ｅ - M < 1/n.
∴　(n!)ｅ は自然数でない。
これがすべての自然数nについて成立つから、ｅは有理数でない。(終)
0170１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 01:26:28
たしか実際の受験では誘導でエルミートの公式（のP(x)=x^nの場合）
(1/n!)∫[a,b](x^n)e^(-x)dx=(1+a+a^2/2+a^3/6+･･･+a^n/n!)e^(-a)-(1+b+b^2/2+b^3/6+･･･+b^n/n!)e^(-b)
を証明させる問題がついててa=0、b=1を代入して
(e/n!)∫[0,1]x^ne^(-x)dx=e-(1+1+1/2+1/6+･･･+1/n!)
を示せって感じのがついてたかな？これいつのだっけ？
0171１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 01:33:50
平面上に3円C1,C2,C3があり、C1とC2およびC2とC3は外接しておりC1とC3は共有点を持たない。
C2上には赤く塗られた点Pが、C3上には青く塗られた点Qがあり、始め点Pと点Qは一致している。
C3はC2に接しながら滑ることなくC2の周りを転がり、C1に接すると今度は滑ることなくC1の周りを
転がり、再びC2に接したところで滑ることなくC2の周りを転がり最初の位置に戻ってくる。
この過程でC3とC1が、またはC3とC2が異なる2点で交わることは無いものとする。
このとき最終的に赤い点Pと青い点Qが一致するための3円の半径r1, r2, r3の条件を求めよ。
0172１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 01:39:26
>165
それって高校生出来ないような気がする。集合論とか必要じゃない？有名なん？
0173１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 02:08:53
正整数aの正の約数の個数をt(a)で表すことにする。また、T(n)=t(1)+t(2)+…+…t(n)とおく。

(1)t(n)=[n]+[n/2]+…+[n/n] を示せ。
(2)n→∞のときT(n)/n→lognを示せ。
0174１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 02:35:37
>173
(1)
まず、第一象限における曲線xy=a(a∈n)が通る格子点の個数はt(a)である
(y=a/xが格子点(p、q)を通る⇔p、qはaの約数(∵a=pq)
また、aの約数の個数はt(a)で与えられることから)。
ここで、T(n)はa=1,2,…,nとしたときの格子点の総数であり、xy=nとx軸、y軸に囲まれる領域に含まれる格子点の個数。
さて、x=a(a=1,2,…,n)上にあるこの領域内の格子点の個数は[n/a]であるから、T(n)の値は題意の通りである。

(2)
(1)の値から積分を利用し、∫[1～n]n/xdx<T(n)<n+∫[1～n]n/xdx⇒nlogn<T(n)<n+nlogn
辺々nで割り挟みうちより。
0175１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 03:00:49
逝きはよいよい帰りは怖い系の計算問題って、作るの結構難しいな。
わざとらしいトラップをかますとかは除いて。
0176１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 07:39:28
もしかして>>161は=1かな？
0177１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 10:00:42
arctanの逆関数を求めろ
0178１３２人目の素数さん2005/12/19(月) 16:41:50
？
0179１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 00:00:17
>>169
ｅ - 納k=0,n] (1/k!) = 納k=n+1,∞) (1/k!) の部分が烈しく範囲外。
誘導付じゃないと無理。
0180１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 00:19:54
∫【0→2π】√(1-sinx)dx
を求めよ。
0181１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 01:16:46
>180
√{1-sin(x)} = √{1-cos(x-π/2)} = (√2)|sin(x/2 -π/4)|
　= (√2)sin(x/2 +3π/4)|　　(0<x<π/2)
　= (√2)sin(x/2 -π/4)|　　(π/2<x<2π)
(与式) = (√2)∫[π/2,5π/2] sin(x/2-π/4)dx = (2√2)∫[0,π］sin(y)dy = 4√2.
0182１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 08:47:18
>>169 >>179
expの級数展開を有限桁で打ち切ったものを使って
eを上下から押さえるように誘導すればよいかと。
01831822005/12/20(火) 08:49:43
>>182
桁→項
0184１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 10:01:50
∫【2→3】√(1-x^2)dx
を求めよ
0185１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 11:47:41
>>184
(1/2)(Arcsin3－Arcsin2)＋(3√2－√3)i
0186１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 15:23:44
京大ぽいが、どうでしょう。

[問題]　自然数の組(a，b，c)で1/a+1/b=1/cを満たすものを全て求めよ
0187１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 17:59:45
>186
去年か一昨年早稲田で出た。文系のどっかで。
0188１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 18:56:16
え！？まじ・・・
久方ぶりにシンプルな良問(個人的に)ができたと思ったのに・・・。誰か解いてください

あと、>>53教えてください。
0189１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 22:17:32
>>188
良問も糞もあるか！
その辺の問題集に載っている ありがちな問題だぞ！
アホかお前は！！

ただの相加相乗平均の不等式を、私が発見したものですと言っているのと同じレベルだぞ！
あきれた。
0190１３２人目の素数さん2005/12/20(火) 23:01:40
>>186
期末テストで出たよ・・・俺が高校のころ。
0191１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 00:28:13
平面上に曲線Cがあり、点Pを通るどのような直線ともちょうど2点で交わり、
その2交点間の距離は常に1である。
このような曲線Cに囲まれる領域の面積Sのとりうる値の範囲を求めよ。
0192１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 00:30:58
π/4？
0193１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 00:38:46
>>192
「範囲」はブラフってか？
その楽観主義、入試で痛い目見るぜ。
0194１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 00:57:52
平面上の閉曲線Cの内部の点Pでその点を通るどのような直線もCとちょうど2点で交わり、
その直線がCにより切り取られる線分の長さが常に一定であるとき、点Pを凄い点と呼ぶことにする。
平面上のどのような閉曲線も凄い点を2つ以上持たないことを示せ。
0195１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 00:59:44
凄い点ってｗｗｗ
0196１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 01:10:00
［π／４，π／２）。
0197１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 01:53:52
>>191
Pを極にCをrθ極座標での方程式r=f(θ)として表示すれば。
0 ≦ f(θ) ≦ 1
f(θ)+f(θ+π) = 1 を満たす。
Cに囲まれる領域の面積S[f]は
S[f] = ∫[0→2π]f^2 dθ/2
= ∫[0→π](f^2 - f + 1/2)dθ
= ∫[0→π](f - 1/2)^2 dθ + π/4

Sは
f(θ) = 1/2 のとき最小値π/4
f(θ) → 1 (0≦θ＜π) のとき上限π/2

---
Cが閉曲線である、とかPがCの内部にある、とかを
勝手に使っちゃったが。補うべきかも。
0198１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 11:42:23
1＋χ＝5
χは何でしょう
0199１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 11:47:00
レスをあぼーんした。
悪く思うなよ。
0200現役生2005/12/21(水) 15:58:31
>>197
S[f]の式1～2行目で何が起こったのか是非教えてほしい。
f(θ)+f(θ+π)=1を使ってるのと、∫f(θ+π)^2dθ=∫f(θ)^2dθになることは分かった。
でも第2項のとこだけわからんのです。
0201１３２人目の素数さん2005/12/21(水) 22:14:53
∫[π→2π]　を置換して　f(θ)+f(θ+π) = 1　を使ってるんじゃないの。
0202１３２人目の素数さん2005/12/22(木) 01:47:33
\int r^2dθ/2を知らない人はかなり不利だな
と入試問題的に批評してみる
0203１３２人目の素数さん2005/12/22(木) 04:49:08
自然数nに対し、その正の約数の総和をσ(n)で表す。また、σ(n)=2nなるnを完全数と呼ぶ。
以下を示せ。


(1)
m、nが互いに素ならば、σ(mn)=σ(m)σ(n)

(2)
m=2^n-1かつ、mが素数であるとき、m*2^(n-1)は完全数である。

(3)
偶数の完全数はすべて、ある適当な、m=2^n-1かつ、mが素数であるようなm、nを用いてm*2^(n-1)と書ける。
0204１３２人目の素数さん2005/12/22(木) 13:50:49
>203

略証します。

(1)
素因数を考えて明らか。

(2)
簡単の為、m*2^(n-1)=Nとおく。Nおいて、mが素数ならば、(m,2^(n-1))より、
σ(N)=σ(m*2^(n-1))
=σ(2^(n-1))σ(m) (∵(1))
=(2^n-1)(m+1)=m(m+1)
=2N
からNは完全数。
0205１３２人目の素数さん2005/12/22(木) 14:02:52
>203

(3)
aを偶数の完全数とする。
まず、aは偶数だから
a=m*2^(n-1)、n>1、m：奇数
とおける。
さて、(m,2^(n-1))=1から(1)より
σ(a)=σ(m*2^(n-1))=σ(m)σ(2^(n-1))
=(2^n-1)σ(m)…①
また、aは完全数だから
σ(a)=2a=m*2^n…②
∴ σ(m)=m*2^n/(2^n-1)=m+m/(2^n-1)
この右辺は整数であるから、m/(2^n-1)はmの真約数。すると、σ(m)はmの二つの相異なる約数の和に等しいことになるが、σ(m)の定義から、これはmは素数であり、m/(2^n-1)=1となることを意味する。
∴ m=2^n-1(素数)、a=m*2^(n-1)
0206１３２人目の素数さん2005/12/22(木) 17:09:10
>>202
それって今高校数学の範囲内？
0207１３２人目の素数さん2005/12/22(木) 22:10:04
>>206
ﾆﾔﾆﾔ…
0208１３２人目の素数さん2005/12/22(木) 22:22:22
>>207
0209１３２人目の素数さん2005/12/22(木) 23:00:18
中心(a/2,0)半径aの円
と
中心(-a/2,0)半径aの円が重なり合った部分を
y軸の周りに回転させた回転体の体積を求めよ。
0210１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 10:56:58
>>209
宿題は此処に書き込んではいけないよ
0211１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 12:35:15
>210 宿題じゃないよ。できるんならやってみたら？
0212１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 14:23:17
>>211
　　　　　ノ⌒ヽ
　　　γ´o　........)
　　＜　　 《 ･д･)ｶﾞｵｰ!!
　 ＜:: ::;;:::つ~~つ
　 ノ:: :: :: :: :: :(
∠､-‐（_ノ"ヽ_）
0213１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 15:16:55
>211
　できますたヨン.

「中心(a/2,0)、半径aの円」の左半分：　x = √(a^2 -y^2) -(a/2).
「中心(-a/2,0)、半径aの円」の右半分： x = (a/2) -√(a^2 -y^2).
上下左右に対称で、交点は (0,±b),　b=((√3)/2)a = (sin(π/3))a.

V = π∫[-b,b] (x^2)dy
　= π∫[-b,b] {(a/2) -√(a^2-y^2)}^2 dy
　= π∫[0,b] 2{(a/2) -√(a^2-y^2)}^2 dy
　= π∫[0,b] {(5/2)a^2 -2y^2 -2a√(a^2 -y^2)} dy
　= π∫[0,b] {(5/2)a^2 -2y^2 -a(a^2 -2y^2)/√(a^2 -y^2) -a(a^2)/√(a^2 -y^2)} dy
　= π[ (5/2)(a^2)y -(2/3)y^3 -ay√(a^2 -y^2) -(a^3)arcsin(y/a) ](y:0→b)
　= π{ (5/2)(a^2)b -(2/3)b^3 -ab√(a^2 -b^2) -(a^3)arcsin(b/a) }
　= π{ (3/4)(√3) - (π/3) }(a^3)　　　　　　　　　　　　　(← b/a=(√3)/2.)
　≒ 0.79118043583053… (a^3).

やっぱり宿題だな...
0214１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 16:22:57
a,bは、a≦2bを満たす自然数とする。
長さ10メートルのゴムホースが大量にある。
これらを切り分けて、長さ3メートルのホースと長さ4メートルのホースを
それぞれa本とb本作りたい。
このとき、10メートルのゴムホースは最低何本必要か。
0215１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 16:25:24
東大受験生ならバームクーヘンで。

4π∫[0,a/2] x√{a^2-(x+a/2)^2} dx
=4π∫[a/2,a] (x-a/2)√(a^2-x^2) dx
=4π[-(1/3)(a^2-x^2)^(3/2)][a/2,a] - (2πa)∫[a/2,a] √(a^2-x^2) dx
=4π*(1/3)*(3√3/8)a^3 - (2πa){(1/2)a^2*(π/3) - (1/2)*(1/2)*(√3/2)a^2}
=(√3π/2)a^3 - (π^2/3)a^3 + (√3π/4)a^3
=(1/4)(3√3)πa^3 - (π^2/3)a^3
0216１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 17:39:26
>209,211
　[213] は、 V = ∫(2πx)dS = ∫(2πx)xdy = …… スライス（カバリエリ風）
　[215] は、 V = ∫(2πx)dS = ∫(2πx)ydx = …… 葉巻き、ロールパン
0217１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 19:39:15
>>216
＞∫(2πx)xdy
これおかしくね？だいたい高校の教科書の体積の定義は
V=∫Sdy
みたいな感じのはず。笠型でもバームクーヘンでも好きなものつかっていいとは思うが
あくまで出発点は∫Sdy系の形から変形すべきだ。受験数学スレでは。それが
教科書の定義なんだから。
0218１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 20:10:57
本来式変形で∫(2πx)xdyにたどり着けるはずだよね
どうやるのか知らないけど

ただ例のバウムクーヘンは、大数とかはつかって良いという考えみたいだけど

バカ！いいわよもう。思考言語切り替え、日本語をベーシックに
0219１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 20:13:12
V=∫π(x^2)dyのはず。
0220１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 20:21:35
∫(2πx)ydx
じゃないとおかしいな
0221１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 22:12:31
次の命題が真なら証明し、偽なら反例を挙げよ。

【命題】
{a_n}　は　0＜a_n＜1　を満たす数列とする。
0≦x≦1　で定義された連続関数の列　f_n(x)　が任意の　0≦x≦1　で
lim(n→∞)f_n(x)＝0　を満たすとする。
このとき、lim(n→∞)f_n(a_n)＝0　である。
0222１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 22:15:11

スレ題からの疑問。

なぜ、東大なのか　?
0223１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 23:34:59
次の値を求めなさい。
sin(π/2006)*sin(2π/2006)*…*sin(2004π/2006)*sin(2005π/2006)
0224１３２人目の素数さん2005/12/23(金) 23:59:37
>>223
できた。
P=sin(π/2006)*sin(2π/2006)*…*sin(2004π/2006)*sin(2005π/2006)とおく。
ρ=cos(π/2006)+isin(π/2006)とおく。sin(kπ/2006)=(ρ^k-1/ρ^k)/(2i)により
P=Π[k=1,2005]((ρ^k-1/ρ^k)/(2i))=(Π[k=1,2005]ρ^k)(Π[k=1,2005]1-ρ^(-2k))/(2i)^2005
ここで
(Π[k=1,2005]ρ^k)=ρ^(2005･1003)=i^(2005)
(Π[k=1,2005]z-ρ^(-2k))=1+z+z^2+･･･+z^2005。
∴(Π[k=1,2005]1-ρ^(-2k))=2006
∴P=2006/2^2005
0225１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 00:11:05
>224
レスありがとうございます。正解です。難易度はどのくらいでしたか？宜しければ教えて下さい。
0226１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 00:19:20
難易度０かな。
いまさらって感じ…。
02272242005/12/24(土) 00:23:11
>>225
受験問題としてはむずいかもしれない･･･かな？
　
＞理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
＞解ける問題を考えてうぷするスレ。
　
↑まさにこれくらい？いやちょっと数学得意ってくらいの高校生だと手にあまるか？うーん？
0228１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 01:27:13
Σ【k=1→2005】sin(kπ/2006)を求めよ。
0229１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 01:42:00
>228
sin(kπ/n) = {cos((k-1/2)π/n) - cos((k+1/2)π/n)}/{2sin(π/2n)}.
納k=1→n-1] = {cos(π/2n) - cos((n-1/2)π/n)}/{2sin(π/2n)}
　= {cos(π/2n) - cos(π-π/2n)}/{2sin(π/2n)}
　= 1/tan(π/2n).
に n=2006 を代入。
0230１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 01:47:44
>229
正解です。
0231１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 02:00:04
>227
ご回答ありがとうございます。やはり、やり方を知っているかいないかっていうのがカギになってしまいますね…。
純粋に『程よい難しさ』の問題(いわゆる良問)を作るのは難しいです。
0232１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 02:39:47
>223
リアルな別解を....

　sin(π/n)sin(2π/n)……sin((n-1)π/n) = f'(0) = n/(2^(n-1)).
に n=2006 を代入。

〔Sinの乗積公式〕
　sin(x)sin(x+(π/n))sin(x+(2π/n))……sin(x+(n-1)π/n) = {1/(2^(n-1))}sin(nx).

[略解] 左辺を f(x) とおき、sin(kx), cos(kx) の級数(0≦k≦n)に展開する。
f(x+(π/n))=-f(x) より 周期 2π/n をもつので、k=0,n の項だけが許される：
　f(x) = a +b･sin(nx) + c･cos(nx).
また、f(0)=f(π/n)=0 より、a=c=0, 参考書↓より、b= 1/(2^(n-1)).
　(終)

高木: ｢解析概論｣ 改訂第三版, 岩波書店 (1961)
　265頁、練習問題(5)の(11)　Γの乗積公式(Gauss)
　252頁の(7)：　Γ(s)Γ(1-s) = π/sin(πs).
0233１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 02:48:42
xyz空間に次の条件を満たすような長さ2の線分ABがある。

条件
点Aはxy平面上にある。
線分ABは点(0,0,1)を含む。

このとき線分ABの存在しうる領域の体積を求めよ。
0234１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 02:55:53
>>232
bをもとめよってのが問題じゃないの？
0235１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:08:49
>>233
もとめる軌跡をXとおく。
0≦z≦1においてはXは高さ1、底面積4πの円錐にひとしいのでその体積は(4/3)π。
1≦z≦1においてはxy平面においてx=rcosθ、y=rsinθ、r=2-1/cosθ (0≦θ≦π/3)で
あらわされる曲線のかこむ領域をx軸中心に回転させた図形の体積にひとしい。それをVとおけば
V=∫[0,1]πy^2dx
=∫[π/3,0]π(2sinθ-tanθ)^2(-2sinθ)dθ
=･･･
しんどなった。
0236１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:24:12
極座標でやると計算メンドイね。
0237１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:29:54
xyz空間に次の条件を満たすような長さ2の線分ABがある。

条件
点Aはx軸上にある。
線分ABは直線x=y-1=0と共有点を持つ。

このとき線分ABの存在しうる領域の体積を求めよ。
0238１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:50:52
こんなんどうよ。
m^3+1/mn-1が整数となるような正の整数m,nを全て求めよ。
0239１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:52:05
>>237
(x,y,z)がAB上にあるのはA(a,0,0)、ABとx=y-1=0の交点を(0,1,c)とおいて考えれば
(x,y,z)=(a,0,0)+t(-a,1,c)、(x-a)^2+y^2+z^2≦4、0≦t≦2をみたすa,c,tが存在するときで
このときy=t、a=x/(1-t)=x/(1-y)であることから
(y/(1-y))^2･x^2+y^2+z^2≦4、0≦y≦2―(※)であることが必要十分。
よってこの領域の体積をもとめればよい。yを固定したときの(※)を満足する領域の面積は
(π/4)y/(1-y)。よって体積は･･･以下ｒｙ
0240１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:52:27
↑まあ、自作ではないわな。
0241１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:55:01
>>238
ほんとに有限個しかないの？
0242１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:56:52
有限個
0243１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:57:25
３点A(1,0,0),B(0,1,√3),C(0,r,0)を通る平面に原点から下ろした垂線の足が
△ABCの内部にあるときのｒの範囲を求めよ。
0244１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 03:58:02
>>242
まじっすか。へぇ～。･･･寝よ。
0245１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 04:05:39
>233
[235]の続きを....

高さzでの存在領域の半径をR(z)とおくと、V=∫ πR^2 dz.
原点をOとすると OA≦√(4-1)=√3.

0≦z≦1 においては、Ｘは高さ1、底面積3πの円錐にひとしいのでその体積はπ。
　R(z) = (√3)(1-z)　　(0≦z≦1)　…… 円錐（体積π）

1≦z≦2 においては、 A(r,0,0) ⇔ B(R,0,z) とすると、
　r = √{(4/z^2)-1}, R = (z-1)r = (z-1)･√{(4/z^2)-1}
　R(z) = (z-1)･√{(4/z^2)-1}　　(1≦z≦2)

V = ∫[0,2] πR(z)^2 dz
　= 3π∫[0,1] (1-z)^2 dz + π∫[1,2] (z-1)^2･{(4/z^2)-1} dz
　= 3π∫[0,1] (1-z)^2 dz + π∫[1,2] {4/(z^2) -8/z +3 +2z -z^2} dz
　= π[ -(1-z)^3 ](z=0→1) + π[ -4/z -8log(z) +3z +z^2 -(1/3)z^3 ](z=1→2)
　= π + π｛ 17/3 -8log(2) }
　= 1.121489222187…π
0246１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 04:23:39
>>239
間違いだらけじゃん
0247１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 12:13:12
四平方の定理を知らないものとして・・・

【問題】
n，a，bは自然数とし、nを2進法で表記した時の各位の和を#(n)とする。
このとき n(a^2+b^2)は2#(n)個以下のいくつかの平方数(異なる必要は無い)
で書き表されることを示せ。
0248１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 12:18:27
>>221
真のような気がするが、偽なんだろうな．．．
0249栄光 ◆Lms90zM1k. 2005/12/24(土) 12:23:00
>>238

（m､n）＝（1、2）（1、3）
0250１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 12:45:54
１辺の長さaの正四面体の隣り合う２面の重心を通る直線を軸として一回転させたときの図形の体積を求めよ。
0251１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 14:10:03
>>238
　(m,n) = (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)

　 { (m,n) | m,n∈{1,2,3}, m≠n}
0252１３２人目の素数さん2005/12/24(土) 14:20:00
（ｍ＾３＋１）／（ｍｎ－１）。

（ｍ，ｎ）＝（１，２），（２，１），（１，３），（３，１）
，（２，２），（２，５），（５，２），（３，５），（５，３）。
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