★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
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0001１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 09:00:00解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
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過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
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★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0140１３２人目の素数さん
2005/12/16(金) 01:46:07でけた。
PA=PB=PC=PD=PE=PF=1として一般性をうしなわない。
三角錐PACEの体積をV、三角錐PABCの体積をWとおく。
与式⇔(a+d)(ce)+(b+e)(ac)+(c+f)(ae)=(a+d)(bf)+(b+e)(df)+(c+f)(bd)
⇔3ace+abc+cde+efa=3bdf+bcd+def+fab
なので最後の式をしめす。それにはace=bdf―(A)、abc+cde+efa=bcd+def+fab―(B)をしめせば十分である。
△A’C’E’と△B’D’F’は面積が等しいので
aceV=三角錐PA’C’E’の体積=三角錐PB’D’F’の体積=bdfである。よって(A)はしめされた。
△A’B’C’、△C’D’E’、△E’F'A’の面積の和と△B’C’D’、△D’E’F’、△F’A’B’の面積の和は等しいので
(A)と同様にして(B)もしめされる。以上で示された。
0141140
2005/12/16(金) 01:48:310142140
2005/12/16(金) 08:31:05＞△A’C’E’と△B’D’F’は面積が等しいので
＞△A’B’C’、△C’D’E’、△E’F'A’の面積の和と△B’C’D’、△D’E’F’、△F’A’B’の
＞面積の和は等しいので
この２つは証明しないとおこられるんだろな。しかし泥臭い方法しか思いつかん。
後者は前者からすぐでるので前者のみ
しめせば十分。それは四面体PA’C’E’と四面体PB’D’F’の体積が等しいときなので
|AA’||CC’||EE’|=|BB’||DD’||FF’|―(1)と同値。
ABCDEFをふくむ平面をα、A’B’C’D’E’F’をふくむ平面をα’、
ABCDEFの外接円をS、α’上のA’B’C’D’E’F’をとおる二次曲線をS’とする。
SとS’は接するとして一般性を失わない。(必要ならαを上下して接するようにすればよい。)
AD//A’D’のときはAA’=DD’、BB’=CC’、EE’=FF’なので明らか。
BD//B’D’、CF//C’F’、のいづれかが成立するときも同様。
それ以外のときADとA’D’の交点をG、CFとC’F’の交点をH、EBとE’B’の交点をIとおく。
メネラウスの定理より(1)は(AG/DG)(CH/EH)(CI/FI)=1―(2)
あるいはAG･CH･EI=DG･FH･BI―(3)と同値。これを示す。
α、α’の交線をLとおく。αに極座標rθを設定してSがr=1、Lがrcosθ=1になるとしてよい。
ABCDEFの座標を(1,θ)、(1,θ+π/3)、(1,θ+2π/3)、
(1,θ+π)、(1,θ+4π/3)、(1,θ+5π/3)とすればAG=1/cosθ-1、DG=1/cosθ+1、
BH=1/cos(θ+π/3)-1、EH=1/cos(θ+π/3)+1、CI=1/cos(θ-π/3)-1、FI=1/cos(θ-π/3)+1
これらを(3)へ代入すれば容易に正しいことが確かめられる。（←受験だとおこられるだろうな）
･･･なんか瞬殺する方法がありそうなんだけど･･･
0143140
2005/12/16(金) 11:54:48与式⇔3ace+abc+cde+efa=3bdf+bcd+def+fab
で両辺にP-ABCの体積をかけると
左辺＝右辺＝P-A'B'C'D'E'F'になるみたい。策に溺れた…orz
0144１３２人目の素数さん
2005/12/16(金) 15:29:290145１３２人目の素数さん
2005/12/16(金) 22:28:16問題あってる？
a:c:e=1:2:3入れて、計算しても0にならなかったんだけど
俺の計算ミスかな？
0146１３２人目の素数さん
2005/12/16(金) 23:36:49二通りの方法で挑戦してみたんだが、やっぱり出題がおかしくないかな。
一個目の方法はPA, PC, PE を xyz軸にした斜交空間で
A',C',E'を通る平面の方程式と、B',D',F'を通る平面の方程式が
一致するという条件で連立方程式を立てたもの。
もう一この方法は、A',B',C',D',E',F'を底面に射影した点が一つの2次曲線上に
あるという条件から行列式の計算に持ち込んだもの。
上のどちらのやり方でも
bdf(ce+ae+ac) - ace(df+bf+bd) = 0
という式が出てきた。
0147１３２人目の素数さん
2005/12/17(土) 00:28:410148１３２人目の素数さん
2005/12/17(土) 00:34:330149麒麟◇nurupo
2005/12/17(土) 00:38:59(´･ω･)知らんがな
0150１３２人目の素数さん
2005/12/17(土) 01:26:16xに関する2次方程式
px^2+(5-p^2)x-3p=0
が整数解を持つようなpをすべて決定せよ。
0151１３２人目の素数さん
2005/12/17(土) 14:18:34正解
0152１３２人目の素数さん
2005/12/17(土) 14:26:50p=2
0153中１
2005/12/17(土) 14:33:030154１３２人目の素数さん
2005/12/17(土) 15:07:50∫[0,n]log(2^(2^x)+1)dx＜2^(n+1)を証明せよ。
0155１３２人目の素数さん
2005/12/17(土) 16:45:01log{2^(2^x)+1} = (2^x)log(2) + log{1 + 1/[2^(2^x)]} < (2^x)log(2) + 1/[2^(2^x)]. (← log(1+y)<y )
I_k ≡ ∫[k-1,k] log{2^(2^x)+1} dx < ∫[k-1,k] { (2^x)log(2) + 1/[2^(2^(k-1))] }dx
< ∫[k-1,k] { (2^x)log(2) + 1/(2^k) }dx (← 2^(k-1)≧k )
= [ 2^x + x/(2^k) ](x:k→k+1) = 2^(k+1) -2^k + 1/(2^k).
(左辺) = 納k=1,n] I_k < 2^(n+1) - 2 + 1 - 1/(2^n) < 2^(n+1) -1.
0156栄光 ◆Lms90zM1k.
2005/12/17(土) 17:52:27こういう問題が解けるようにならないと東大へは受からないのか。
大変だな～～～（´・ω・｀）
それにしても面白そうですね。
僕も早く仲間になりたいですよ。
0157155
2005/12/17(土) 18:07:15= [ 2^x + x/(2^k) ](x:k-1→k) = 2^k -2^(k-1) + 1/(2^k).
(左辺) = 納k=1,n] I_k < 2^n - 1 + 1 - 1/(2^n) < 2^n.
n=1: 1.317 < 2
n=2: 3.452 < 2^2
n=3: 7.476 < 2^3
n=4: 15.477 < 2^4
n=5: 31.477 < 2^5
n=6: 63.477 < 2^6
n=7: 127.477 < 2^7
n=8: 255.477 < 2^8
n=9: 511.477 < 2^9
n=10:1023.477 < 2^10
0158１３２人目の素数さん
2005/12/17(土) 20:36:260159155,157
2005/12/17(土) 22:18:58改良しますた。。。
log(1+y)<y, 2^x > e･log(2)x > x/log(2) より
log{2^(2^x)+1} = (2^x)log(2) + log{1 + 1/[2^(2^x)]} < (2^x)log(2) + 1/[2^(2^x)] < (2^x)log(2) + e^(-x).
(左辺) = ∫[0,n] log{2^(2^x)+1} dx < ∫[0,n] { (2^x)log(2) + e^(-x) }dx
= [ 2^x - e^(-x) ](x:0→n) = 2^n -e(-n) < 2^n.
∴ (2^n) -1 < (左辺) < 2^n.
0160１３２人目の素数さん
2005/12/18(日) 16:15:200161１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 00:03:080162１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 00:06:43f(x,y) = 0、、でも無いよな、、
>>161の題意が分からない
0163１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 00:07:000164１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 00:25:220165１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 00:30:250166１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 00:32:26もうあきたそれ。
0167１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 00:34:500168１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 00:36:45それは実際に受験ででたんだっけ？
0169１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 01:12:50もしもｅが有理数で、ｅ=p/q (p,qは自然数)だったなら、(q!)ｅは自然数のはず。
ところで、
ｅ - 納k=0,n] (1/k!) = 納k=n+1,∞) (1/k!) < (1/n!)納k=n+1,∞) 1/(n+1)^(k-n) = 1/(n･n!).
0 < (n!)ｅ - M < 1/n.
∴ (n!)ｅ は自然数でない。
これがすべての自然数nについて成立つから、ｅは有理数でない。(終)
0170１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 01:26:28(1/n!)∫[a,b](x^n)e^(-x)dx=(1+a+a^2/2+a^3/6+･･･+a^n/n!)e^(-a)-(1+b+b^2/2+b^3/6+･･･+b^n/n!)e^(-b)
を証明させる問題がついててa=0、b=1を代入して
(e/n!)∫[0,1]x^ne^(-x)dx=e-(1+1+1/2+1/6+･･･+1/n!)
を示せって感じのがついてたかな？これいつのだっけ？
0171１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 01:33:50C2上には赤く塗られた点Pが、C3上には青く塗られた点Qがあり、始め点Pと点Qは一致している。
C3はC2に接しながら滑ることなくC2の周りを転がり、C1に接すると今度は滑ることなくC1の周りを
転がり、再びC2に接したところで滑ることなくC2の周りを転がり最初の位置に戻ってくる。
この過程でC3とC1が、またはC3とC2が異なる2点で交わることは無いものとする。
このとき最終的に赤い点Pと青い点Qが一致するための3円の半径r1, r2, r3の条件を求めよ。
0172１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 01:39:26それって高校生出来ないような気がする。集合論とか必要じゃない？有名なん？
0173１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 02:08:53(1)t(n)=[n]+[n/2]+…+[n/n] を示せ。
(2)n→∞のときT(n)/n→lognを示せ。
0174１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 02:35:37(1)
まず、第一象限における曲線xy=a(a∈n)が通る格子点の個数はt(a)である
(y=a/xが格子点(p、q)を通る⇔p、qはaの約数(∵a=pq)
また、aの約数の個数はt(a)で与えられることから)。
ここで、T(n)はa=1,2,…,nとしたときの格子点の総数であり、xy=nとx軸、y軸に囲まれる領域に含まれる格子点の個数。
さて、x=a(a=1,2,…,n)上にあるこの領域内の格子点の個数は[n/a]であるから、T(n)の値は題意の通りである。
(2)
(1)の値から積分を利用し、∫[1～n]n/xdx<T(n)<n+∫[1～n]n/xdx⇒nlogn<T(n)<n+nlogn
辺々nで割り挟みうちより。
0175１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 03:00:49わざとらしいトラップをかますとかは除いて。
0176１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 07:39:280177１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 10:00:420178１３２人目の素数さん
2005/12/19(月) 16:41:500179１３２人目の素数さん
2005/12/20(火) 00:00:17ｅ - 納k=0,n] (1/k!) = 納k=n+1,∞) (1/k!) の部分が烈しく範囲外。
誘導付じゃないと無理。
0180１３２人目の素数さん
2005/12/20(火) 00:19:54を求めよ。
0181１３２人目の素数さん
2005/12/20(火) 01:16:46√{1-sin(x)} = √{1-cos(x-π/2)} = (√2)|sin(x/2 -π/4)|
= (√2)sin(x/2 +3π/4)| (0<x<π/2)
= (√2)sin(x/2 -π/4)| (π/2<x<2π)
(与式) = (√2)∫[π/2,5π/2] sin(x/2-π/4)dx = (2√2)∫[0,π］sin(y)dy = 4√2.
0182１３２人目の素数さん
2005/12/20(火) 08:47:18expの級数展開を有限桁で打ち切ったものを使って
eを上下から押さえるように誘導すればよいかと。
0184１３２人目の素数さん
2005/12/20(火) 10:01:50を求めよ
0185１３２人目の素数さん
2005/12/20(火) 11:47:41(1/2)(Arcsin3－Arcsin2)＋(3√2－√3)i
0186１３２人目の素数さん
2005/12/20(火) 15:23:44[問題] 自然数の組(a，b，c)で1/a+1/b=1/cを満たすものを全て求めよ
0187１３２人目の素数さん
2005/12/20(火) 17:59:45去年か一昨年早稲田で出た。文系のどっかで。
0188１３２人目の素数さん
2005/12/20(火) 18:56:16久方ぶりにシンプルな良問(個人的に)ができたと思ったのに・・・。誰か解いてください
あと、>>53教えてください。
0189１３２人目の素数さん
2005/12/20(火) 22:17:32良問も糞もあるか！
その辺の問題集に載っている ありがちな問題だぞ！
アホかお前は！！
ただの相加相乗平均の不等式を、私が発見したものですと言っているのと同じレベルだぞ！
あきれた。
0190１３２人目の素数さん
2005/12/20(火) 23:01:40期末テストで出たよ・・・俺が高校のころ。
0191１３２人目の素数さん
2005/12/21(水) 00:28:13その2交点間の距離は常に1である。
このような曲線Cに囲まれる領域の面積Sのとりうる値の範囲を求めよ。
0192１３２人目の素数さん
2005/12/21(水) 00:30:580193１３２人目の素数さん
2005/12/21(水) 00:38:46「範囲」はブラフってか？
その楽観主義、入試で痛い目見るぜ。
0194１３２人目の素数さん
2005/12/21(水) 00:57:52その直線がCにより切り取られる線分の長さが常に一定であるとき、点Pを凄い点と呼ぶことにする。
平面上のどのような閉曲線も凄い点を2つ以上持たないことを示せ。
0195１３２人目の素数さん
2005/12/21(水) 00:59:440196１３２人目の素数さん
2005/12/21(水) 01:10:000197１３２人目の素数さん
2005/12/21(水) 01:53:52Pを極にCをrθ極座標での方程式r=f(θ)として表示すれば。
0 ≦ f(θ) ≦ 1
f(θ)+f(θ+π) = 1 を満たす。
Cに囲まれる領域の面積S[f]は
S[f] = ∫[0→2π]f^2 dθ/2
= ∫[0→π](f^2 - f + 1/2)dθ
= ∫[0→π](f - 1/2)^2 dθ + π/4
Sは
f(θ) = 1/2 のとき最小値π/4
f(θ) → 1 (0≦θ＜π) のとき上限π/2
---
Cが閉曲線である、とかPがCの内部にある、とかを
勝手に使っちゃったが。補うべきかも。
0198１３２人目の素数さん
2005/12/21(水) 11:42:23χは何でしょう
0199１３２人目の素数さん
2005/12/21(水) 11:47:00悪く思うなよ。
0200現役生
2005/12/21(水) 15:58:31S[f]の式1～2行目で何が起こったのか是非教えてほしい。
f(θ)+f(θ+π)=1を使ってるのと、∫f(θ+π)^2dθ=∫f(θ)^2dθになることは分かった。
でも第2項のとこだけわからんのです。
0201１３２人目の素数さん
2005/12/21(水) 22:14:530202１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 01:47:33と入試問題的に批評してみる
0203１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 04:49:08以下を示せ。
(1)
m、nが互いに素ならば、σ(mn)=σ(m)σ(n)
(2)
m=2^n-1かつ、mが素数であるとき、m*2^(n-1)は完全数である。
(3)
偶数の完全数はすべて、ある適当な、m=2^n-1かつ、mが素数であるようなm、nを用いてm*2^(n-1)と書ける。
0204１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 13:50:49略証します。
(1)
素因数を考えて明らか。
(2)
簡単の為、m*2^(n-1)=Nとおく。Nおいて、mが素数ならば、(m,2^(n-1))より、
σ(N)=σ(m*2^(n-1))
=σ(2^(n-1))σ(m) (∵(1))
=(2^n-1)(m+1)=m(m+1)
=2N
からNは完全数。
0205１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 14:02:52(3)
aを偶数の完全数とする。
まず、aは偶数だから
a=m*2^(n-1)、n>1、m：奇数
とおける。
さて、(m,2^(n-1))=1から(1)より
σ(a)=σ(m*2^(n-1))=σ(m)σ(2^(n-1))
=(2^n-1)σ(m)…①
また、aは完全数だから
σ(a)=2a=m*2^n…②
∴ σ(m)=m*2^n/(2^n-1)=m+m/(2^n-1)
この右辺は整数であるから、m/(2^n-1)はmの真約数。すると、σ(m)はmの二つの相異なる約数の和に等しいことになるが、σ(m)の定義から、これはmは素数であり、m/(2^n-1)=1となることを意味する。
∴ m=2^n-1(素数)、a=m*2^(n-1)
0206１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 17:09:10それって今高校数学の範囲内？
0207１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 22:10:04ﾆﾔﾆﾔ…
0208１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 22:22:220209１３２人目の素数さん
2005/12/22(木) 23:00:18と
中心(-a/2,0)半径aの円が重なり合った部分を
y軸の周りに回転させた回転体の体積を求めよ。
0210１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 10:56:58宿題は此処に書き込んではいけないよ
0211１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 12:35:150212１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 14:23:17ノ⌒ヽ
γ´o ........)
＜ 《 ･д･)ｶﾞｵｰ!!
＜:: ::;;:::つ~~つ
ノ:: :: :: :: :: :(
∠､-‐（_ノ"ヽ_）
0213１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 15:16:55できますたヨン.
「中心(a/2,0)、半径aの円」の左半分： x = √(a^2 -y^2) -(a/2).
「中心(-a/2,0)、半径aの円」の右半分： x = (a/2) -√(a^2 -y^2).
上下左右に対称で、交点は (0,±b), b=((√3)/2)a = (sin(π/3))a.
V = π∫[-b,b] (x^2)dy
= π∫[-b,b] {(a/2) -√(a^2-y^2)}^2 dy
= π∫[0,b] 2{(a/2) -√(a^2-y^2)}^2 dy
= π∫[0,b] {(5/2)a^2 -2y^2 -2a√(a^2 -y^2)} dy
= π∫[0,b] {(5/2)a^2 -2y^2 -a(a^2 -2y^2)/√(a^2 -y^2) -a(a^2)/√(a^2 -y^2)} dy
= π[ (5/2)(a^2)y -(2/3)y^3 -ay√(a^2 -y^2) -(a^3)arcsin(y/a) ](y:0→b)
= π{ (5/2)(a^2)b -(2/3)b^3 -ab√(a^2 -b^2) -(a^3)arcsin(b/a) }
= π{ (3/4)(√3) - (π/3) }(a^3) (← b/a=(√3)/2.)
≒ 0.79118043583053… (a^3).
やっぱり宿題だな...
0214１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 16:22:57長さ10メートルのゴムホースが大量にある。
これらを切り分けて、長さ3メートルのホースと長さ4メートルのホースを
それぞれa本とb本作りたい。
このとき、10メートルのゴムホースは最低何本必要か。
0215１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 16:25:244π∫[0,a/2] x√{a^2-(x+a/2)^2} dx
=4π∫[a/2,a] (x-a/2)√(a^2-x^2) dx
=4π[-(1/3)(a^2-x^2)^(3/2)][a/2,a] - (2πa)∫[a/2,a] √(a^2-x^2) dx
=4π*(1/3)*(3√3/8)a^3 - (2πa){(1/2)a^2*(π/3) - (1/2)*(1/2)*(√3/2)a^2}
=(√3π/2)a^3 - (π^2/3)a^3 + (√3π/4)a^3
=(1/4)(3√3)πa^3 - (π^2/3)a^3
0216１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 17:39:26[213] は、 V = ∫(2πx)dS = ∫(2πx)xdy = …… スライス（カバリエリ風）
[215] は、 V = ∫(2πx)dS = ∫(2πx)ydx = …… 葉巻き、ロールパン
0217１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 19:39:15＞∫(2πx)xdy
これおかしくね？だいたい高校の教科書の体積の定義は
V=∫Sdy
みたいな感じのはず。笠型でもバームクーヘンでも好きなものつかっていいとは思うが
あくまで出発点は∫Sdy系の形から変形すべきだ。受験数学スレでは。それが
教科書の定義なんだから。
0218１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 20:10:57どうやるのか知らないけど
ただ例のバウムクーヘンは、大数とかはつかって良いという考えみたいだけど
バカ！いいわよもう。思考言語切り替え、日本語をベーシックに
0219１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 20:13:120220１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 20:21:35じゃないとおかしいな
0221１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 22:12:31【命題】
{a_n} は 0＜a_n＜1 を満たす数列とする。
0≦x≦1 で定義された連続関数の列 f_n(x) が任意の 0≦x≦1 で
lim(n→∞)f_n(x)＝0 を満たすとする。
このとき、lim(n→∞)f_n(a_n)＝0 である。
0222１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 22:15:11スレ題からの疑問。
なぜ、東大なのか ?
0223１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 23:34:59sin(π/2006)*sin(2π/2006)*…*sin(2004π/2006)*sin(2005π/2006)
0224１３２人目の素数さん
2005/12/23(金) 23:59:37できた。
P=sin(π/2006)*sin(2π/2006)*…*sin(2004π/2006)*sin(2005π/2006)とおく。
ρ=cos(π/2006)+isin(π/2006)とおく。sin(kπ/2006)=(ρ^k-1/ρ^k)/(2i)により
P=Π[k=1,2005]((ρ^k-1/ρ^k)/(2i))=(Π[k=1,2005]ρ^k)(Π[k=1,2005]1-ρ^(-2k))/(2i)^2005
ここで
(Π[k=1,2005]ρ^k)=ρ^(2005･1003)=i^(2005)
(Π[k=1,2005]z-ρ^(-2k))=1+z+z^2+･･･+z^2005。
∴(Π[k=1,2005]1-ρ^(-2k))=2006
∴P=2006/2^2005
0225１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 00:11:05レスありがとうございます。正解です。難易度はどのくらいでしたか？宜しければ教えて下さい。
0226１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 00:19:20いまさらって感じ…。
0227224
2005/12/24(土) 00:23:11受験問題としてはむずいかもしれない･･･かな？
＞理系で数学が得意な高校生が２５～５０分で
＞解ける問題を考えてうぷするスレ。
↑まさにこれくらい？いやちょっと数学得意ってくらいの高校生だと手にあまるか？うーん？
0228１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 01:27:130229１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 01:42:00sin(kπ/n) = {cos((k-1/2)π/n) - cos((k+1/2)π/n)}/{2sin(π/2n)}.
納k=1→n-1] = {cos(π/2n) - cos((n-1/2)π/n)}/{2sin(π/2n)}
= {cos(π/2n) - cos(π-π/2n)}/{2sin(π/2n)}
= 1/tan(π/2n).
に n=2006 を代入。
0230１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 01:47:44正解です。
0231１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:00:04ご回答ありがとうございます。やはり、やり方を知っているかいないかっていうのがカギになってしまいますね…。
純粋に『程よい難しさ』の問題(いわゆる良問)を作るのは難しいです。
0232１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:39:47リアルな別解を....
sin(π/n)sin(2π/n)……sin((n-1)π/n) = f'(0) = n/(2^(n-1)).
に n=2006 を代入。
〔Sinの乗積公式〕
sin(x)sin(x+(π/n))sin(x+(2π/n))……sin(x+(n-1)π/n) = {1/(2^(n-1))}sin(nx).
[略解] 左辺を f(x) とおき、sin(kx), cos(kx) の級数(0≦k≦n)に展開する。
f(x+(π/n))=-f(x) より 周期 2π/n をもつので、k=0,n の項だけが許される：
f(x) = a +b･sin(nx) + c･cos(nx).
また、f(0)=f(π/n)=0 より、a=c=0, 参考書↓より、b= 1/(2^(n-1)).
(終)
高木: ｢解析概論｣ 改訂第三版, 岩波書店 (1961)
265頁、練習問題(5)の(11) Γの乗積公式(Gauss)
252頁の(7)： Γ(s)Γ(1-s) = π/sin(πs).
0233１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:48:42条件
点Aはxy平面上にある。
線分ABは点(0,0,1)を含む。
このとき線分ABの存在しうる領域の体積を求めよ。
0234１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 02:55:53bをもとめよってのが問題じゃないの？
0235１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:08:49もとめる軌跡をXとおく。
0≦z≦1においてはXは高さ1、底面積4πの円錐にひとしいのでその体積は(4/3)π。
1≦z≦1においてはxy平面においてx=rcosθ、y=rsinθ、r=2-1/cosθ (0≦θ≦π/3)で
あらわされる曲線のかこむ領域をx軸中心に回転させた図形の体積にひとしい。それをVとおけば
V=∫[0,1]πy^2dx
=∫[π/3,0]π(2sinθ-tanθ)^2(-2sinθ)dθ
=･･･
しんどなった。
0236１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:24:120237１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:29:54条件
点Aはx軸上にある。
線分ABは直線x=y-1=0と共有点を持つ。
このとき線分ABの存在しうる領域の体積を求めよ。
0238１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:50:52m^3+1/mn-1が整数となるような正の整数m,nを全て求めよ。
0239１３２人目の素数さん
2005/12/24(土) 03:52:05(x,y,z)がAB上にあるのはA(a,0,0)、ABとx=y-1=0の交点を(0,1,c)とおいて考えれば
(x,y,z)=(a,0,0)+t(-a,1,c)、(x-a)^2+y^2+z^2≦4、0≦t≦2をみたすa,c,tが存在するときで
このときy=t、a=x/(1-t)=x/(1-y)であることから
(y/(1-y))^2･x^2+y^2+z^2≦4、0≦y≦2―(※)であることが必要十分。
よってこの領域の体積をもとめればよい。yを固定したときの(※)を満足する領域の面積は
(π/4)y/(1-y)。よって体積は･･･以下ｒｙ
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