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★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 09:00:00
理系で数学が得意な高校生が２５〜５０分で
解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
関連スレへどうぞ

　過去ログ
★東大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1000592003/
★東大京大入試作問者になったつもりのスレ★
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1046165076/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第三問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1069171672/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第4問
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1099493043/
★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/
0002１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 09:01:00
。
0003１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 10:20:47
華麗に３げと、ズザー！
0004１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 12:35:24
華麗に４げと、ズザー！
0005１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 12:43:11
華麗に５げと、ズザー！
0006１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 13:18:22
だからさやめとけって
ここの問題は流用されているよ。
0007１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 16:08:11
ここでネタ収集してるんだけど、次スレが立たなくて焦ったよ。
0008１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 17:20:00
流用って何に？
0009１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 18:48:39
>>6
適当なこと言っていると思われたくなかったら、具体例を提示せよ
0010１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 18:54:17
高校のテスト問題に流用とかあるかもねえ
まあ一般的な高校生が充分解けるレベルの問題なんて
ほとんど出てないと思うけど
0011１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 20:51:38
曲線y=x-√xと直線y=ax+bがただ1つの共有点を持つa,bの条件を求めよ。
0012GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w 2005/12/08(木) 21:05:09
talk:>>11 bが0より大か0より小かで場合わけだな。
0013１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 21:15:25
ウム。
0014１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 22:39:49
1＋1＝2を証明しろ
0015１３２人目の素数さん2005/12/08(木) 23:55:18
とりあえず数学の問題の著作権については
どんな感じになってますか？
0016１３２人目の素数さん2005/12/09(金) 02:20:14
結構微妙
日本ではあまり気にしなくて良いと思う
外国では結構severeで、大学入試問題を
勝手にうｐしたりすると問題になったりする
まあそれ言い出すと、数学の定理や証明の著作権は？とかそういう問題になるしね
証明の著作権なんて認められた日にゃ数学が終わる

国語の大学入試問題の、問題文の著作権は今ちょうど問題になってる
ttp://www.gakushuin.ac.jp/~881791/d/0511.html#02
0017１３２人目の素数さん2005/12/09(金) 03:02:35
ｑ
0018１３２人目の素数さん2005/12/09(金) 04:51:22
>>11
{a<1∧4(a-1)b=1}∨{1<=a∧b<=0}
>>14
…
0019１３２人目の素数さん2005/12/10(土) 15:47:32
ちょっと簡単すぎかも・・・

平面上に3つの円が並んでおり、それらの3つの中心は一直線上にはない。
また、一番左にある円と真ん中にある円は2点を共有し、
一番右にある円と真ん中にある円も2点を共有し、
一番右にある円と一番左にある円に共有点はない。
このとき、うまく点をとれば、その点からこれらの3つの円に
引いた6本の接線の接点が同一円周上にあるようにできることを示せ。
0020１３２人目の素数さん2005/12/10(土) 16:05:03
以下の漸化式で定まる数列a[n]の一般項を求めよ。

a[1]=2-√3
a[2]=1
a[3]=2+√3
a[n+2]=(a[n+1]+a[n]-a[n-1]+a[n+1]a[n]a[n-1])/(1-a[n+1]a[n]+a[n]a[n-1]+a[n-1]a[n+1])
0021１３２人目の素数さん2005/12/10(土) 16:23:56
このスレで今までに出た問題で一番の傑作は？
0022１３２人目の素数さん2005/12/10(土) 16:45:10
(1)a^3+1/a^3を因数分解せよ
(2)x^3-3x+5=0を解け。
0023１３２人目の素数さん2005/12/10(土) 22:21:30
>>19
まず中心間の距離＞半径の和となる円C1,C2とこれら２円と２点づつを共有する
直線LにたいしてC1、C2、Lと直交する円が存在する円が存在することをしめす。
C1の半径をr1、C2の半径をr2とする。C1、C2の中心をO1、O2とする。
C1とLの共有点P1、Q1とC2とLの共有点P2、Q2がQ1、P1、P2、Q2の順でならんでいるとする。
L上の動点XをP1からP2へうごかす。f(X)をf(X)=√(|XO1|^2-r1^2)-√(|XO2|^2-r2^2)
でさだめるとfは連続関数でf(P1)<0、f(P2)>0であるからf(R)=0となる点が線分P1P2上にとれる。
この点RをとおるC1の接線の接点をA1、B1、C2の接線の接点をA2、B2とすれば
RA1=RB1=RA2=RB2であるからこの値をrとおくとRを中心とする半径rの円がもとめる円である。
であとは例によって円円対応の原理で以下ry
･･･円円対応飽きた。
0024１３２人目の素数さん2005/12/11(日) 20:01:29
>>23
>>19は方べきの定理で一発なのでは？
0025１３２人目の素数さん2005/12/11(日) 20:44:46
>>24
どうやんの？
0026１３２人目の素数さん2005/12/11(日) 20:47:44
age
0027１３２人目の素数さん2005/12/11(日) 21:35:22
曲線y=e^xとy=1/x-1、およびx軸、y軸とで囲まれた部分の面積が1より小さいことを示せ。
0028１３２人目の素数さん2005/12/11(日) 21:43:19
>>27
それって
{0≦x≦1/2、0≦y≦2x+1}∪{1/2≦x≦1、0≦y≦-2x+2}
にふくまれちゃうんじゃね？
0029１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 21:58:26
三角ABCの内接円、外接円の半径をそれぞれｒ、Rとするとき
R≧2ｒを示せ。
0030１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 22:25:19
だから宿題をココに投下するなって
0031１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 22:28:06
>>29
それ京大の過去問になったことあるんじゃね？なんか見たことある。
（解）A,B,Cの対辺の長さをa,b,c、面積をSとして
S=(1/2)(a+b+c)r=(1/2)(sinA+sinB+sinC)Rr
S=(1/2)R^2sinA+(1/2)R^2sinB+(1/2)R^2sinC
により2r/R=(sin2A+sin2B+sin2C)/(sinA+sinB+sinC)
和積公式から
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC、sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
∴2r/R=8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
一方で-logsin(x/2) (0＜x＜π)の凸性から
-(logsin(A/2)+logsin(B/2)+logsin(C/2))/3≧-logsin(((A+B+C)/3)/2)=-log(1/2)
∴sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≦(1/8)
∴2r/R≦1 (等号はA=B=C=π/3のとき)
0032１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 22:36:16
ではさらに、内接円、外接円の中心をそれぞれ　I、Oとするとき、
IO＾2＝R＾2−2Rr　を示せ。
0033１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 22:45:20
お約束問題は東大に相応しくない。
0034１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 22:58:21
>20
a[n] = tan(θ[n]) とおくと、
θ[1] = π/12,
θ[2] = 3π/12,
θ[3] = 5π/12,
θ[n+2] = θ[n+1]+θ[n]-θ[n-1].
以下ry)
0035１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 23:11:13
>>32
これ計算爆発するな。ホントに受験の答案にかける量におさまるん？
0036１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 23:13:13
>>35
所等幾何で証明可。
0037１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 23:25:58
>>36
なるほど。始点をOにして(sinA+sinB+sinC)OI↑=(sinA)a↑+(sinB)b↑+(sinC)c↑
とかしてIO^2/R^2=1-2r/Rの両辺をA,B,Cの三角比で表わして･･･できた式をみて目が
点になった。ちなみにせっかくだからかかせてもらうと
IO^2/R^2
=((sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2+2sinAsinBcos2C+2sinBsinCcos2A+2sinCsinAcos2B))/(sinA+sinB+sinC)^2
1-2r/R
=1-8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
A=π/2、B=C=π/4のとき正しいのでたぶんここまであってるんだろうーなーと。
でA+B+C=πのとき等しいことしめしてやろーと思ってやんなった。
0038１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 23:27:13
>>36
ヒントおながいします。面積？
0039１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 23:45:00
>>35
有名問題
0040372005/12/12(月) 23:46:27
>>37の方針でもできんことはないな。
　
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2+2sinAsinBcos2C+2sinBsinCcos2A+2sinCsinAcos2B
=(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2+2sinAsinB+2sinBsinC+2sinCsinA
　-4sinAsinB(sinC)^2-4sinBsinC(sinA)^2-4sinCsinA(sinB)^2
=(sinA+sinB+sinC)^2-4sinAsinBsinC(sinA+sinB+sinC)
∴IO^2/R^2=1-4sinAsinBsinC/(sinA+sinB+sinC)=1-(sin2A+sin2B+sin2C)/(sinA+sinB+sinC)=1-2r/R。
　
できなくはないが･･･エレガントな香具師がしりたい。
0041１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 23:47:15
>>39
まじっすか？なににのってる？
0042１３２人目の素数さん2005/12/12(月) 23:54:04
>>41
初等幾何の有名な本には結構載ってるよ
一寸初等幾何関係の本は実家に置いてきちゃったから
具体的に今確認は出来ないけど
0043１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 00:13:16
と、あっさりレスが来るくらいだから、天才or幾何ヲタ問題でしかないな。

>>41
清宮の本か数オリ対策本辺りで見た希ガス。
適当にあさればすぐに見つかるよ。
0044１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 00:16:43
>>42-43
thx。しかし初等幾何の本っつーのが一番さがしにくい。大学にはもちろんあんまないわけだし。
数オリの対策本なんかあるわけねーw。もしみつかったら>>32のエレ解おしえたってくらはい。
0045１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 00:19:35
センターの過去問（誘導付き）にあり。
0046１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 00:30:51
http://www.google.co.jp/search?hl=ja&q=R%EF%BC%BE2%EF%BC%8D2Rr&lr=
今井塾がどうのとかいうのは無視しましょう
0047１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 00:30:57
>>45
おお、それならさがせなくもない･･･かな？だいたい何年くらいまえとかそのくらいわからねすか？
0048１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 00:50:01
>>47
2002年本試験　数１Ａ　４番
ttp://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/center/02/exam/212/12.html
ttp://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/center/02/exam/212/13.html
0049１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 00:53:11
>>48
WOW!! GJ!!! これで心おきなく寝られる。thx a lot!!!
0050１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 01:07:31
>41
寺坂英孝: ｢初等幾何学｣第2版, 岩波全書159 (1973)
§75 の "オィラーの関係"

http://mathworld.wolfram.com/EulersInequality.html
http://mathworld.wolfram.com/EulerTriangleFormula.html
0051１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 01:26:58
>>29
不等式への招待２
http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/496-497
0052１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 03:07:32
>>34
すごい！！
0053１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 03:18:20
以下の命題は任意の実数の組(x，y)について成り立つか？
成り立つなら証明をし、成り立たないなら成り立たない実数の組(x，y)を全て求めよ
命題：「適当な実数aを用いてx=ap，y=a^2qと定めれば、p＞qとできる」
0054１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 05:47:54
>>23
>>25

左側の円と真ん中の円の交点を通る直線と
右側の円と真ん中の円の交点を通る直線の
交点がうまい点になりはしないだろうか。

ちなみに俺は>>22の出題者だが、宿題だと
思われているのだろうか…。誰か解いて。
0055１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 09:23:00
（１）無理。
（２）無理。
0056１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 09:52:37
>>54
宿題は質問スレに書け！
0057542005/12/13(火) 13:21:59
宿題じゃないっつの！！　　　(´･ω･`)ｼｮﾎﾞｰﾝ
0058１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 15:08:01
（１）多項式でないから因数分解できない。
（２）数学板での出題としては三次方程式は今更だし
　　　大学入試問題としては高校生に十分や二十分で
　　　三次方程式の解法を発見させるのは無茶なので
　　　高校範囲外のことを知ってるかどうかの問題になってしまう。
0059１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 16:23:43
1辺の長さが1の正方形の周上に3点P,Q,Rをとる。
PQ↑・PR↑の最小値を求めよ。
0060１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 17:22:53
>>59で求めた最小値をaとする。
3点P,Q,RがPQ↑・PR↑=aを満たしながら動くとき、
線分PQの存在しうる領域の面積を求めよ。
0061１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 18:56:25
そうか、因数分解できないのか・・・
では「a^3+1/a^3を(a+1/a)の式で表せ」というのはどうでしょうか。
0062１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 20:22:29
とたんに難易度が下がったじゃん。考えて作れよ。。

東大より難易度低い大学でも
その程度の問題は解かせる。
0063１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 23:12:08
次の条件を満たす点P(x, y)の存在範囲をxy平面上に図示せよ。

条件：点Pを通る直線Lで、円O:x^2+y^2=1をLに関して対称移動した円O'が
x軸に接するようなものが存在しない。

簡単すぎかなあ？
文系向きかも。
ところで、掲示板では図示するのは無理なので、領域が分かる関係式を答えてください。
0064１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 23:42:27
|y|≦(1-x^2)/2
0065１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 23:42:57
|y|＜(1-x^2)/2
0066１３２人目の素数さん2005/12/13(火) 23:56:52
xyz空間で次の条件を満たす点P(x, y, z)全体の集合による立体をVとする。

条件：点Pを通るどのような平面に対して球x^2+y^2+z^2=1を対称移動しても
移動後の球がxy平面に接することはない。

Vの体積を求めよ。
0067１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:02:06
>>66
それ有限に収まるか？
0068１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:02:52
収まるでしょ
0069662005/12/14(水) 00:03:25
・・・そだな。勘違い。
007066じゃなくて672005/12/14(水) 00:03:55
さらにスマン、
名前欄間違えた。
0071１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:05:06
>>66
>>63の答え回転させるだけじゃね？
0072１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:08:09
xyz空間で次の条件を満たす点P(x, y, z)全体の集合による立体をVとする。

条件：点Pを通るどのような平面に対して球x^2+y^2+z^2=1を対称移動しても
移動後の球がx軸に接することはない。

Vの体積を求めよ。

求まるかは知らんが>>66よりは骨がありそう。
0073１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:11:44
>>72
やっぱり回転させるだけじゃないの？回転軸がちがうだけで。
0074１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 00:37:59
誰か>>59>>60教えて
0075１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 01:00:32
>>61
高一でもできるぞ！
算チャレでもやってろ！！
おまえがこのスレに書き込む資格はない！！！
厨房がぁ！！！！
二度と来んな！！！！！
0076１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 01:12:04
>>74
Pを固定してQ,Rをうごかすことかんがえると
P,Qを固定してRをうごかしてもP,Rを固定してQをうごかしてもいづれの場合も１次なので
最小をとるQ,Rは頂点で最小になることがわかる。こまかい議論が必要だけど結局
正方形をABCDとして
A=Q、BがAB中点、RがBC上のときまたはそのような配置の回転反転のとき、または
A=R、BがAB中点、QがBC上のときまたはそのような配置の回転反転のときに
最小値-1/4になる。
線分PQの軌跡はAとAB、ADの中点、BとBC、BAの中点、CとCD、CBの中点、DとDA、DCの中点
を結んでできる８本の直線でかこまれてる８角形の外側。
0077632005/12/14(水) 01:23:42
>>63に引き続き、出題です。

x, yを実数とするとき、次の連立方程式を解け。
1/(4y)+1/(2x)=x^2+y^2
1/(2y)-1/x=x^2-y^2

分数は順に、4y, 2x, 2y, xが分母にあります。
入試というよりパズルです。どっちかっつうと数オリ風。
0078１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 01:32:29
>>77
>>63の問題となんか絡んでんの？全然別の問題？
0079１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 01:36:36
>>78
あ、全然別です。すみません。
ただ、同じ人間が出したってだけです。
0080１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 04:46:07
>>77
与式から1/xを消去して1/y=3x^2+y^2
よって3(x^2)y+y^3-1=0
与式から1/yを消去して2/x=x^2+3y^2
よってx^3+3xy^2-2=0
この2式から定数項を消去してx/y=tとおくと
t^3-6t^2+3t-2=0
0081１３２人目の素数さん2005/12/14(水) 08:12:50
ｘｙ平面内の格子点を結んでできる正多角形は何種類あるか？
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