★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第六問
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0001１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 09:00:00解ける問題を考えてうぷするスレ。
これ以上の難易度の問題はスレ違いとなります。
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0002１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 09:01:000003１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 10:20:470004１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 12:35:240005１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 12:43:110006１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 13:18:22ここの問題は流用されているよ。
0007１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 16:08:110008１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 17:20:000009１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 18:48:39適当なこと言っていると思われたくなかったら、具体例を提示せよ
0010１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 18:54:17まあ一般的な高校生が充分解けるレベルの問題なんて
ほとんど出てないと思うけど
0011１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 20:51:380012GiantLeaves ◆6fN.Sojv5w
2005/12/08(木) 21:05:090013１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 21:15:250014１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 22:39:490015１３２人目の素数さん
2005/12/08(木) 23:55:18どんな感じになってますか？
0016１３２人目の素数さん
2005/12/09(金) 02:20:14日本ではあまり気にしなくて良いと思う
外国では結構severeで、大学入試問題を
勝手にうｐしたりすると問題になったりする
まあそれ言い出すと、数学の定理や証明の著作権は？とかそういう問題になるしね
証明の著作権なんて認められた日にゃ数学が終わる
国語の大学入試問題の、問題文の著作権は今ちょうど問題になってる
ttp://www.gakushuin.ac.jp/~881791/d/0511.html#02
0017１３２人目の素数さん
2005/12/09(金) 03:02:350018１３２人目の素数さん
2005/12/09(金) 04:51:22{a<1∧4(a-1)b=1}∨{1<=a∧b<=0}
>>14
…
0019１３２人目の素数さん
2005/12/10(土) 15:47:32平面上に3つの円が並んでおり、それらの3つの中心は一直線上にはない。
また、一番左にある円と真ん中にある円は2点を共有し、
一番右にある円と真ん中にある円も2点を共有し、
一番右にある円と一番左にある円に共有点はない。
このとき、うまく点をとれば、その点からこれらの3つの円に
引いた6本の接線の接点が同一円周上にあるようにできることを示せ。
0020１３２人目の素数さん
2005/12/10(土) 16:05:03a[1]=2-√3
a[2]=1
a[3]=2+√3
a[n+2]=(a[n+1]+a[n]-a[n-1]+a[n+1]a[n]a[n-1])/(1-a[n+1]a[n]+a[n]a[n-1]+a[n-1]a[n+1])
0021１３２人目の素数さん
2005/12/10(土) 16:23:560022１３２人目の素数さん
2005/12/10(土) 16:45:10(2)x^3-3x+5=0を解け。
0023１３２人目の素数さん
2005/12/10(土) 22:21:30まず中心間の距離＞半径の和となる円C1,C2とこれら２円と２点づつを共有する
直線LにたいしてC1、C2、Lと直交する円が存在する円が存在することをしめす。
C1の半径をr1、C2の半径をr2とする。C1、C2の中心をO1、O2とする。
C1とLの共有点P1、Q1とC2とLの共有点P2、Q2がQ1、P1、P2、Q2の順でならんでいるとする。
L上の動点XをP1からP2へうごかす。f(X)をf(X)=√(|XO1|^2-r1^2)-√(|XO2|^2-r2^2)
でさだめるとfは連続関数でf(P1)<0、f(P2)>0であるからf(R)=0となる点が線分P1P2上にとれる。
この点RをとおるC1の接線の接点をA1、B1、C2の接線の接点をA2、B2とすれば
RA1=RB1=RA2=RB2であるからこの値をrとおくとRを中心とする半径rの円がもとめる円である。
であとは例によって円円対応の原理で以下ry
･･･円円対応飽きた。
0025１３２人目の素数さん
2005/12/11(日) 20:44:46どうやんの？
0026１３２人目の素数さん
2005/12/11(日) 20:47:440027１３２人目の素数さん
2005/12/11(日) 21:35:220028１３２人目の素数さん
2005/12/11(日) 21:43:19それって
{0≦x≦1/2、0≦y≦2x+1}∪{1/2≦x≦1、0≦y≦-2x+2}
にふくまれちゃうんじゃね？
0029１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 21:58:26R≧2ｒを示せ。
0030１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 22:25:190031１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 22:28:06それ京大の過去問になったことあるんじゃね？なんか見たことある。
（解）A,B,Cの対辺の長さをa,b,c、面積をSとして
S=(1/2)(a+b+c)r=(1/2)(sinA+sinB+sinC)Rr
S=(1/2)R^2sinA+(1/2)R^2sinB+(1/2)R^2sinC
により2r/R=(sin2A+sin2B+sin2C)/(sinA+sinB+sinC)
和積公式から
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC、sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
∴2r/R=8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
一方で-logsin(x/2) (0＜x＜π)の凸性から
-(logsin(A/2)+logsin(B/2)+logsin(C/2))/3≧-logsin(((A+B+C)/3)/2)=-log(1/2)
∴sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≦(1/8)
∴2r/R≦1 (等号はA=B=C=π/3のとき)
0032１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 22:36:16IO＾2＝R＾2−2Rr を示せ。
0033１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 22:45:200034１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 22:58:21a[n] = tan(θ[n]) とおくと、
θ[1] = π/12,
θ[2] = 3π/12,
θ[3] = 5π/12,
θ[n+2] = θ[n+1]+θ[n]-θ[n-1].
以下ry)
0035１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 23:11:13これ計算爆発するな。ホントに受験の答案にかける量におさまるん？
0036１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 23:13:13所等幾何で証明可。
0037１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 23:25:58なるほど。始点をOにして(sinA+sinB+sinC)OI↑=(sinA)a↑+(sinB)b↑+(sinC)c↑
とかしてIO^2/R^2=1-2r/Rの両辺をA,B,Cの三角比で表わして･･･できた式をみて目が
点になった。ちなみにせっかくだからかかせてもらうと
IO^2/R^2
=((sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2+2sinAsinBcos2C+2sinBsinCcos2A+2sinCsinAcos2B))/(sinA+sinB+sinC)^2
1-2r/R
=1-8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)
A=π/2、B=C=π/4のとき正しいのでたぶんここまであってるんだろうーなーと。
でA+B+C=πのとき等しいことしめしてやろーと思ってやんなった。
0038１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 23:27:13ヒントおながいします。面積？
0039１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 23:45:00有名問題
004037
2005/12/12(月) 23:46:27(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2+2sinAsinBcos2C+2sinBsinCcos2A+2sinCsinAcos2B
=(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2+2sinAsinB+2sinBsinC+2sinCsinA
-4sinAsinB(sinC)^2-4sinBsinC(sinA)^2-4sinCsinA(sinB)^2
=(sinA+sinB+sinC)^2-4sinAsinBsinC(sinA+sinB+sinC)
∴IO^2/R^2=1-4sinAsinBsinC/(sinA+sinB+sinC)=1-(sin2A+sin2B+sin2C)/(sinA+sinB+sinC)=1-2r/R。
できなくはないが･･･エレガントな香具師がしりたい。
0041１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 23:47:15まじっすか？なににのってる？
0042１３２人目の素数さん
2005/12/12(月) 23:54:04初等幾何の有名な本には結構載ってるよ
一寸初等幾何関係の本は実家に置いてきちゃったから
具体的に今確認は出来ないけど
0043１３２人目の素数さん
2005/12/13(火) 00:13:16>>41
清宮の本か数オリ対策本辺りで見た希ガス。
適当にあさればすぐに見つかるよ。
0044１３２人目の素数さん
2005/12/13(火) 00:16:43thx。しかし初等幾何の本っつーのが一番さがしにくい。大学にはもちろんあんまないわけだし。
数オリの対策本なんかあるわけねーw。もしみつかったら>>32のエレ解おしえたってくらはい。
0045１３２人目の素数さん
2005/12/13(火) 00:19:350046１３２人目の素数さん
2005/12/13(火) 00:30:51今井塾がどうのとかいうのは無視しましょう
0047１３２人目の素数さん
2005/12/13(火) 00:30:57おお、それならさがせなくもない･･･かな？だいたい何年くらいまえとかそのくらいわからねすか？
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