>>886
まずXn≧YnのときlimsupXn≧limsupYnを示す。これは
inf{Xm | m≧n}≧inf{Ym | m≧n}のn→∞を考えて容易。
e>0にたいして十分おおきなNをとれば任意のn≧Nに対してBn≧liminfBn-e。
そうでなければliminfBn-eより小さいBnが無限に存在することになりliminfの定義に反する。
よってn≧NにたいしてAn+Bn≧An+liminfBn-e。Xn=An+Bn、Yn=An+liminfBn-eに
前段で示したことを適用してlimsup(An+Bn)≧limsup(An+liminfBn-e)=limsupAn+liminfBn-e。
eは任意の正数であったからlimsup(An+Bn)≧limsupAn+liminfBn。