>826,829,833
　倍角公式 2cos(x)^2 = cos(2x) +1, 2sinh(y)^2 = cosh(2y) -1 を分母に代入して
　f(x) = 2sin(2x)/{cos(2x) + cosh(2y)} = F_x,
　ここに、F(x,y) = -log{cos(2x) + cosh(2y)} とおいた。
　△f ≡ f_xx + f_yy = (F_x)_xx + (F_x)_yy = (F_xx +Fyy)_x ≡ (△F)_x.　　　(※)
　△F =0　⇒　△f =0.

　F(x,y) = -log{G(x,y)} の形なので
　F_x = -G_x /G, F_y = -G_y /G.
　F_xx = { -G G_xx + (G_x)^2 } /(G^2), F_yy = { -G G_yy + (G_y)^2 } /(G^2),
　△F = { -G (G_xx + G_yy) + (G_x)^2 + (G_y)^2} /(G^2) = { -G △G + |∇G|^2 } /(G^2).

　△G ≡ G_xx + G_yy = -4cos(2x) + 4cosh(2y).
　|∇G|^2 ≡ (G_x)^2 + (G_y)^2 = 4{sin(2x)^2} + 4{sinh(2y)^2}
　= -4{cos(2x)^2} +4{cosh(2y)^2} = G {-4cos(2x) + 4cosh(2y)}.
　∴ -G △G + |∇G|^2 =0.
　∴ △F =0.
　∴ △f =0.


※) 平均値の定理から 「F_xy, F_yx が連続 ⇒ F_xy = F_yx 」が示される.
　高木: 「解析概論」改訂第3版, 岩波 (1961) §23.微分の順序, 定理27(p.57)