>>701
その定義なら次の２つを示す。
I) A⊂B ⇒ A^i⊂B^i
II) B_r(x)は開集合、つまりB_r(x)^i =B_r(x)。ただしB_r(x)={y| d(x,y)<r}
すると
-A^iが開集合であること-
A^i^i=A^iをしめす。A^i^i⊂A^iはあきらか。x∈A^iをとる。r>0をB_r(x)⊂Aとなるようにとる。
するとI)よりB_r(x)^i⊂A^i。II)よりB_r(x)^i=B_r(x)。∴B_r(x)⊂A^i。∴x∈A^i^i。
-A^iが最大の開集合であること-
B⊂Aが開集合とする。I)よりB^i⊂A^i。Bは開集合だからB^i=B。∴B⊂A^i。
　
I)はx∈A^iをとる。r>0をB_r(x)⊂Aとなるようにとる。A⊂BであったからB_r(x)⊂B。
∴x∈B^i。∴A^i⊂B^i
II)はy∈B_r(x)をとる。B_r(x)の定義からd(x,y)<r。よってs>0をs+d(x,y)<rとなるようにとる。
このときz∈B_s(y)をとればd(x,z)≦d(x,y)+d(y,z)<d(x,y)+s<r。∴z∈B_r(x)。
∴B_s(y)⊂B_r(x)。∴y∈B_r(x)^i。∴B_r(x)⊂B_r(x)^i。逆はあきらか。