>>668
別解 (平面S上でグリーンの定理を使う)
グリーンの定理により面積分を周回の線積分におきかえることが
できる。 >672 と同様にS をx-y平面に射影した形Dで考えれば、
求める面積分は ∫∫[D}(x^2 + 3y^2) dxdy (☆) であった。ここで
2次元ベクトル関数 A = (Ax, Ay) = (-y^3, (1/3)x^3)) を導入すれば、
∂Ay/∂x-∂Ax/∂y = x^2 + 3y^2.
したがってこの面積分は直角三角形 Dの周 ∂D上の線積分におきかえられる。
積分は半時計方向の回転で行う。Ax はx軸上でゼロ、Ay は y軸上でゼロ
だから、斜辺の積分だけが残り、
☆ = ∫[∂D] A・ds (x軸上 および y軸上で積分はゼロ)
　= ∫[斜辺](Axdx+Aydy) = ∫[1,0](-(1-x)^3 - (1/3)x^3) dx
　= ∫[0,1]((1-x)^3 + (1/3)x^3)dx = 1/4 + 1/12 = 1/3.