>>573
　cosθ'≦1 を(0,θ)で積分して sinθ≦θ, さらに積分して 1-cosθ ≦ (1/2)θ^2, ･･･が出まつ。
　ここで θ=x^2 と置きますた。

ところで、>>559 を更に部分積分すると、
　∫cos(x^2)dx = [ (1/2x)sin(x^2) +(1/4x^3){1-cos(x^2)} ] + ∫(3/(4x^4)){1-cos(x^2)}dx,
　∫[0,∞) cos(x^2)dx = ∫[0,∞) (3/(4x^4)){1-cos(x^2)}dx < ∫[0,√2] (3/8)dx + ∫[√2,∞) 3/(2x^4) dx
　= (3/8)√2 + [ -1/(2x^3) ](x:√2→∞) = (1/2)√2 ≒ 0.70710678･･･.