>554
実数の範囲内なら、部分積分で
与式 = ∫[0,∞) (1/2x) 2x･cos(x^2)dx
　= [ -(1/2x)･sin(x^2) ](0→∞) + ∫[0,∞) (1/2x^2)･sin(x^2)dx
　= ∫[0,1] (1/2x^2)･sin(x^2)dx + ∫[1,∞) (1/2x^2)･sin(x^2)dx
　≦ ∫[0,1] (1/2)dx + ∫[1,∞)(1/2x^2)dx = 1/2 + 1/2 =1.
　>>557 によれば (1/2)√(π/2) ≒ 0.626657068･･･ らしい。

>555
x^2=u とおいて、
与式 = ∫[0,∞) {sin(u)/(2√u)} du
　　= 納k=0,∞) ∫[kπ,(k+1)π] sin(u)/(2√u) du ≡ 納k=0,∞) a_k,
　a_k = (-1)^k ∫[kπ,(k+1)π] |sin(u)|/(2√u) du = (-1)^k∫[0,π] {sin(u')/2√(kπ+u')} du'. （交代級数）
　|a_k| は単調減少...