自分なりに解いてみたので、添削お願いします。

0<k<1のとき、maxはf(1)=5
k=1のとき、maxはf(1)､f(5/2)のとき5
k>1のとき、maxはf(k+3/2)のとき2k^3-(3/2)k+9/2

これでどうですか？