>>900
f(x)=ax^3+bx^2+cxをxの三次式とする。全ての整数nに対してf(n)が整数になるための必要十分条件は、適当なp、q、rをとると、
f(x)=(p/6)x(x+1)(x+2)+(q/2)x(x+1)+rx
と表せることであることを示せ。

ax^3=ax(x+1)(x+2)-3ax^2-2ax
bx^2-3ax^2=(b-3a)x(x+1)-(b-3a)x
cx-2ax-(b-3a)x=(c+a-b)x
より
f(x)=ax(x+1)(x+2)+(b-3a)x(x+1)+(c+a-b)x
とできる。
x=n　[∀n∈Z]でf(x)が整数になるから
n(n+1)(n+2)は６の倍数だからa=p/6
n(n+1)は２の倍数だからb-3a=q/2
c+a-b=r
(p,q,r:整数)
でなければならない。

逆に
f(x)=f(x)=(p/6)x(x+1)(x+2)+(q/2)x(x+1)+rx
(p,q,r:整数)
と表せるとき
x=n　[∀n∈Z]に対し
x(x+1)(x+2)は６の倍数、x(x+1)は２の倍数だから
f(x)は整数となる。

こんな感じかな？