http://www.uploda.org/file/uporg205046.jpg
http://www.uploda.org/file/uporg205056.jpg
上の例題11(解答も含めて２ページに渡ります)です。　ビューアなどでズームしていただければ鮮明に見れると思います。
模範解答についての質問なんですが、
質問：　２直線の交点が(1,1)である　というのが模範解答では示されて内容に思えます。
また、他にいい解法があったら教えてください。
(1,1)を通るので①に代入すると、p+q+1=0となりますが

　p+q+1=0
⇔①は(１,１)を満たす
⇔２直線のうち少なくとも片方は、(１,１)を通る
≠２直線の交点は(１,１)

ではないでしょうか。
解答の最後に　両直線とも(１,１)を満たす　という文が抜けている気がします。
どうでしょうか。

以上、よろしくお願いいたします。