>>892
求める放物線の方程式を　y=f(x) とし、f(x)の2次の項の係数を a とする。
これと　y=x^2 との交点のx座標をα、β（≠0）とすると　
f(x)-x^2=(a-1)(x-α)(x-β)　・・・（１）　と表せる。
一方、接線が直交することより　f'(α)=-1/(2α) , f'(β)=-1/(2β)
が成り立つが、これは
xf'(x)+1/2=2a(x-α)(x-β) ・・・（２）と表せることに他ならない。
（１）、（２）は両辺がxの2次式なので、任意の実数xに対して成り立つが
そのとき、明らかに a≠0,1　である。
（１）、（２）よりα、βを消去し、f(x)をyに置き換えると
(a-1)(xy'+1/2)=2a(y-x^2)
変形して
{yx^(-2a/(a-1))}'=-{2a/(a-1)}x^{-(a+1)/(a-1)}-(1/2)x^{(-3a+1)/(a-1)}
両辺を積分して、x^{(2a)/(a-1)} をかけると
y=ax^2+(a-1)/(4a)+Cx^{(2a)/(a-1)}　　（Cは任意定数）

2a/(a-1)=0または2　となることはなく、2a/(a-1)=1 のとき　a=-1 である。

以上まとめて、求める放物線の方程式は
y=-x^2+Cx+1/2　（Cは任意の実数）　または　y=ax^2+(a-1)/(4a) （a≠0,±1）