互いに素な整数では表せないってことを否定したら
そもそも分数で表せないことになると思いません？

まあ個人的には
n^2=3m^2
両辺素因数分解して3の個数を数えたら、
左辺は偶数個、右辺は奇数個となって素因数分解の一意性に反する
の方が分かりやすい気もしますが